Lista

PROFMAT – Geometria I
Problemas suplementares – Semana 08 a 14/agosto – Lista 1
Problema 1
Observe a sequência dos números de diagonais dos polígonos:
n
3
4
5
6
7
8
9
d
0
2
5
9
14
20
27
Encontre os cinco termos seguintes sem usar a fórmula que calcula o número de
diagonais.
Problema 2
Mostre que o número de diagonais de um polígono nunca termina em 8.
Problema 3
Em um decágono convexo, no máximo, quantos são os pontos de interseção entre suas
diagonais?
PROFMAT – Geometria I
Problemas suplementares – Semana 15agosto a 21/agosto
Problema 4
No triângulo ABC, retângulo em A, o cateto AC é maior que o cateto AB. Pelo ponto D,
pé da bissetriz do ângulo reto trace DE perpendicular a BC ( E AC ). Mostre que o
ângulo EBD mede 45o.
Problema 5
Em um polígono convexo, três ângulos internos são de 160o e, cada um dos outros
ângulos é maior que 166o. Determine o menor número possível de lados para esse
polígono.
Problema 6
Calcule a soma dos ângulos assinalados na figura abaixo.
PROFMAT – Geometria I
Problemas suplementares – Semana 22agosto a 28/agosto
Problema 7
Considere o triângulo ABC onde
de AB calcule o ângulo ACM .
BAC 150 e
ABC
Lista 3
300 . Sendo M o ponto médio
Sugestão: Trace por A uma perpendicular à reta BC.
Problema 8
Na figura abaixo, AB
ângulo BDE .
AC ,
BAC
200 ,
CBD
600 e
BCE
500 . Calcule o
Sugestão: Assinale F sobre CD de forma que o ângulo CBF tenha 20o. Trace EF e encontre todos os
triângulos isósceles que aparecem.
PROFMAT – Geometria I
Problemas suplementares – Semana 29agosto a 04/setembro
Lista 4
Problema 9
Construa sobre cada lado de um paralelogramo
ABCD um quadrado como mostra a figura ao
lado.
Mostre que os centros desses quadrados são
vértices também de um quadrado.
Problema 10
Quantos trapézios existem cujos lados medem 4cm, 6cm, 7c, e 10cm?
Problema 11
“Todo triângulo é isósceles”.
Demonstração:
Considere um triângulo qualquer ABC seja F o ponto de interseção da mediatriz de BC
com a bissetriz do ângulo BAC.
Como F está na mediatriz de BC então
FB FC e ainda FBC
FCB .
Traçamos FE perpendicular a AB e FD
perpendicular a AC.
Como F está na bissetriz do ângulo BAC
então FE FD .
Assim, os triângulos retângulos EFB e
DFC são congruentes, pois possuem
hipotenusas iguais e um cateto igual.
Portanto EBF
DCF e como
FBC
FCB concluímos que
EBC
DCB e o triângulo ABC é isósceles.
Onde está o erro?
PROFMAT – Geometria I
Problemas suplementares – Semana 05 a 11/setembro
Lista 5
Aviso: Unidade 9. Desconsidere o problema 2
Problema 12
Seja ABCD um quadrado de centro O e seja ABE um triângulo eqüilátero exterior. Se M
é o ponto médio de BE mostre que o ângulo MOB mede 30o.
Problema 13
Em uma circunferência considere as cordas AB e CD que não se cortam e seja M o
ponto médio do arco CD. Os segmentos MA e MB cortam o segmento CD e P e Q,
respectivamente. Mostre que o quadrilátero ABQP é inscritível.
Problema 14
No triângulo ABC os pontos M e N pertencem aos lados AB e AC, respectivamente e o
segmento MN é tangente à circunferência inscrita em ABC. Mostre que o perímetro do
triângulo AMN é constante.
Problema 16 (Unidade 9, problema 4)
Quatro retas cortam-se duas a duas formando quatro triângulos. Prove que as
circunferências circunscritas aos quatro triângulos passam por um mesmo ponto.
Solução:
Notação: Seja (XYZ) a circunferência que
contém os pontos X, Y e Z.
Na figura ao lado as quatro retas formaram
os quatro triângulos: ADF, ABE, CBD e
CEF.
Seja P o segundo ponto comum entre as
circunferências (ADF) e (CEF).
Una P aos outros pontos do desenho.
a)
PADF é inscritível. Então PAD
PFC .
PFEC é inscritível. Então PFC
PEC .
Como PAD
PEC então ABEP é inscritível e P (ABE ) .
b)
PAF
PAE .
PADF é inscritível. Então PDF
PABE é inscritível. Então PAE
PBE
PBC .
Como PDC
PDF
PBC então CBDP é inscritível e P (CBD) .