árvores de steiner - DM

ARVORES DE STEINER − TEORIA,
~
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GERACAO
NUMERICA E APLICACOES
,
,
Wendhel Raffa Coimbra, Valério Ramos Batista
CMCC, Universidade Federal do ABC
Av. dos Estados, 5001, Santo André, SP
[email protected], [email protected]
0. RESUMO
i IR
A
1
Dado um conjunto de pontos no plano, prova-se que sempre existe um grafo minimal que os conecta,
β
1−x
chamado “árvore de Steiner”. Esta pode ser também realizada por pelı́culas de sabão, e por isso compar-
β
P
0=C
tilham propriedades de Superfı́cies Mı́nimas. Na área de redes de computadores, aplicam-se árvores
1
de Steiner na distribuição de vı́deo, conferências multimı́dia que utilizam comunicação “multicast” para
−1
transmissão de dados.
IR
1
B
Figura 5
Demonstração. Sendo f (x) = 1 − x + 2 ·
1. INTRODUÇÃO
√
x2 + 1 = 4x2 ⇔ x = √1 ⇒ β = 60◦
x2 + 1, f ′ = 0 ⇔ −1 + √ 2x2 = 0 ⇔
x +1
√
x2 + 1 = 2x ⇔
c.q.d.
3
Em uma solução de sabão, ao mergulharmos e retirarmos duas placas paralelas ligadas por pinos,
uma pelı́cula irá conectá-los (vide Figuras 1 e 2). Esta representa um grafo de comprimento mı́nimo
que interliga os pinos. Como é sabido, as pelı́culas de sabão realizam as Superfı́cies Mı́nimas.
Teorema 2. Sejam A, B, C não colineares. Então ∃! P tal que a árvore com vértices A, B, C, P
é mı́nima. Além disso, se P 6∈ {A, B, C} então APbB = B PbC = C PbA = 120◦.
Demonstração. Da Proposição 1, caso o conjunto {P1, P2, · · · , Pn} = ∅, tome sem perda de generab como o maior ângulo do △ABC. Entâo é claro que AC ∪ CB realiza a árvore mı́nima,
lidade ACB
pois |AB| ≥ max{|AC|, |CB|}, donde ∃! P = C. Caso {P1, P2, · · · , Pn} = {P } =
6 ∅ da Proposição
1, seja c = | CP | > 0 e C(C, c). Vejamos que AB ∩ C = ∅. Como P 6∈ {A, B, C}, então P ∈ AB ⊥ C
P B | ≥ | AB | e como | AC | < c terı́amos
ou sem perda de generalidade A ∈ int C, donde | |{z}
AP | + | |{z}
a
b
a + b + c > | AB | + | AC |, absurdo! Também não pode P ∈ AB ⊥ C pelo Lema 1, pois sem perda
de generalidade | projiRAP | = | projiRP B | = 1.
Figura 1
↔
b
Assim, AB ∩ C = ∅, donde o Teorema 1 implica que AP B é máximo com CP bissetriz. Analoga↔
↔
b
mente, AP bissetriz de B P C e BP bissetriz de APbC, donde todos valem 120◦ por opv
c.q.d.
Figura 2
Dado um conjunto de pontos no plano, prova-se que sempre existe um grafo minimal que os conecta,
chamado “árvore de Steiner”.
b maior ângulo do △ABC, então ACB
b ≥ 120◦.
Corolário 1. Se P = C, ACB
b < 120◦, do Lema 1 mais o Teorema 2 terı́amos uma contradição
Demonstração. Se ACB
Definição 1. Um grafo é um conjunto de pontos V1, · · · , Vn de R2, n ∈ N∗, chamados vértices, e de
2. RESULTADOS SOBRE ÁRVORES DE STEINER
j 6= k admitem curvas αi tal que sua concatenação têm Vj e Vk como extremo.
2.1.
c.q.d.
curvas αi : [0, 1] −→ R2, 1 ≤ i ≤ m ∈ N∗, tal que αi([0, 1]) são vértices. Além disso, ∀ Vj , Vk com
A tabela abaixo à direita representa a matriz de adjacência para o grafo da esquerda. Cada matriz
NÚMEROS DE PONTOS STEINER. Sendo A1, · · · , An os terminais e S1, · · · , Ss
os pontos Steiner da árvore, então s ≤ n − 2. Vale a igualdade ⇔ de cada Ai parte só uma aresta.
2.2. PROPRIEDADE DA CUNHA.
de adjacência determina uma topologia para a árvore, e reciprocamente.
Teorema 3. Seja W uma região aberta qualquer em forma de cunha que tem ângulo de 120◦ ou
1
4
mais e contendo nenhum dos A1, · · · , An. Então W não contém pontos Steiner de uma árvore
relativamente mı́nima.
Corolário 2. (Envelope Convexo) Em uma árvore relativamente mı́nima todos os pontos Steiner
2
3
encontram-se no envelope convexo de A1, · · · , An.
2.3. UNICIDADE DAS ÁRVORES MÍNIMAS RELATIVAS. Como existe apenas um
Figura 3
Figura 4
número finito de matrizes de adjacência, então o número de topologias é finito.
Definição 2. Uma árvore é um grafo sem ciclos.
3. RESULTADOS SOBRE ÁRVORES MÍNIMAS DE STEINER
Proposição 1. Seja G grafo com curvas αi e vértices A, B, C, P1, · · ·, Pn, 3 a 3 distintos com
m
[
n mı́nimo, no sentido que qualquer outro grafo com o mesmo traço
αi([0, 1]) tem ao menos
3.1. PROPRIEDADE DA LUA. Seja AB uma aresta de uma árvore mı́nima. Seja L(A, B)
i=1
n vértices, além de A, B, C. Se G tem comprimento l(α1) + · · · + l(αn) mı́nimo, então G é uma
a região consistindo de todos os pontos X satisfazendo |XA| < |AB| e |XB| < |AB|. Se Y Z é
árvore. Além disso, {P1, P2, · · · , Pn} é vazio ou unitário.
qualquer outra aresta da árvore, então L(A, B) ∩ Y Z = ∅.
Demonstração. Verdade se ∃ αi : A ∼ B e αI : B ∼ C. Senão, sem perda de generalidade
3.2. PROPRIEDADE DIAMANTE. Numa aresta AB, o diamante D(A, B) é o conjunto dos
∃ α1 : A ∼ P1 e α2 : P1 ∼ B. Assim, também ∃ α3 : P1 ∼ C
c.q.d
Teorema 1. Seja α : [0, 1] −→ R2, α(0) = P, α(1) = Q, P Q ⊂ Ext C, α ∩ C =
6 ∅, onde C é uma
↔
1
b é máximo.
curva C convexa, P Q 6⊥ C. Se l(α) é mı́nimo, então α ∩ C = {R} tal que P RQ
b P BA}
b
pontos P tais que max{P AB,
< 30◦. Ou seja, D(A, B) é interior do losango com ângulos
internos 60◦ e 120◦, tendo AB como diagonal maior. Considerando D(Vi, Vj ) e D(Vk , Vh) numa árvore
mı́nima de Steiner, temos que {i, j} =
6 {k, h} ⇒ Dij ∩ Dkh = ∅.
(Omitimos a demonstração.)
√
Lema 1. Seja f (x) = 1−x+2 x2 + 1, que representa o comprimento da árvore abaixo descrita,
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
com vértices (0, 0), (1, ±1) e (1 − x, 0). Então ela é mı́nima se, e somente se β = 60◦.
[1] R. L. Wheeden & A. Zygmund, Measure and integral. Marcel Dekker ed., New York, 1977.
[2] R Courant & H. Robbins, O que é matemática?. Ed. Ciência Moderna Ltda, Rio de Janeiro, 2000.