Aula 14 de Bases Matemáticas

Aula 14 de Bases Matemáticas
Rodrigo Hausen
Versão: 21 de julho de 2016
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Funções monótonas
Seja f uma função real e A um subconjunto do seu domínio.
Dizemos que f é crescente em A se, para todo par de números a, b ∈ A,
vale a implicação: a < b ⇒ f (a) < f (b).
Exemplo 1 A função f (x) = x é crescente em R, pois para todo par a, b ∈
R, é verdade que: a < b ⇒ a = f (a) < f (b) = b.
Dizemos que f é decrescente em A se, para todo par de números
a, b ∈ A, vale a implicação: a < b ⇒ f (a) > f (b).
Exemplo 2 A função f (x) = x2 é decrescente em (−∞; 0], pois a < b ≤
0 → a2 > b2 . A mesma função é crescente em [0; +∞).
Dizemos que f é não-decrescente em A se, para todo par de números
a, b ∈ A, vale a implicação: a < b ⇒ f (a) ≤ f (b).
Exemplo 3 A função piso (Fig. 1), definida por bxc = max{n ∈ Z; n ≤
x}, é não-decrescente em R. Seja a um número inteiro, então bac = a, e
considere b > a. Se b − a < 1, então bbc = a, porém, se b − a ≥ 1, então
bbc > a. Observe que a função piso é crescente no conjunto Z.
Dizemos que f é não-crescente em A se, para todo par de números
a, b ∈ A, vale a implicação: a < b ⇒ f (a) ≥ f (b).
Dizemos que uma função é monótona em A (também dita monotônica
em A) se ela for crescente, não-decrescente, decrescente ou não-crescente em
A.
Se a função for crescente ou decrescente em A, dizemos que ela é estritamente monótona em A.
x
. Determine o maior domínio para o qual
x+1
ela pode ser definida e os intervalos onde ela é monótona.
Pela expressão para f (x), o máximo domínio é R \ {−1}.
Exemplo 4 Seja f (x) =
1
3
2
1
−3
−2
−1
0
1
2
−1
−2
−3
Figura 1: Gráfico da função piso f (x) = bxc.
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3
Para verificar onde f é monótona, precisamos considerar os casos: crescente, não-decrescente, decrescente ou não-crescente.
Crescente: considere um intervalo I; para que f seja crescente em I é
preciso que, para todo a, b ∈ I valha a < b ⇒ f (a) < f (b).
Logo, por hipótese, temos a < b. Queremos chegar à tese f (a) < f (b).
a
b
a
Veja que a tese é equivalente à desigualdade
<
, ou seja,
−
a+1
b+1
a+1
b
a−b
< 0, portanto
< 0 equivale a f (a) < f (b).
b+1
(a + 1)(b + 1)
Sendo a < b, temos que a + 1 < b + 1 e, além disto, o número a − b
a−b
seja negativo, é preciso que
é menor que 0, logo para que
(a + 1)(b + 1)
a + 1 < b + 1 < 0 ou que 0 < a + 1 < b + 1. No primeiro caso, temos que
a, b ∈ (−∞; −1) e no segundo, a, b ∈ (−1; +∞).
Logo, para todo a, b ∈ (−∞; −1), temos que a < b ⇒ f (a) < f (b),
logo a função é crescente em (−∞; −1). A função também é crescente em
(−1; +∞).
Observe que, neste caso, não podemos dizer que a função é crescente
em (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) pois a implicação a < b ⇒ f (a) < f (b) não
vale para todo a, b na união dos intervalos. Um contra-exemplo é obtido com
a = −2 e b = 0 pois f (a) = 2 > 0 = f (b).
Não-decrescente: como a função é crescente em (−∞; −1) e em (−1; +∞),
ela também é não-decrescente em cada um destes intervalos.
Decrescente: não há nenhum intervalo onde ela é descrescente.
Não-crescente: não há nenhum intervalo onde ela é não-crescente.
Conclusão: a função é monótona no intervalo (−∞; −1) e no intervalo
(−1; +∞), mas não é monótona em (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).
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Para casa
Ler pp. 152 a 155 do livro de Bases Matemáticas (versão 12). Fazer a lista
8 até até o exercício 13.
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