Enviado por josafamathias2019

Matrizes

Propaganda
5. Resolver a equação matricial X − A − 2B t = C, sendo
Matemática II
dadas:
Matrizes: Conceituação e operações com matrizes.
Deve-se explorar as matrizes em aplicações práticas e

como ferramenta para o estudo dos sistemas lineares.
A=
1
0
7
2


, B = 
1
5
2
4


 eC=
−1
−2
3
5

.
Determinantes de ordem 2 e 3.
Matrizes
6. Dadas as matrizes
Exercı́cios de Sala

A=
1
3
−1
0


 eB=
0
−2
−1
1
4
0

,
1. Construir as seguintes matrizes:
calcule:
(a) A = (aij )2×2 tal que aij = i − j.

 1, se i ≥ j
(b) B = (bij )2×3 tal que bij =
 0, se i < j
(a) A · B
(c) A2
(b) B · A

7. São dadas as matrizes A = 
(c) C = (cij )3×2 tal que cij = i2 − j 2


 i2 , se i < j


(d) D = (dij )3×3 tal que dij =
i + j, se i = j



 j 3 , se i > j

B=
1
0
1
−1
3
2
(d) A3

e

. Se a matriz X, de ordem 2, é a solução
−1 2
da equação A · X = B, então qual a soma dos elementos
de X?
2. (UERJ) Três barracas de frutas, B1 , B2 e B3 , são propri’
edade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij
representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas
Bi e Bj em milhares de reais, ao final de um determinado
8. Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guardaroupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo
e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis
durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quan-
dia de feira.

x 1, 8


B= a y

d
c
3

tidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário


2 

7
no mesmo mês.
PP
PP
PP Modelo Básico
PP
PP
Madeira
P
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
(a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2 ;
3
5
4
Cerejeira
4
3
5
Tipo
3. Sabendo que a matriz A é igual à matriz B, então determine o valor de x2 + y 2 + z 2 .

A=
3
2
y3
2x


 eB=
3z
2
8
8
Requinte
Mogno
PP
PP
(b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
Luxo

PP Madeira Mogno Cerejeira
PP
PP
P
Dourada
10
12
Prateada
8
8
Bronzeada
4
6

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de



2 4
3






4. Sejam as matrizes A =  1 5  e B =  −1



0 7
9
Determine as seguintes matrizes:
(a) 3A + B
(b) 2At − 3B t
−2



6 .

8
(a) 170
(b) 192
(c) 120
(d) 218
(e) 188
9. Determine 
os valores reais de x
modo que as ma e y de 
2 0
3 x
eB=
 comutem.
trizes A = 
−3 4
y 1
10. Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:

(a) 
2
1
1
1



(b) 
3
6
2
4





(c)  0

0
2
0
4
0
1



1 

1
Exercı́cios Propostos
(a) 9
(b) 8
(c) 6
(d) 4
(e) 3
4. Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando
At = −A. Determinex, y e z de modo que a matriz
0 −4
2




A= x
0 1 − z  seja antissimétrica.


y 2z
0
5. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos
1. Construa as matrizes de acordo com a lei de cada uma:
(a) A = (aij )3×2 ; tal que aij = 2i − 3j.



0, se i = j


(b) B = (bij )3×3 tal que bij =
1, se i > j .



 2, se i < j

 ij + j i , se i + j ≤ 2
(c) C = (cij )2×2 ; tal que cij =
.
 j + 1, se i + j > 2

 i + j, se i ≤ j
(d) D = (dij )2×3 tal que dij =
.
 i − j, se i > j
2. O número de elementos de uma matriz A com m linhas e
n colunas é mn. Se este número é primo, pondere sobre
as seguintes afirmações:
I. A é uma matriz quadrada.
II. A é uma matriz linha ou uma matriz coluna.
III. A é uma matriz simétrica, isto é, A = At .
IV. A é uma matriz que não admite inversa.
Estão corretas:
(a) I e II.
(c) II e III.
(b) I e III.
(d) II e IV.
(e) III e IV.
3. (UFPB) Num livro muito velho e em péssimo estado de
conservação, Maria notou que existia em um exercı́cio,
uma matriz 3 × 3 rasurada,

·


M = ·

3
1
·
·
·



5 

·
na qual se podia ler apenas os três elementos indicados
elementos de sua diagonal principal. Determine o traço
da matriz C = (cij )4×4 em que cij = 3i + j − 1.




2
3
4 −6
eB=
,
6. Usando as matrizes A = 
7 −3
1
0
calcule:
(a) 3A + 2B
(c) A · B
(b) At − B t
(d) (A + B)2
7. Os números x e y são tais que:

x3
y3

z2
3z


+
4
−5x2
2z
−z
=
12
7
9 + 2z
2z

.
a matriz
X tal que (X + A)t = B, em que



2

1 −2 4

.
0 eB=

5 6 0
1




2 1
−1 2
, B = 
e
10. Sendo as matrizes A = 
3 −1
1 0


4 −1
, determine a matriz X, de ordem 2, tal
C=
2 1
que:
X −A
B+X
=
+ C.
2
3
9. Determine

4


A =  −1

5
11. Considere as matrizes:
A = (aij )4×7 , definida por aij = i − j
B = (bij )7×9 , definida por bij = i
C = (cij ), C = AB
M era igual à sua transposta e que a soma dos elementos
Determine o elemento c23 .
principal. O valor dessa soma era:

Calcule x, y e z.


1
2
, determine A2 − 2A − 11I2 .
8. Se A = 
4 −3
em M . No enunciado do exercı́cio, constava que a matriz
de cada linha era igual à soma dos elementos da diagonal

12. O número de transistores e o número de alto-falantes
usados para montar três modelos de aparelhos de TV
foram especificados na tabela abaixo. Vamos chamar este
(b) X = (B t ) A−1
arranjo de matriz das partes-por-aparelho.
(c) X = (BA)
Modelo A
Modelo B
Modelo C
Transistores
10
18
20
Alto falantes
2
3
4
t
(d) X = (AB)
t
(e) nenhuma das respostas anteriores.
19. Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:
Em janeiro, tenham sido encomendados 12 aparelhos do
modelo A, 20 do modelo B e 12 do modelo C; em fevereiro, 6 aparelhos do modelo A, 10 do modelo B e 9 do

(a) 
1
−1
3
0



(b) 
2
3
4
6





(c) 

modelo C. Podemos escrever a informação em forma de
matriz, assim:
1
−1
3
0
−1
−2
2


4 

0
20. A criptografia pode ser compreendida como a arte ou
Janeiro
Fevereiro
ciência de escrever mensagens em códigos. Para codifi-
Modelo A
12
6
car uma mensagem usando matriz 2 × 2 é necessário que,
Modelo B
20
10
primeiramente, cada letra do nosso alfabeto e sı́mbolos
Modelo C
12
9
desejados sejam associados a vetores colunas 2 × 1. Considere a associação mostrada na tabela seguinte.
Vamos chamar este arranjo de matriz dos aparelhos-pormês.
Multiplicando as matrizes, determine o número de transistores e de alto-falantes necessários em cada um dos
meses para essa encomenda.

13. Dadas as matrizes A = 
3
5

 e B =
h
4
0
i
1 −3
obtenha X tal que X · A = B.




1 0
p q
 e M2 = 
.
14. Sejam as matrizes M1 = 
1 0
1 1


2 −2
, então qual o valor
Se M2 · M1 − M1 · M2 = 
−3 −2
de p + q?




0 1
1 2
,
 e B = 
15. Dadas as matrizes A = 
1 0
x y
determine x e y de modo que AB = BA.


1 0
, calcule as potências A2 , A3 , A4 e
16. Sendo A = 
1 1
An para um inteiro positivo n qualquer.
A mensagem a ser criptografada (mensagem original) é
uma matriz M com 2 linhas criada a partir da associação
citada. Agora, basta criar uma matriz C2×2 , a qual é denominada chave de codificação. Portanto, a mensagem
criptografada é uma matriz M 0 com 2 linhas, a qual é
obtida do produto de C por M . Para decodificar uma
mensagem criptografada, utiliza-se a identidade matricial M = C −1 M 0 , em que C −1 é a inversa de C, denominada chave de decodificação.
Cleilton Melo, professor do IFPI – Picos, enviou a seguinte mensagem codificada ao seu amigo Rafael Macêdo,
professor do IFCE – Cedro:
17. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta
com A quando AX = XA.
 Determine
 todas as matrizes
1 −1
.
que comutam com A = 
3
0
18. (PUC – SP) Sendo A e B matrizes invertı́veis de mesma
t
ordem e X uma matriz tal que (XA) = B, então:
(a) X = A−1 (B t )

M0 = 
3
4
0
1
0
4
3
4
2
0
1
6
6
4
6
1
4
3
4
5
0
3

1
0
1
a mensagem enviada ao seu amigo.
1
Se Cleilton usou a chave: C = 




, descodifique
Download
Random flashcards
modelos atômicos

4 Cartões gabyagdasilva

paulo

2 Cartões paulonetgbi

Anamnese

2 Cartões oauth2_google_3d715a2d-c2e6-4bfb-b64e-c9a45261b2b4

teste

2 Cartões juh16

paulo

2 Cartões oauth2_google_ddd7feab-6dd5-47da-9583-cdda567b48b3

Criar flashcards