O TEOREMA DE TYCHONOF Proposiç˜ao 1. Seja X um espaço

O TEOREMA DE TYCHONOF
Proposição 1. Seja X um espaço topológico, B uma base da topologia de X tal que
qualquer cobertura de X por elementos de B tem uma subcobertura finita. Então
X é compacto.
Demonstração. Seja U uma cobertura aberta de X. Então, dado x ∈ X, existe um
Ux ∈ U com x ∈ Ux . Tomemos Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ Ux . {Bx } é uma cobertura
de X por elementos de B logo existe uma subcobertura finita X = Bx1 ∪ . . . ∪ Bxn .
Mas então X = Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn .
O mesmo resultado é válido se substituirmos bases por subbases mas a demonstração é consideravelmente mais difı́cil. Precisamos primeiro dum resultado de
teoria dos conjuntos:
Lema 2. Seja C uma colecção de subconjuntos de X tal que
(1) X ∈
/C
(2) Se A, B ∈ C então A ∪ B ∈ C
Então C está contida numa colecção de conjuntos C̃ tal que
(1) X ∈
/C
(2) Se A, B ∈ C então A ∪ B ∈ C
(3) Para qualquer A ⊂ X, ou A ∈ C̃ ou X − A ∈ C̃
Ideia da demonstração: Podemos assumir que ∅ ∈ C. Caso contrário, substituimos C por C ∪ {∅}.
Se C não satisfizer a propriedade (3), precisamos de juntar a C conjuntos suficientes de tal forma que esta propriedade seja satisfeita. Procedemos do seguinte
modo: Seja A ⊂ X. Mostremos que podemos juntar ou A ou X − A a C. Definimos
[
CA = C ∪
A∪B
B∈C
Então A ∈ CA e C satisfaz a propriedade (2). Pode no entanto não satisfazer a
propriedade (1), uma vez que pode existir um BA ∈ C tal que A ∪ BA = X. Nesse
caso X − A ⊂ BA , logo (X − A) ∪ B ⊂ BA ∪ B 6= X para qualquer B ∈ C. Assim,
a colecção
[
CX−A = C ∪
(X − A) ∪ B
B∈C
contém X − A e satisfaz as propriedades (1) e (2). Repetindo este processo para
todos os subconjuntos de X obtemos uma colecção satisfazendo as propriedades
(1), (2) e (3).
Teorema 3. Seja X um espaço topológico, S uma subbase de X tal que, dada
qualquer cobertura de X por elementos de S, existe uma subcobertura finita. Então
X é compacto.
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Demonstração. Seja U uma cobertura de X por elementos da base B determinada por S. Vamos supor por absurdo que U não tem subcoberturas finitas. Seja
C a colecção das uniões finitas de conjuntos da cobertura U. Então C satisfaz
as condições (1) e (2) logo está contida numa colecção C̃ que tambem satisfaz a
condição (3).
Lema 4. Para todo o B ∈ U existe um SB ∈ S tal que B ⊂ SB e SB ∈ C̃.
Demonstração. Dado B ∈ U, B = S1 ∩ . . . ∩ Sn com S1 , . . . , Sn ∈ S. Mostremos
que existe um i tal que Si ∈ C̃. Caso contrário, se ∀i Si ∈
/ C̃ então pela propriedade
(3) ∀i X − Si ∈ C̃. Mas então pela propriedade (2)
(X − S1 ) ∪ . . . ∪ (X − Sn ) ∪ B ∈ C̃
Mas
(X − S1 ) ∪ . . . ∪ (X − Sn ) ∪ B = (X − (S1 ∩ . . . ∩ Sn )) ∪ B = (X − B) ∪ B = X
o que é uma contradição.
Como B ⊂ SB , {SB }B∈U é uma cobertura de X logo existe uma subcobertura
finita: X = SB1 ∪ . . . ∪ SBm . Mas pela propriedade (2) isto implica que X ∈ C̃ o
que é uma contradição.
Teorema
Q 5 (Tychonof). Seja {Xα } uma famı́lia de espaços topológicos compactos,
X = Xα . Então X é compacto.
Demonstração. Seja U uma cobertura de X por elementos da subbase S. Seja Uα a
colecção dos abertos U ∈ τα tais que πα−1 (U ) ∈ U. Mostremos que existe um α tal
que Uα é uma cobertura abertaS
de Xα . Caso contrário poderı́amos
S tomar, para cada
α, um xα ∈ Xα tal que xα ∈
/ Uα . Mas então x = (xα ) ∈
/ U o que é absurdo.
Portanto existe um α tal que Uα é uma cobertura aberta de Xα . Logo, existe uma
subcobertura finita Xα = U1 ∪ . . . ∪ Un . Mas então X = πα−1 (U1 ) ∪ . . . ∪ πα−1 (Un ) é
uma subcobertura finita de U.