matelementar

Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
MATEMÁTICA, LICENCIATURA
Matemática Elementar Das relações às aplicações:
álgebra estrutural.
Quest(ii)
Prof. Dr. Lucas Nunes Ogliari
Propriedades das Operações
Consideremos * uma lei de composição interna (operação) em
E.
Relações binárias
Composição de aplicações
x *  y * z   x * y  * z , quaisquer que sejam
Associativa:
Composição é a composta de duas aplicações (funções)
f : E  F e g : F  G , tal que o conjunto de chagada da
primeira e o conjunto de partida da segunda coincidem. A
composição g  f é a relação de E em G e pode ser representada
por:
x, y, z  E . As adições e multiplicações sobre os conjuntos
numéricos, por exemplo, são operações que gozam da
propriedade associativa, pois x  y  z  x  y  z e
x   y  z   x  y   z , x , y , z .


 

A potência em IN é associativa?
Comutativa: x * y  y * x , quaisquer que sejam x, y , z  E .
A operação aditiva em M mn R  , por exemplo, goza da
f
propriedade comutativa, pois X  Y  Y  X , X , Y .
g
E  1,2,3,4, F  m, n, p, q, r, s e
G  5,6,7,8 e as aplicações f  1, m, 2, n, 3, r , 4, s 
, de E em F e g  m,6, n,7,  p,7, q,5, r ,8, s,8 de F
em G. A aplicação indicada por g  f ou g  f x  é:
Por exemplo, seja
Procure por essa relação no livro “Álgebra Moderna” do Iezzi.
Operações (grupóides)
Uma lei de composição interna ou operação sobre um
conjunto E é toda a aplicação f : E  E  E . Quando
queremos representar uma operação f qualquer sobre E, que
associa cada par (x, y) de E x E a um elemento de E, usamos x*y,
e lê-se “x estrela y”. Também dizemos que E está munido da
operação *. Seja A um conjunto não vazio munido da operação *,
chama-se grupóide ao par ordenado (A, *).
Como exemplo, podemos considerar a aplicação
f : N  N  N tal que f x, y  x  y , o que associa a

cada par

x, y  de números naturais a sua soma
x  y . Essa é
uma operação de adição sobre N , simbolizada por +, e o
composto x  y é chamado de soma, sendo x e y parcelas.
Podemos ter também a notação multiplicativa, com compostos
em produtos e x e y como fatores.
Como exemplo, podemos ter a aplicação f : E  E  E ,
em que En  M (R) , que representa o conjunto das matrizes
quadradas de ordem n com elementos reais, tal que
f x, y  x  y é a operação de multiplicação sobre M (R ) .


Elemento neutro: se existe um elemento e E tal que
e * x  x , x  E , dizemos que e é um elemento neutro à
esquerda para *. O mesmo pode ocorrer com e à direita. Se e é
elemento neutro à direita e à esquerda para a operação *, dizemos
simplesmente que e é o elemento neutro para *. A subtração no
conjunto dos inteiros, por exemplo, admite elemento neutro, que
no caso é o zero, somente à direita.
Elementos simetrizáveis: seja uma operação * que tenha e ,
dizemos que x  E é simetrizável para * se existir x' E de
forma que x * x'  e  x'*x . Onde x' é o simétrico de x para
*. No conjunto dos números inteiros, por exemplo, para a
operação de adição, 5 é um elemento simetrizável e seu simétrico
(ou oposto) é – 5.
Elementos regulares: seja * uma operação em E. Um elemento
a E é regular (ou simplificável ou que cumpre a lei do
cancelamento) em relação à * se, para quaisquer x, y  E ,
a * x  a * y e x * a  y * a vale x  y .
Podendo também ser regular somente à esquerda ou à direita.
Distributiva: sejam  e * operações sobre E.
Dizemos que  é distributiva à esquerda relativamente a * se
x y * z  xy * xz .

 
 

Dizemos que  é distributiva à direita relativamente a * se
y * z x  yx * zx .



 

Se  é à direita e à esquerda de *, dizemos simplesmente que 
é distributiva relativamente à *.
Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
Parte fechada para uma operação: seja A um subconjunto de E
e * uma operação em E. O subconjunto A é uma parte fechada de
E para a operação * se, e somente se, para quaisquer x, y  A
verificar-se x * y  A . O conjunto dos números naturais, por
exemplo, é uma parte fechada do conjunto dos números inteiros
para a adição e a multiplicação. Por quê?
Exercícios


5) No grupóide N , * , ou seja, na operação * sobre o conjunto
dos números naturais, definida por a * b  ab , determine:
2
a)
2*3
b) (2*3) * 2
1) Seja R a relação de A = {1,2,3,4} em B = {1,3,5} definida por
c)
2 * (3*2)
1
xRy  x  y . Determine a relação composta de R e R ,
isto é,
R  R 1 .
6) No grupóide
Z


,  a operação  é definida por
a  b  a  b  3ab . Calcular:
2) Seja R uma relação sobre o conjunto dos naturais definida por
xRy  x  2 y  12 , determinar:
R R.
R 1  R .
a)
b)
3)

f x   x 3  1 e g x   x 2  1 , determine:
3 * x * x  2 * x  160
definidas por
Sendo
operação
a * b  a  b  ab .
f g
g f
f  f
gg
b)
c)
d)
b)
1  (2)
 3  4  (9)
7) Resolva no conjunto dos números naturais a equação :
Considere as funções f e g, de
a)
a)
* a
sobre
4) Considere f, g e h, sobre E = {a,b,c,d} dadas nos diagramas
abaixo:
b)
x y
2
x
E  R e x* y 
y
E  R e x* y 
E  R e x * y  x 2  y 2
f
Determine
a
b
c
d
a
b
c
d
g
a
b
c
d
a
b
c
d
h
a
b
c
d
f  g , f  f , g f , g  g , f h , h f ,
g  h , h  g e h h.
naturais
definida
por
8) Para cada caso a seguir verifique se a operação * é comutativa
e/ou associativa.
a)
a
b
c
d
os