cm0882-formulário de matemática

TURMA DO M˘RIO
Álgebra
Porcentagem
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0 é a razão
x
x
a
x
tal que:
= , e se indica:
= x% .
100
100 b
100
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
x
um número, significa multiplicar este número por
.
100
15
Exemplo: 15 % de 200 =
. 200 = 30 .
100
Potenciação
Definições
∀ a ∈ R ⇒ a0 = 1
∀ a ∈ R e ∀ n ∈ N ⇒ a n = a n−1 . a
Propriedades
1. a m . a n = a m+n
am
2. n = a m−n , a ≠ 0
a
3. (a m ) n = a m . n
4. (a . b) n = a n . b n
5. (a : b)n = an : bn , b ≠ 0
1
6. a – n = n , a ≠ 0
a
( m)
Nota: Em geral a
n
≠ am
n
Em geral (a + b) ≠ a n + b n
n
Radiciação
Propriedades
1.
2.
3.
a .b=na . n b
n
a : b = n a : n b ,b ≠ 0
n
( a)
m
n
4.
m
5.
n
n
= n am
a = n .m a
m
6.
am = a n
n .p
am . p = n am
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Produtos notáveis
(a + b) × (a – b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 × (ab + ac + bc)
Fatoração
ab + ac = a × (b + c)
ab + ac + db + dc = a × (b + c) + d × (b + c) = (b +c) × (a + d)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ax2 + bx + c = a.(x – a1) × (x – a2), onde a1 e a2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
a3 + b3 = (a + b) × (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) × (a2 + ab + b2)
a2 + b2 +c2 + 2 × (ab + ac + bc) = (a + b + c)2
Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor
natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um número natural
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) × (q+1) × (r+1)... divisores positivos, sendo n um
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : I ® R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.
2
Progressão Aritmética (PA)
Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r
Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser:
I.crescente: (razão positiva): r >0 Þ a n+1 > a n
II. decrescente (razão negativa): r < 0 Þ a n+1 < a n
III. constante (razão nula): r = 0 Þ a n+1 = a n
Fórmula do termo geral de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então:
an = a1 + (n – 1) × r, n Î N*
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = ap + (n – p) × r, n,p Î N*
Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,...
ap =
a p -k + a p + k
2
..., ap-1, ap, ap+1,...
...,an), tem-se:
com p, k Î IN*
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,...
Sn =
..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:
(a 1 + a n ) × n
2
3
Progressão Geométrica (PG)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
a n+ 1
; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
an
qualquer pelo seu antecessor.
Se an ¹ 0, então q =
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando an+1 > an
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2
II. Decrescente: quando an+1 < an
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3
III. Constante: quando an+1 = an
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a1 ¹ 0 e q < 0
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2
V. Não decrescente: quando a1 < 0 e q = 0
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0
VI.Não crescente: quando a1 > 0 e q = 0
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0
Fórmula do termo geral da PG
n–1
, n Î N*
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: an = a1 × q
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra: an = ap × qn – p, n,p Î N*
Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,...
..., ap-1, ap, ap+1,...
...,an), então:
(ap)2 = (ap – k) × (ap + k), p,k Î N*
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros
termos. Assim:
Pn =
n(n
× -1)
a1 ×q 2
n
ou
Pn =
n
2
(a1 × an)
4
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
a 1 × (qn - 1)
Se a PG não for constante, ou seja q ¹ 1 teremos: Sn =
q -1
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos: Sn = n × a1
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série)
Quando lim S n = S existe e é finito, dizemos que a série converge para S.
n®¥
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S n = S =
n®¥
a1
1- q
Função Exponencial
f(x) = ax ;
a>0
a¹1
e
y
Imf = IR *+
Df = IR
y
0<a<1
função decrescente
a>1
função crescente
1
0
x
0
x
Propriedades de potência
1. am . an = am + n
2. am : an = am – n , a ¹ 0
3. (am)n = am .n
4. n a m = a m n , n Î IN / n >1
1
5. a– n = , a ¹ 0
an
5
Equação exponencial
af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x)
Inequação exponencial
af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x), se a >1
af(x) > ag(x) Û f(x) < g(x), se 0 < a < 1
Logaritmo
Definição
logba = x Û a = bx com a > 0, 0 < b ¹ 1
Propriedade de logaritmo
1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1
a
2. logc æç ö÷ = logca – logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1
è bø
3. logc am = m . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR
1
4. logcm a = . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR*
m
Função Logarítmica
f(x) = logax , a > 0 e a ¹ 1
y
Imf = IR
Df = IR *+
y
0
1
x
a>1
função crescente
0
1
x
0<a<1
função decrescente
6
Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo
b
c
h
m
h2=m × n
b × c=a × h
b2=a × m
a2=b2 + c2 (Pitágoras).
c2=a × n
n
a
Relações métricas no círculo
P
A
A
B
B
A
C
D
P
C
B
P
D
PA × PB = PC × PD
T
PA × PB = PC × PD
(PT)2 = PA × PB
Lei dos
a
b
c
=
=
= 2R
sena senb seng
Lei dos cossenos
a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a
b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b
c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g
7
Teorema de Tales
a1 // a2 // a3 // .....
AB
BC
CD
AC
AD
=
=
=
=
A' B' B' C' C' D' A' C' A' D'
Teorema da bissetriz interna
A
c
b
x
b c
=
x y
y
S
Teorema da bissetriz externa
A
b
c
c
y
C
S
B
b c
=
x y
x
Semelhança de triângulos
A
P
b
c
H
B
a b c H
= = = =k
x y z h
a
C
y
z
h
Q
Área DABC
Área DPQR
x
R
= k2
8
Arcos e ângulos
a=a
a=
a
2
a=
a
2
a=
a+b
2
b
a=
a–b
2
Razões trigonométricas
b
a
c
cos a =
a
b
tg a =
c
sen a =
c
a
b
cos b =
a
c
tg b =
b
sen b =
Comprimento da circunferência
R
C = 2pR
Base média de triângulo
«
«
MN // BC
BC
MN =
2
9
Base média de trapézio
«
«
MN // AB
AB+ CD
MN =
2
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos
Sendo
n = número de lados;
d = número de diagonais;
Si = soma dos ângulos internos e
Se = soma dos ângulos externos,
temos:
d=
n(n – 3)
2
Si = (n – 2) × 180ºe
Se = 360º
Áreas
Retângulo
Quadrado
Triângulo
Trapézio
Paralelogramo
10
Losango 1
Losango 2
A Los =
B
(AC) × (BD)
2
C
Fórmulas especiais para área do triângulo
A=
l2 3
4
A=
b×c
2
A = p(p – a) × (p – b)(p – c)
em que p =
A=
1
× a × b × sena
2
A=rp
p=
A=
a ×b×c
4R
A=
l ×R
2
a +b +c
2
a +b +c
2
Círculo
R
A = p ×R2
Setor circular
A=
a ×p ×R2
360º
a ×R2
2
a em radianos
A=
11
Análise Combinatória / Probabilidades
æ nö
æ combinação de n objetos distintos
n!
Número binomial: çç ÷÷ =
= C n, p = çç
è p ø p!(n – p)!
è agrupados de p em p
ö
÷÷
ø
n æ nö
æ nö
æ nö
æ nö
Teorema binomial: (a + b)n = çç ÷÷ anb0 + çç ÷÷ an – 1b1 +. . .+ çç ÷÷ a0bn = å çç ÷÷ a n–i bi
è0ø
è 1ø
è nø
i =o è i ø
Arranjo: An, p =
n!
Þ n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p
(n – p)!
Permutação de n objetos distintos: Pn = n!
Permutação de elementos repetidos: Pna, b, g =
Probabilidade de ocorrer um evento =
n!
,
a!b!g!
a objetos iguais entre si
b objetos iguais entre si
g objetos iguais entre si
n.o de elementos do conjunto evento n(A)
=
= P(A)
n.o de elementos do espaço amostral n(E)
æ probabilidade de ocorrer ö
æ ocorrer o
çç
÷÷ e em seguida çç
è o evento A
ø
è evento B
ö
÷÷ =
ø
æ probabilidade de
ö
÷
æ probabilidade de ö ç
= çç
÷÷ x ç ocorrer o evento B
÷ Þ Teorema da multiplicação
è ocorrer o evento A ø ç sabendo que A ocorreu ÷
è
ø
Exemplo:
2 bolas azuis
5 bolas verdes
æ tirar uma bola azul e em ö 2 1
P çç
÷÷ = ´
è seguida uma bola azul ø 7 6
chance de retirar uma
bola azul sabendo que
já saiu uma azul
Conjuntos, Funções e Inequações
Relação
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x Î A Ù x Î B}).
Definição
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x Î A, existe um único y
Î B tal que (x; y) Î f. (Indica-se: f : A ® B).
12
Exemplo
A
Contra-exemplo
B
f
A
3
4
6
1
2
5
· Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}
4
5
6
1
2
3
f é função
· Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5}
B
g
· Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6}
· 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)
· 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)
g não é função
Tipos de função
Função crescente e decrescente
· Uma função f é crescente em A Ì Df Û (x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2), " x1, x2 Î A).
· Uma função f é decrescente em A Ì Df Û (x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2), " x1, x2 Î A).
Função injetora, sobrejetora e bijetora
· Uma f : A ® B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em
B (" x1, x2 Î A, x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)).
· Uma f : A ® B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A
(Im(f) = CD(f) ou " y Î B, $ x Î A / f(x) = y)
· Uma função de f : A ® B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
A
1
2
3
f
B
4
5
f é sobrejetora
e não é injetora
A
1
3
5
f
B
A
4
3
2
1
3
4
6
f é injetora
e não é sobrejetora
f
B
1
2
3
f é bijetora
A
f
1
2
3
B
4
5
6
f não é injetora
e nem sobrejetora
Função par e ímpar
· Uma função f : A ® B é par Û " x Î A, f(x) = f( – x).
· Uma função f : A ® B é ímpar Û " x Î A, f(x) = – f( – x).
Função periódica
· Uma função f : A ® B é periódica de período p Û " x Î A, f(x + p) = f(x), p > 0.
Função composta
· Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
13
Função inversa
· Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A ® B a função f– 1: B ® A, tal que
f–1 (y) = x.
Observação:
Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática
y = f(x)
a. troca-se x por y e y por x;
b. coloca-se o novo y em função do novo x.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Propriedades dos determinantes
a. det(At) = det(A).
b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero.
c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica
multiplicado por –1.
d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é
igual a zero.
e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser
colocado em “evidência”.
f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A)
g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B)
Atenção: em geral, det(A+B) ¹ det(A) + det(B)
h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma
matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna)
paralela multiplicada por uma constante.
é1
ê –3
i. Matriz Triangular: A = ê
ê2
ê5
ë
0 0
4 0
3 –5
6 7
0ù
0ú
ú Þ det(A) = 1× 4(–5) × 8
0ú
8 úû
Multiplicação de matrizes
æ a bö æ x y ö
æ ax + bz ay + bw ö
çç
÷÷ × çç
÷÷ = çç
÷÷
è c dø è z w ø
è cx + dz cy + dw ø
a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um
sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D ¹ 0, onde D é o determinante da
matriz dos coeficientes de tal sistema.
b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é
impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando
ordenadamente as incógnitas das equações.
A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a ¹ 0; tem infinitas
soluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b ¹ 0.
14
Trigonometria
Relações Fundamentais
sen2x + cos2x = 1, "x Î R
tgx =
senx æ
p
ö
ç x ¹ + kp ÷
cosx è
2
ø
cotgx =
secx =
cosx
( x ¹ kp)
senx
1 æ
p
ö
ç x ¹ + kp ÷
cosx è
2
ø
cossecx =
1
( x ¹ kp )
senx
kp ö
Conseqüências æç x ¹
÷
2 ø
è
1
cotgx =
tgx
1 + tg2x = sec2x
1 + cotg2x = cossec2x
cos 2 x =
sen2 x =
1
1+ tg2 x
tg2 x
1+ tg2 x
Fórmulas de adição
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
tg(a + b) =
tg a + tg b
1– tg a × tg b
tg(a – b) =
tg a – tg b
1+ tg a × tg b
Fórmulas de multiplicação
Arcos duplos
Arcos Triplos
sen 2a = 2 sen a cos a
sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a
ìcos 2 a – sen2 a
ï
ïï ou
cos 2a = í 2cos 2 a – 1
ï ou
ï
2
îï 1– 2sen a
cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a
tg 2a =
tg 3a =
3 tga – tg3 a
1– 3tg2 a
2 tg a
1– tg2 a
15
Fórmulas de divisão
x
1– cos x
sen = ±
2
2
x
1+ cos x
cos = ±
2
2
x
1– cos x
tg = ±
2
1+ cos x
Fórmulas de transformação em produto
cos p+ cos q = 2 × cos
p+ q
p– q
× cos
2
2
cos p – cos q = –2 × sen
p+ q
p– q
× sen
2
2
sen p+ sen q = 2 × sen
p+ q
p– q
× cos
2
2
sen p – sen q = 2 × sen
p– q
p+ q
× cos
2
2
tg p+ tg q =
sen(p+ q)
cos p × cos q
tg p – tg q =
sen(p – q)
cos p × cos q
Equações trigonométricas fundamentais
sen a = sen b Þ a = b+ 2kp ou a = (p – b) + 2kp
cos a = cos b Þ a = ±b + 2kp
tg a = tg b Þ a = b+ kp
Funções circulares inversas
y = arc senx Û seny = x e –
p
p
£y£
2
2
y = arc cosx Û cosy = x e 0 £ y £ p
y = arc tgx Û tgy = x e –
p
p
<y<
2
2
16
Geometria Espacial
· O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da
área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ou
oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.
R
H
H
H
B
B
g
H
R
1 BH
V =—
3
V = BH
· Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um
retângulo de lados 2pR e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é:
· Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor
circular de raio g e arco 2pR. Então a área lateral do cone reto é.
AL = Asetor Þ AL =
2pR × g
Þ AL = pRg
2
Sendo a a medida, em graus, do setor,
temos:
2pR × g
a
a
Asetor =
=
g
pg2 Þ R =
2
360º
360º
· O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:
R
A = 4 pR2
e
V=
4 3
pR
3
17
Números Complexos
Forma algébrica
Nomenclatura
z = a + bi (a, b Î IR)
i = unidade imaginária
a = Re (z) = parte real de z
b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z
Exemplos de números complexos
z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro.
z = – 6 = – 6 + 0i = número real.
z = a + bi (b ¹ 0) = número imaginário ou número complexo não real.
Potências inteiras de i (ik, k Î ZZ )
i0 = 1
e
i4k = 1
i1 = i
e
i4k+1 = i4k . i1 = i
i2 = – 1
e
i4k+2 = i4k . i2 = – i
i3 = – i
e
i4k+3 = i4k . i3 = – i
Conjugado de z = a + bi (a, b Î IR)
z = a – bi
Propriedades
1. z + w = z + w
2. z . w = z . w
z
z
3. æç ö÷ =
èwø w
4. z n = ( z ) n
(n Î ZZ)
5. ( z ) = z
Produtos e divisões notáveis
1. (1 + i)2 = 2i
2. (1 – i)2 = – 2i
3. (1+ i)(1 – i) = 2
4.
1+ i
=i
1– i
5.
1– i
=–i
1+ i
18
Igualdade na forma algébrica
Û
a + bi = c + di
a=c
e
(a, b, c, d Î IR)
b=d
Representação no plano de Argand-Gauss
z = a + bi = (a, b) = P (a, b Î IR)
P = afixo de z
dop = |z| = a 2 + b2 = módulo de z
q + k . 2p = arg(z) = argumento de z
0
(0 £ q < 2p)
q = argumento principal de z
Propriedades
1. | z |2 = z . z
2. |z . w | = | z | . | w |
3.
z
z
=
w
w
(w ¹ 0)
4. | z n | = | z | n , n Î ZZ
5. | z + w | £ | z | + | w |
6. | z | = | z |
Forma trigonométrica de z Î C*
z = a + bi = | z | (cos q + isen q )
ìcos q = a
ïï
z
| z | = a 2 + b2 e í
b
ïsen q =
z
ïî
Igualdade na forma trigonométrica
|z|( cos q + i sen q ) = |w|( cos a + i sen a )
144424443
144424443
z
w
z=w
Û
|z| = |w|
e
q = a + k . 2p
k Î ZZ
19
Operações na forma trigonométrica
z = |z| (cos q + isen q )
Sejam
z1 = |z1| (cos q 1 + isen q 1)
z2 = |z2| (cos q 2 + isen q 2 )
· Multiplicação
z1 . z2 = |z1| . |z2| . [cos (q1 + q2) + isen (q1 + q2)]
· Divisão
z 1 |z 1|
=
[cos (q1 – q2) + isen (q1 – q2)]
z 2 |z 2|
· Potenciação
zn = |z|n . [cos (n q) + isen (nq)]
· Radiciação
n
C
q
2p
q
2p ù
é
z = w k = n z êcos æç + k × ö÷ + i senæç + k × ö÷ ú ,
n ø
n øû
èn
ë èn
(k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Propriedades
1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0
2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.
3. O raio dessa circunferência é n | z |.
4. O “ponto de partida” (wo) é o arco
q
2p
e o “pulo’ de uma raiz para outra é de .
n
n
Equação binômia em C
axn + b = 0
(a ¹ 0)
axn = – b Þ xn =
–b
–b
Þ x =n
a
a
C
= wk ,
(k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Geometria Analítica
Distâncias
De dois pontos A e B
d AB = (x B – x A ) 2 + (y B – y A ) 2
Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0
d=
|ax P + by P + c|
a 2 + b2
20
Pontos especiais
a.
AM
=r
MB
y – yA
= M
yB – yM
M divide AB na razão
r=
xM – x A
xB – xM
æ x + xB y A + yB ö
Se M é ponto médio de AB, M = ç A
,
÷
2
2
è
ø
b. Ponto do eixo x: A = (a, 0)
Ponto do eixo y: B = (0, b)
Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k)
Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k)
æ x + xB + xC y A + yB + yC ö
Baricentro do DABC: G = ç A
,
÷
3
3
è
ø
Área do DABC
xA
|D|
S=
onde D = x B
2
xC
yA
yB
1
1
yC
1
Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0.
Equação de circunferência
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2
Centro C e raio r, equação reduzida.
Equação de reta
· Geral: ax + by + c = 0
(r)
xA
Conhecendo 2 pontos A e B de r: x B
x
yA
yB
y
1
1 =0
1
· Reduzida: y = mx + k
m... coeficiente angular de r
k.... coeficiente linear de r
m = tga (não existe, se m é vertical)
Conhecendo 2 pontos A e B da reta, m =
yB – y A
xB – x A
21
Paralelas / perpendiculares
· r // s Û mr = ms
Exemplos:
Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k
Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0
· r ^ s Ûmr . ms = – 1
Exemplos:
2
3
Perpendicular a y = x – 3 é y = – x + k
3
2
Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0
é 5x – 2y + k = 0
Observação:
Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0.
22