) )x )( )

Lista de exercícios: Equações Trigonométricas Gerais – Prof º Marco Polo
01.(Puc) Sabe-se que α é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Sabendo-se
k +1
que sen α =
, cos α = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine o valor de k e a área do
2
triângulo.
r . sen α = 3
π
, para r > 0 e 0 < α < .
02.(Ufscar) Determine o valor de r e α no sistema 
2
 r . cos α = 1
03.(Unesp) Resolva a equação 2.cos 2 x - 3.cos x + 1 = 0 , para x ∈ [0 , π ] .
(
)(
)
04.(Fuvest) Determine as soluções da equação 2.cos 2 x + 3.sen x . cos 2 x - sen 2 x = 0 que estão limitadas no
intervalo [0 , 2π ] .
05.(Fuvest) Ache todas as raízes da equação sen 3 x.cos x - 3.sen x.cos 3 x = 0 no intervalo [0 , 2π [ .
06.(Mack) Resolva, em [0 , 2π [ , a equação trigonométrica sen 4 x = 1 + cos 2 x .
07.(Mack) Se x e y são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que cos 2 x = 3.cos 2 y ,
calcule o valor da diferença y – x.
08.(Fuvest) Calcule o valor da soma das raízes da equação sen 2 x - 2.cos 4 x = 0 ,que estão no intervalo [0 , 2π ] .
3
09.(Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos 2α ).x 2 - (4.cos α .sen β ).x + . sen β = 0, sendo α e β os
2
ângulos agudos de um triângulo retângulo qualquer. Com essas informações, determine as medidas de α e β.
10.(Ufscar) Sendo sen α + cos α =
1
, determine os possíveis valores de sen α.
5
11.(Mack) Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudos mede α. Sabendo-se que a hipotenusa desse
cos α - sen α
.
triângulo vale 5 e, que o cateto adjacente do ângulo α vale 1, determine o valor da expressão y =
1 - tg α
1
 π
12.(Fuvest) Se α está no intervalo 0 ,  e satisfaz sen 4α - cos 4α = , calcule o valor da tangente de α.
4
 2
13.(Fuvest) O dobro do seno de um ângulo α, 0 < α <
π
, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Com base
2
nessa informação, calcule o valor do cosseno do ângulo α.
14.(Ufscar) Calcule o valor do ângulo x, 0 < x <
π
2
(
)(
)
, tal que : 4. 1 - sen 2 x . sec 2 x - 1 = 3.
15.(Mack) Resolva a equação 1 + tg 2 x = cos x, para x ∈ [0 , 2π ] .
16.(Mack) Para 0 < x < 2π, determine a soma das raízes da equação sec 2 x = tg x + 1.
17.(Mack) Qual é o valor da soma de todas as soluções da equação tg a + cotg a = 2, para a ∈ [0 , 2π ] .
18.(Unesp) Se (cos x).(sen x) =
2
e tg x =
3
2 , com 0 < x <
π
2
, determine o único valor de :
a ) cos x.
b ) sen x + sec x.
19.(Ita) Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ]0 , 2π [ e que o triplo da sua secante, somado ao
dobro da sua tangente, é igual a 3. Determine o valor do cosseno de x.
20.(Anglo) Se sen x =
sen x . cos x - tg x
1
π
e 0 < x < , calcule o valor da expressão y =
3
2
1 - cossec x
21.(Anglo) Resolver em ℜ a equação: cossec x – cotg x = 2sen x.
22.(Unesp) Simplifique a expressão E =
23.(GV) Simplifique a expressão y =
sec x - 2cos x + cos 3 x
.
cosx . sen 2 x
cos 2 x - cotg x
.
sen 2 x - tg x
24.(Puc) Resolver, em 0 ≤ x < 2π , a equação: sec x – cos x = sen x.
GABARITO
01. k =
3
5
e A = 96 cm 2
02. r = 2 e α =
π
3
 π π 2π 4π 3π 5π 
05. 0, , , , , , , π
 3 2 3 3 2 3 
08. 4π
12.
15
3
5π
16.
2
20.
2
72
23. cotg 2 x
09. α = 60° e β = 30°
13.
3
2
3π
17.
2
 π
03. 0 , 
 3
 π 3π 7 π 5π 7 π 11π 
04.  , , , , ,

4 4 6 4 4 6 
 π 3π 
06.  , 
2 2 
07. 30°
10.
4
3
ou 5
5
11.
14.
π
3
15. {0 , 2π}
3
3
18.
6 +3 3
b)
3
a)
2π


21. x ∈ ℜ / x = ±
+ k.2π, k ∈ Z
3


 π 5π 
24. 0, , π, 
4
 4
19.
1
5
5
13
22. tg 2 x