Lista 3

CM127 - Lista 3
Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis
1. Faça todos os exercícios dados em aula.
2. Determine as medidas x e y dos ângulos dos triângulos nos itens abaixo
3. Dizemos que um triângulo é acutângulo quando todos os seus ângulos são menores
que um ângulo reto. Dizemos que um triângulo é retângulo quando um de seus
ângulos for igual a um ângulo reto. Por fim, dizemos que um triângulo é obtusângulo
quando um dos seus ângulos for maior que um ângulo reto. Determine em cada um
dos itens abaixo se o triângulo é acutângulo, obtusângulo ou retângulo conhecendo
apenas dois de seus ângulos.
(a) ∠ABC = 70◦ e ∠BCA = 10◦
(b) ∠ABC = 80◦ e ∠BCA = 15◦
(c) ∠ABC = 30◦ e ∠BCA = 60◦
(d) ∠ABC = 60◦ e ∠BCA = 60◦
4. Determine a medida x do ângulo do triângulo abaixo
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5. No triângulo abaixo temos 4ABD ≡ 4CBD. Se AC = x + y, DC = 4x, AB = 5x
e BC = 3x + 2. Determine os valores de x e y.
6. No triângulo abaixo BE é bissetriz de ∠ABC. Se ∠ACB = 30◦ encontre o valor
de ∠DBE.
7. Na figura abaixo 4ABC e 4BED são triângulos equiláteros que possuem lados de
mesmo comprimento. Determine o valor de ∠AEB.
8. No desenho abaixo temos 4ABD ≡ 4CDB. Determine os valores de α e β
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9. Na figura abaixo temos ∠ODC = ∠OBE e ∠OEB = ∠DCO. Se DC = EB,
∠DOB = 60◦ e OB = 5cm, determine o comprimento do segmento BD.
10. Na figura abaixo, GC e BE são as bissetrizes dos ângulos ∠ACB e ∠ABC, respectivamente. Se ∠BAC = 60◦ e ∠ABC = 80◦ , determine
(a) A medida de ∠ACB
(b) A medida dos ângulos ∠DCB e ∠DBC
(c) A medida de ∠BDC.
11. Na figura abaixo temos AE = BE = CE = CD. Sendo α e β as medidas dos
α
ângulos na figura, determine a razão
β
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12. Na figura abaixo os triângulos 4EF C e 4HID são equiláteros. Qual é o valor de
x?
13. No triângulo 4ABC os pontos D e E pertencem ao lado BC e são tais que BD =
BA e CE = CA. Dado que ∠DAE = 40◦ , determine a medida do ângulo ∠BAC.
14. Na figura abaixo, AB = AC, AE = AD e o ângulo ∠BAD = 30◦ . Determine a
medida do ângulo x.
15. Na figura abaixo, o ângulo ADC mede 48◦ e os triângulos 4ACD, 4DBE e 4EAF
são isósceles de bases AD, DE e EF , respectivamente. Determine a medida do
ângulo ∠DEF .
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16. Os pontos M e N são escolhidos na hipotenusa AB do triângulo retângulo 4ABC
de modo que BC = BM e AC = AN . Prove que o ângulo ∠M CN mede 45◦ .
17. Se a soma das medidas em graus dos ângulos ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E e ∠F da figura
abaixo é 90.n, qual o valor de n?
18. A altura CH e a mediana BK são desenhadas em um triângulo acutângulo 4ABC.
Sabemos que BK = CH e que ∠KBC = ∠HCB. Prove que o triângulo 4ABC é
equilátero.
19. A mediana BM , a altura AH e a bissetriz CK de um triângulo 4ABC são desenhadas. Sabemos que AH intersecta BM em L, AH intersecta CK em N e BM
intersecta CK em P . Os pontos L, N e P são distintos. Prove que o triângulo
4LN P não pode ser equilátero.
20. No triângulo 4ABC abaixo, BP é bissetriz do ângulo B, M é o ponto médio do
lado AC e AP é perpendicular a BP . Se AB = 6, BC = 10, determine P M .
21. No triângulo 4ABC abaixo, BP é bissetriz do ângulo B e M é o ponto médio do
lado AC. Se AB = 6 e BC = 10. Calcule P M .
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22. Em um triângulo 4ABC com AB = AC e ∠BAC = 30◦ marcamos um ponto Q
no lado AB e um ponto P na mediana AD, de modo que P C = P Q e Q 6= B. Ache
∠P QC.
23. Na figura, os triângulos 4ABC e 4EGF são equiláteros. O perímetro do triângulo
4ABC é 132cm e AE = EC, BD = DC, EF = F C e DG = GE. Qual é o
perímetro do polígono ABDGF ?
24. Dois triângulos equiláteros de perímetro 36cm cada um são sobrepostos de modo que
sua interseção forme um hexágono com pares de lados paralelos, conforme ilustrado
no desenho. Qual é o perímetro desse hexágono?
25. Um trapézio ABCD de bases BC e AD com BC < AD é tal que 2.AB = CD e
∠BAD + ∠CDA = 120◦ . Determine os ângulos do trapézio ABCD.
26. Encontre o valor dos ângulos de um losango se uma de suas diagonais é congruente
à um de seus lados.
27. Demonstre que um paralelogramo é um losango se suas diagonais se cruzam em um
ângulo reto.
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28. Demonstre que os pontos de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um paralelogramo são vértices de um quadrado.
29. Demonstre que os pontos médios dos lados de um retângulo são vértices de um
losango e que os pontos médios dos lados de um losango são vértices de um losango.
30. Demonstre que as três mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram em um
ponto em comum.
31. Demonstre que as três alturas de um triângulo se encontram em um ponto em
comum (Sugestão: Considere um outro triângulo cujos lados contém os vértices do
triângulo original e são paralelos aos lados opostos).
32. Na figura abaixo ABCD é um quadrado e 4BCE é equilátero. Determine o valor
de ∠BDE.
33. Na figura abaixo ABCD é um quadrado e 4CDE é equilátero. Determine o valor
de ∠AED.
34. Prove que num trapézio isósceles a mediatriz de uma de suas bases é mediatriz da
outra base, e reciprocamente.
35. Seja um quadrado ABCD e pontos X ∈ AB, Y ∈ BC, Z ∈ CD, W ∈ DA tais que
AX ≡ BY ≡ CZ ≡ DW . Prove que XY ZW é um quadrado.
36. Dado um paralelogramo ABCD, considere os triângulos equiláteros ABF e ADE
construídos exteriormente ao paralelogramo. Prove que F CE também é triângulo
equilátero.
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37. Seja ABCD um trapézio de bases AB = 7cm e CD = 3cm e lados não paralelos
AD e BC. Se ∠A = 43◦ e ∠B = 47◦ , calcule a distância entre os pontos médios
dos bases do trapézio.
38. São dados no plano um paralelogramo ABCD, de diagonais AC e BD, e uma reta
r que não intersecta ABCD. Sabendo que as distâncias dos pontos A, B e C à reta
r são respectivamente iguais a 2, 3 e 6 centímetros, calcule a distância de D à reta
r.
39. As bases AB e CD de um trapézio têm comprimento a e b, respectivamente, com
a > b. Se os lados não paralelos são AD e BC e ∠BCD = 2∠DAB, mostre que
BC = a − b.
40. Seja ABCD um trapézio no qual o comprimento da base maior AB é igual ao
comprimento da base menor CD somado ao comprimento do lado não paralelo
BC. Se o ângulo A medir 70◦ , calcule o ângulo ∠C do trapézio.
41. Um triângulo 4ABC é retângulo em A e tal que BC = 2AB. Calcule a medida
dos seus ângulos em graus.
42. Em um triângulo 4ABC, sejam M o ponto médio do lado BC e Hb e Hc , respectivamente, os pés das alturas relativas à AC e AB. Prove que 4M Hb Hc é
isósceles.
43. Sejam ABCD um quadrado de diagonais AC e BD, e E um ponto sobre o lado
CD, tal que AE = AB + CE. Sendo F o ponto médio do lado CD, prove que
∠EAB = 2∠F AD.
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