5. Resolver a equação matricial X − A − 2B t = C, sendo Matemática II dadas: Matrizes: Conceituação e operações com matrizes. Deve-se explorar as matrizes em aplicações práticas e como ferramenta para o estudo dos sistemas lineares. A= 1 0 7 2 , B = 1 5 2 4 eC= −1 −2 3 5 . Determinantes de ordem 2 e 3. Matrizes 6. Dadas as matrizes Exercı́cios de Sala A= 1 3 −1 0 eB= 0 −2 −1 1 4 0 , 1. Construir as seguintes matrizes: calcule: (a) A = (aij )2×2 tal que aij = i − j. 1, se i ≥ j (b) B = (bij )2×3 tal que bij = 0, se i < j (a) A · B (c) A2 (b) B · A 7. São dadas as matrizes A = (c) C = (cij )3×2 tal que cij = i2 − j 2 i2 , se i < j (d) D = (dij )3×3 tal que dij = i + j, se i = j j 3 , se i > j B= 1 0 1 −1 3 2 (d) A3 e . Se a matriz X, de ordem 2, é a solução −1 2 da equação A · X = B, então qual a soma dos elementos de X? 2. (UERJ) Três barracas de frutas, B1 , B2 e B3 , são propri’ edade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj em milhares de reais, ao final de um determinado 8. Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guardaroupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quan- dia de feira. x 1, 8 B= a y d c 3 tidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário 2 7 no mesmo mês. PP PP PP Modelo Básico PP PP Madeira P Calcule, para esse dia, o valor, em reais: (a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2 ; 3 5 4 Cerejeira 4 3 5 Tipo 3. Sabendo que a matriz A é igual à matriz B, então determine o valor de x2 + y 2 + z 2 . A= 3 2 y3 2x eB= 3z 2 8 8 Requinte Mogno PP PP (b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. Luxo PP Madeira Mogno Cerejeira PP PP P Dourada 10 12 Prateada 8 8 Bronzeada 4 6 A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de 2 4 3 4. Sejam as matrizes A = 1 5 e B = −1 0 7 9 Determine as seguintes matrizes: (a) 3A + B (b) 2At − 3B t −2 6 . 8 (a) 170 (b) 192 (c) 120 (d) 218 (e) 188 9. Determine os valores reais de x modo que as ma e y de 2 0 3 x eB= comutem. trizes A = −3 4 y 1 10. Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: (a) 2 1 1 1 (b) 3 6 2 4 (c) 0 0 2 0 4 0 1 1 1 Exercı́cios Propostos (a) 9 (b) 8 (c) 6 (d) 4 (e) 3 4. Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando At = −A. Determinex, y e z de modo que a matriz 0 −4 2 A= x 0 1 − z seja antissimétrica. y 2z 0 5. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos 1. Construa as matrizes de acordo com a lei de cada uma: (a) A = (aij )3×2 ; tal que aij = 2i − 3j. 0, se i = j (b) B = (bij )3×3 tal que bij = 1, se i > j . 2, se i < j ij + j i , se i + j ≤ 2 (c) C = (cij )2×2 ; tal que cij = . j + 1, se i + j > 2 i + j, se i ≤ j (d) D = (dij )2×3 tal que dij = . i − j, se i > j 2. O número de elementos de uma matriz A com m linhas e n colunas é mn. Se este número é primo, pondere sobre as seguintes afirmações: I. A é uma matriz quadrada. II. A é uma matriz linha ou uma matriz coluna. III. A é uma matriz simétrica, isto é, A = At . IV. A é uma matriz que não admite inversa. Estão corretas: (a) I e II. (c) II e III. (b) I e III. (d) II e IV. (e) III e IV. 3. (UFPB) Num livro muito velho e em péssimo estado de conservação, Maria notou que existia em um exercı́cio, uma matriz 3 × 3 rasurada, · M = · 3 1 · · · 5 · na qual se podia ler apenas os três elementos indicados elementos de sua diagonal principal. Determine o traço da matriz C = (cij )4×4 em que cij = 3i + j − 1. 2 3 4 −6 eB= , 6. Usando as matrizes A = 7 −3 1 0 calcule: (a) 3A + 2B (c) A · B (b) At − B t (d) (A + B)2 7. Os números x e y são tais que: x3 y3 z2 3z + 4 −5x2 2z −z = 12 7 9 + 2z 2z . a matriz X tal que (X + A)t = B, em que 2 1 −2 4 . 0 eB= 5 6 0 1 2 1 −1 2 , B = e 10. Sendo as matrizes A = 3 −1 1 0 4 −1 , determine a matriz X, de ordem 2, tal C= 2 1 que: X −A B+X = + C. 2 3 9. Determine 4 A = −1 5 11. Considere as matrizes: A = (aij )4×7 , definida por aij = i − j B = (bij )7×9 , definida por bij = i C = (cij ), C = AB M era igual à sua transposta e que a soma dos elementos Determine o elemento c23 . principal. O valor dessa soma era: Calcule x, y e z. 1 2 , determine A2 − 2A − 11I2 . 8. Se A = 4 −3 em M . No enunciado do exercı́cio, constava que a matriz de cada linha era igual à soma dos elementos da diagonal 12. O número de transistores e o número de alto-falantes usados para montar três modelos de aparelhos de TV foram especificados na tabela abaixo. Vamos chamar este (b) X = (B t ) A−1 arranjo de matriz das partes-por-aparelho. (c) X = (BA) Modelo A Modelo B Modelo C Transistores 10 18 20 Alto falantes 2 3 4 t (d) X = (AB) t (e) nenhuma das respostas anteriores. 19. Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: Em janeiro, tenham sido encomendados 12 aparelhos do modelo A, 20 do modelo B e 12 do modelo C; em fevereiro, 6 aparelhos do modelo A, 10 do modelo B e 9 do (a) 1 −1 3 0 (b) 2 3 4 6 (c) modelo C. Podemos escrever a informação em forma de matriz, assim: 1 −1 3 0 −1 −2 2 4 0 20. A criptografia pode ser compreendida como a arte ou Janeiro Fevereiro ciência de escrever mensagens em códigos. Para codifi- Modelo A 12 6 car uma mensagem usando matriz 2 × 2 é necessário que, Modelo B 20 10 primeiramente, cada letra do nosso alfabeto e sı́mbolos Modelo C 12 9 desejados sejam associados a vetores colunas 2 × 1. Considere a associação mostrada na tabela seguinte. Vamos chamar este arranjo de matriz dos aparelhos-pormês. Multiplicando as matrizes, determine o número de transistores e de alto-falantes necessários em cada um dos meses para essa encomenda. 13. Dadas as matrizes A = 3 5 e B = h 4 0 i 1 −3 obtenha X tal que X · A = B. 1 0 p q e M2 = . 14. Sejam as matrizes M1 = 1 0 1 1 2 −2 , então qual o valor Se M2 · M1 − M1 · M2 = −3 −2 de p + q? 0 1 1 2 , e B = 15. Dadas as matrizes A = 1 0 x y determine x e y de modo que AB = BA. 1 0 , calcule as potências A2 , A3 , A4 e 16. Sendo A = 1 1 An para um inteiro positivo n qualquer. A mensagem a ser criptografada (mensagem original) é uma matriz M com 2 linhas criada a partir da associação citada. Agora, basta criar uma matriz C2×2 , a qual é denominada chave de codificação. Portanto, a mensagem criptografada é uma matriz M 0 com 2 linhas, a qual é obtida do produto de C por M . Para decodificar uma mensagem criptografada, utiliza-se a identidade matricial M = C −1 M 0 , em que C −1 é a inversa de C, denominada chave de decodificação. Cleilton Melo, professor do IFPI – Picos, enviou a seguinte mensagem codificada ao seu amigo Rafael Macêdo, professor do IFCE – Cedro: 17. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A quando AX = XA. Determine todas as matrizes 1 −1 . que comutam com A = 3 0 18. (PUC – SP) Sendo A e B matrizes invertı́veis de mesma t ordem e X uma matriz tal que (XA) = B, então: (a) X = A−1 (B t ) M0 = 3 4 0 1 0 4 3 4 2 0 1 6 6 4 6 1 4 3 4 5 0 3 1 0 1 a mensagem enviada ao seu amigo. 1 Se Cleilton usou a chave: C = , descodifique
