Números Complexos v2

Números Complexos
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
EL02D - ELETRICIDADE 2
PROF. VITOR YANO
Introdução
 A primeira ideia que se tem ao ouvir falar em
“números complexos” é a de que seu uso é difícil ou
complicado.
 Além disso, um dos termos utilizados é o de números
imaginários, o que traz a idéia de abstrações
inexistentes ou sem aplicação.
Importância
 Os números complexos são usados na matemática
teórica, principalmente na resolução de equações
grau maior ou igual a 2.
 Uma das principais aplicações práticas dos números
complexos é no estudo dos fenômenos elétricos em
corrente alternada senoidal.
História
 A resolução de problemas e equações sempre
fascinou os matemáticos.
 Para problemas sem solução, propunha-se criar um
novo conjunto de números.
 A solução de equações do 2º grau com Δ < 0
permaneceu assim por 4 séculos.
História
 Na Itália, no século XVI, surgiram as primeiras
idéias dos números complexos para resolução de
equações do 3º grau.
 Scipione del Ferro / Antonio Maria Fior x Nicoló
Fontana (Tartaglia) / Girolamo Cardano.
História
 Toda equação
y³ + ay² + by + c = 0
pode ser transformada em
x³ + px + q = 0

História
 x³ – 15x – 4 = 0
 Soluções?
História
 Soluções:
4
 –2 – √3 (– 3,732...)
 –2 + √3 (0,26795..)
Conjuntos dos números
 N*
 Naturais (N)
 Inteiros (Z)
 Racionais (Q)
 Irracionais (I)
 Reais (R)
 Complexos (Z)
 Hiper-reais (*R), hipercomplexos, quatérnios (H),
octônios (O)...
Conceito
Conceito
Definições
 Sejam z = a + jb; w = c + jd
 Re{z} = a; Re{w} = c
 Im{z} = b; Im{w} = d
 z = w sse a = c E b = d
 z + w = w + z = (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Exercícios
Revisão
 O conjunto dos números complexos inclui valores
que não podem ser expressos apenas pelos números
reais.
 Um número complexo é composto por uma parte
real e uma parte imaginária.
 Nas operações com números complexos, aplicam-se
as propriedades associativa, comutativa e
distributiva.
Revisão
 Operações com números reais:
 Soma / subtração
 Multiplicação / divisão
 Potência / raiz
 Propriedades:
 Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
 Comutativa: x +y = y + x
 Distributiva: a(x + y) = ax + ay
Revisão
 j0 = 1
 j1 = j
 j2 = –1
 j3 = –j
 j4 = 1
 j5 = j
 j6 = –1
 ...
Operações com números complexos
 Sejam a, b, c, d, x números reais e







z = a + jb; w = c + jd números complexos
z + w = (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
z – w = (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b – d)
x · z = x(a + jb)= xa + jxb
z / x = (a + jb)/x = a/x + jb/x
z · w = (a + jb)(c + jd)
z · w = (ac + jad + jbc + j²bd) = (ac – bd) + j(ad + bc)
z / w = (a + jb)/(c + jd) = ?
Operações com números complexos
 Conjugado: z* = a – jb
 z · z* = (a + jb)(a – jb)
NÚMERO REAL PURO!
 z · z* = (a² + jab – jab - j²b²) = (a² + b²)
 z / w = (a + jb)/(c + jd)
 z / w = (z · w*)/(w · w*)
 z / w = (a + jb)(c – jd)/(c + jd)(c – jd)
 z / w = [(ac + bd) – j(ad – bc)]/(c² + d²)
 z / w = (ac + bd)/(c² + d²) – j(ad – bc)/(c² + d²)
Exemplos
 6(4 + j6)
 (5 + j7)(3 – j2)
 3 + j2
4 + j2
 (1 + j5)2
 (1 – j)16