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SEP 1 - Cap 4 ANEXO A - Equacoes de Fluxo de Carga

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Anexo A
1
ANEXO A – Equações do Fluxo de Carga
Neste Anexo, apresenta-se todo o desenvolvimento para obtenção das equações
de fluxo de carga considerando linhas de transmissão e transformadores. Para este fim,
foram adotadas como principais referências os seguintes trabalhos: Monticelli (1983,
1999). Vale ressaltar que este texto faz parte da Dissertação de Mestrado do
prof.Dr.Raphael Augusto de S. Benedito, apresentada na Universidade de São Paulo
(USP) em 2007. O documento na íntegra pode ser obtido através do seguinte site da
Biblioteca Digital da USP:
http://www.teses.usp.br/index.php?option=com_jumi&fileid=17&Itemid=160&id=77A
5D822EA17&lang=pt-br
Anexo A
2
A.1 Equacionamento dos Fluxos de Potência Entre Barras
A seguir, são desenvolvidas as expressões de fluxo de potência entre barras,
considerando linhas de transmissão e transformadores.
a) Linhas de Transmissão
O modelo π equivalente de uma linha de transmissão, ilustrado através da
figura A.1, é composto por três parâmetros: resistência série rkm ; reatância série x km ; e a
sh
susceptância shunt bkm
. Considerando que a expressão da impedância série em termos
dos parâmetros é dada por
z km = rkm + jxkm ,
(A.1)
e o tipo de análise de circuito almejada é a nodal, fica necessário trabalhar com os
parâmetros série em termos da condutância e susceptância da linha, logo, a admitância
série do ramo fica:
−1
y km = z km
= g km + jbkm =
rkm
x
− j 2 km 2 ,
2
r + x km
rkm + x km
2
km
(A.2)
ou,
g km =
rkm
x
e bkm = − 2 km 2 .
2
r + x km
rkm + x km
2
km
(A.3)
Figura A.1: Modelo π equivalente de uma linha de transmissão
Quando o modelo π representa uma linha de transmissão, têm-se rkm e x km
sh
positivos, o que implica g km positivo e bkm negativo (ou indutivo). Já o elemento bkm
é
positivo, pois o shunt de linha é do tipo capacitivo.
Anexo A
3
A partir da inspeção da corrente I km , mostrada na figura A.1, nota-se que ela é
formada por duas componentes: uma em série (ramo da impedância z km ) e outra shunt
sh
(ramo da susceptância bkm
). Assim, através da análise nodal têm-se as seguintes
relações:
sh
I km = y km ( E k − E m ) + jbkm
⋅ Ek
,
( A.4)
,
( A.5)
sh
I mk = y km ( E m − E k ) + jbkm
⋅ Em
sendo, E k = Vk ⋅ e jθk e E m = Vm ⋅ e jθm .
Com base nas relações de tensões e correntes, segue-se o equacionamento do
fluxo de potência complexa correspondente a uma linha de transmissão:
*
S km
= Pkm − j ⋅ Qkm = E k* ⋅ I km
*
sh
S km
= E k* [ y km ( E k − E m ) + jbkm
⋅ Ek ]
*
sh
S km
= y km ⋅ Vk ⋅ e − jθk (Vk ⋅ e jθk − Vm ⋅ e jθm ) + jbkm
⋅ Vk2
.
( A.6)
*
sh
S km
= y km ⋅ Vk2 − y km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ e − j (θk −θm ) + jbkm
⋅ Vk2
Considerando, θ km = θ k − θ m , e jθkm = cos θ km + jsenθ km , e − jθkm = cos θ km − jsenθ km , e
y km = g km + jbkm , têm-se:
*
sh
S km
= ( g km + jbkm ) ⋅ Vk2 − ( g km + jbkm ) ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ (cos θ km − jsenθ km ) + jbkm
⋅ Vk2 .
( A.7)
Separando a parte real e imaginária da equação (A.7) (acima), obtém-se os
fluxos ativos e reativos:
Pkm = Vk2 ⋅ g km − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos θ km − Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ senθ km
sh
Qkm = −Vk2 (bkm + bkm
) + Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos θ km − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ senθ km
.
( A.8)
,
( A.9)
Similarmente, os fluxos Pmk e Qmk são obtidos:
Pmk = Vm2 ⋅ g km − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos θ mk − Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ senθ mk
sh
Qmk = −Vm2 (bkm + bkm
) + Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos θ mk − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ senθ mk
sendo θ mk = θ m − θ k .
Considerando cos θ mk = cos θ km e senθ mk = − senθ km , pode-se reescrever a
equação (A.9) da seguinte forma:
Pmk = Vm2 ⋅ g km − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos θ km + Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ senθ km
sh
Qmk = −Vm2 (bkm + bkm
) + Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos θ km + Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ senθ km
,
( A.10)
Anexo A
4
b) Transformadores
O modelo equivalente de transformadores utilizados em estudos de fluxo de
carga e estimação de estados, é composto por uma impedância z km em série e um autotransformador ideal no lado primário, com uma relação de transformação dada por t km .
Tal modelo pode ser visualizado através da figura A.2 a seguir:
Figura A.2: Modelo equivalente de transformadores com relação complexa de
−
−1
⋅ e − jϕ
transformação dada por t km = a km ⋅ e jϕ ou t km = a km
Comumente os dados da rede são representados conforme a figura A.2-b
(MONTICELLI, 1999), porém, para facilitar e simplificar o equacionamento de fluxo
de potência, a representação adotada neste estudo será a da figura A2-a. Logo, caso os
dados do transformador estejam de acordo com a representação da figura A.2- b, basta
converter a relação da seguinte forma:
t km =
1
−
.
(A.11)
t km
Por exemplo: se é dado um trafo de 500/750 KV com relação de tap de 1.050 : 1
no lado de baixa (500 KV) e sem defasagem de fase, então, t km = 1.0 / 1.050 = 0.9524 .
c) Transformador em Fase
De forma geral, a modelagem de transformadores em fase compreende uma
impedância ou admitância série e um auto-transformador ideal (sem perdas no núcleo)
cuja relação de transformação é dada por 1 : a km . A figura A.3 representa este tipo de
trafo interligando as barras k e m .
Anexo A
5
Figura A.3: Representação de um transformador em fase
Como pode ser visualizado, P denota um ponto de referência para a relação de
transformação. Assim, a relação da magnitude de tensão neste ponto pela barra k é
dada por a km , ou seja, V p = a km ⋅ Vk . Como neste caso não existe defasamento angular
entre k e P ( θ k = θ p ), a relação entre as tensões complexas é dada por:
Ep
Ek
=
V p ⋅ e jθp
Vk ⋅ e jθk
( A.12)
= a km .
A partir do modelo ideal, isto é, sem perda de potência no transformador, a
seguinte relação é válida:
*
*
E k ⋅ I km
+ E p ⋅ I mk
=0
*
*
E k ⋅ I km
= − a km ⋅ E k ⋅ I mk
=0
logo,
,
( A.13)
I km
|I |
= − km = − a km .
I mk
| I mk |
Realizando a análise nodal do modelo de transformador, ilustrado na figura A.3,
em termos das corrente complexas I km e I mk , têm-se as seguintes equações:
I km = a km ⋅ I pm = a km (− I mk )
I km = − a km ⋅ y km ( E m − E p ) = − a km ⋅ y km ⋅ E m + a km ⋅ y km ⋅ E p
,
( A.14)
como E p = E k ⋅ a km , segue-se que
2
I km = − a km ⋅ y km ⋅ E m + a km
⋅ y km ⋅ E k ,
( A.15)
e
I mk = y km ( E m − E p ) = y km ⋅ E m − y km ⋅ E p
I mk = y km ⋅ E m − a km ⋅ y km ⋅ E k
.
( A.16)
Com base nas relações de tensões e correntes, segue a seguir o equacionamento
do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m :
Anexo A
6
*
S km
= Pkm − j ⋅ Qkm = E k* ⋅ I km
*
2
S km
= E k* ⋅ [− a km ⋅ y km ⋅ E m + a km
⋅ y km ⋅ E k ]
( A.17)
*
2
S km
= Vk ⋅ e − jθk [− a km ⋅ y km ⋅ Vm ⋅ e jθm + a km
⋅ y km ⋅ Vk ⋅ e jθk ] ,
*
S km
= y km ⋅ a km ⋅ Vk ⋅ e − jθk [−Vm ⋅ e jθm + a km ⋅ Vk ⋅ e jθk ]
*
2
S km
= − y km ⋅ a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ e − j (θk −θm ) + y km ⋅ a km
⋅ Vk2
considerando θ km = θ k − θ m , e jθkm = cos θ km + jsenθ km , e e − jθkm = cos θ km − jsenθ km , e
y km = g km + jbkm , têm-se:
*
2
S km
= −( g km + jbkm ) ⋅ a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ (cos θ km − jsenθ km ) + ( g km + jbkm ) ⋅ a km
⋅ Vk2 .
( A.18)
Separando a parte real e imaginária da expressão (A.18), obtêm-se os fluxos
ativos e reativos, resultando:
2
Pkm = akm
⋅ Vk2 ⋅ g km − akm ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos θ km − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ senθ km
2
Qkm = − a km
⋅ Vk2 ⋅ bkm + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos θ km − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ senθ km
.
( A.19)
Seguindo o mesmo procedimento, tem-se o equacionamento do fluxo de
potência da barra m para a barra k :
*
S mk
= Pmk − j ⋅ Qmk = E m* ⋅ I mk
*
S mk
= E m* [ y km ⋅ E m − a km ⋅ y km ⋅ E k ]
*
S mk
= Vm ⋅ e − jθm ⋅ [ y km ⋅ Vm ⋅ e jθm − a km ⋅ y km ⋅ Vk ⋅ e jθk ]
,
( A.20)
*
S mk
= y km ⋅ Vm2 − a km ⋅ y km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ e − j (θm−θk )
sendo
θ mk = θ m − θ k ,
e jθmk = cos θ mk + jsenθ mk , e
e − jθmk = cos θ mk − jsenθ mk , e
y km = g km + jbkm , têm-se:
*
S mk
= ( g km + jbkm ) ⋅ Vm2 − a km ⋅ ( g km + jbkm ) ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ (cos θ mk − jsenθ mk ) ,
( A.21)
Separando a parte real e imaginária da equação (A.21), obtêm-se os fluxos ativos
e reativos:
Pmk = Vm2 ⋅ g km − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos θ mk − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ senθ mk
Qmk = −Vm2 ⋅ bkm + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos θ mk − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ senθ mk
.
( A.22)
d) Transformador Defasador Puro
Os trafos defasadores são equipamentos capazes de controlar a relação de fase,
ou defasagem entre as tensões do primário e do secundário, e assim, prover controle de
fluxo de potência ativa entre as barras. A figura A.4 representa este tipo de trafo
interligando as barras k e m .
Anexo A
7
Figura A.4: Representação de um transformador defasador
Analisando o modelo, P é um ponto de referência para a relação de
transformação, assim, a relação da tensão complexa neste ponto pela barra k é dada por
e jϕ , ou seja, E p = E k ⋅ e jϕ , sendo φ o valor da defasagem causada pelo trafo.
Pela análise nodal do circuito, a expressão da corrente complexa I km fica:
I km = e − jϕ ⋅ I pm = e − jϕ ⋅ (− I mk )
I km = −e − jϕ ⋅ ( E m − E p ) ⋅ y km
( A.23)
.
I km = − y km ⋅ E m ⋅ e − jϕ + y km ⋅ E p ⋅ e − jϕ
como E p = E k ⋅ e jϕ
( A.24)
I km = − y km ⋅ E m ⋅ e − jϕ + y km ⋅ E k .
De forma análoga tem-se a corrente I mk :
I mk = ( E m − E p ) ⋅ y km
I mk = y km ⋅ E m − y km ⋅ E k ⋅ e jϕ
( A.25)
.
Com base nas relações de tensões e correntes, segue-se a seguir o
equacionamento do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m :
*
S km
= Pkm − j ⋅ Qkm = E k* ⋅ I km
*
S km
= E k* ⋅ [− y km ⋅ E m ⋅ e − jϕ + y km ⋅ E k ]
*
S km
= Vk ⋅ e − jθk [− y km ⋅ Vm ⋅ e jθm ⋅ e − jϕ + y km ⋅ Vk ⋅ e jθk ]
.
( A.26)
*
S km
= y km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ e − j (θk −θm +ϕ ) + y km ⋅ Vk2
Sendo,
e
e j (θkm +ϕ ) = cos(θ km + ϕ ) + jsen (θ km + ϕ ) , e − j (θkm +ϕ ) = cos(θ km + ϕ ) − jsen (θ km + ϕ ) ,
y km = g km + jbkm
, têm-se:
*
S km
= ( g km + jbkm ) ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ [cos(θ km + ϕ ) + jsen(θ km + ϕ )] + ( g km + jbkm ) ⋅ Vk2 .
Separando-se a parte real da imaginária, tem-se:
( A.27)
Anexo A
8
Pkm = Vk2 ⋅ g km − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) − Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )
Qkm = −Vk2 ⋅ bkm + Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ ) − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ ) .
( A.28)
Seguindo a metodologia descrita acima, tem-se o fluxo de potência complexa da
barra m para k :
*
S mk
= Pmk − j ⋅ Qmk = E m* ⋅ I mk
*
S mk
= E m* ⋅ [ y km ⋅ E m − y km ⋅ E k ⋅ e jϕ ]
*
S mk
= Vm ⋅ e − jθm ⋅ [ y km ⋅ Vm ⋅ e jθm − y km ⋅ Vk ⋅ e jθk ⋅ e jϕ ]
( A.29)
,
*
S mk
= y km ⋅ Vm2 − y km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ e − j (θm−θk −ϕ )
sendo e − j (θmk −ϕ ) = cos(θ mk − ϕ ) − jsen(θ mk − ϕ ) , e y km = g km + jbkm , segue-se:
*
S mk
= ( g km + jbkm ) ⋅ Vm2 − ( g km + jbkm ) ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ [cos(θ mk − ϕ ) − jsen(θ mk − ϕ )] ,
( A.30)
Separando-se a parte real da imaginária, tem-se:
Pmk = g km ⋅ Vm2 − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ mk − ϕ ) − Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ mk − ϕ )
Qmk = −bkm ⋅ Vm2 + Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ mk − ϕ ) − Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ mk − ϕ )
.
( A.31)
e) Modelo Unificado Linha-Trafo
Generalizando o modelo equivalente de linhas de transmissão, trafos em fase e
trafos defasadores, obtêm-se o modelo (figura A.5) para fluxo de potência entre duas
barras:
Figura A.5: Modelo π generalizado para equacionamento de fluxo de potência
Onde 1: t km representa a relação de transformação do auto-transformador ideal, e
t km = a km ⋅ e jϕ .
Com isso, a expressão generalizada de fluxo de potência da barra k para barra
m resulta:
Anexo A
9
2
Pkm = a km
⋅ Vk2 ⋅ g km − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) +
− a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )
2
sh
Qkm = −a km
⋅ Vk2 ⋅ (bkm + bkm
) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ ) +
.
( A.32)
− a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ )
Já a expressão generalizada de fluxo da barra m para barra k fica:
Pmk = Vm2 ⋅ g km − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ mk − ϕ ) +
− a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ mk − ϕ )
sh
Qmk = −Vm2 ⋅ (bkm + bkm
) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ mk − ϕ ) +
.
( A.33)
− a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ mk − ϕ )
Observação A.1:
Observe que o efeito do transformador está relacionado a barra k , isto porque o
trafo está conectado a esta barra. Assim, é de vital importância observar que a relação
a mk não faz parte do equacionamento, logo, deve-se tomar cuidado na hora de se
implementar os fluxos da barra m para a barra k .
Observação A.2:
2
Na expressão generalizada de Qkm (equação (A.31)), o termo “ − a km
” aparece
sh
multiplicando bkm
, o que fisicamente não existe, porém, não é errado o seu uso, já que
se o dispositivo for uma linha de transmissão a km vale 1, não afetando de forma errônea
sh
a expressão de fluxo reativo. Se o dispositivo envolvido for um trafo, bkm
é igual a zero,
ou seja, não causa nenhum prejuízo a expressão.
sh
Para tais equações, as variáveis a km , ϕ e bkm
assumem valores particulares,
mostrados na tabela A.1 a seguir:
sh
Tabela A.1: Valores particulares das variáveis a km , ϕ e bkm
em virtude do
equipamento
Anexo A
10
f) Derivadas Parciais das Equações de Fluxo em Relação aos Estados
Considerando as equações de fluxo de potência generalizadas da barra k para a
barra m , e as variáveis de estado θ k , θ m , Vk e Vm , as expressões das derivadas parciais
dos fluxos ativos e reativos em relação aos estados ficam da seguinte forma:
- Para fluxos ativos:
∂Pkm
= a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ )
∂θ k
∂Pkm
= −a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ ) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ )
∂θ m
.
∂Pkm
2
= 2 ⋅ a km
⋅ Vk ⋅ g km − a km ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )
∂V k
( A.34)
∂Pkm
= −a km ⋅ Vk ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )
∂Vm
- Para fluxos reativos:
∂Qkm
= −a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ )
∂θ k
∂Qkm
= a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ ) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ )
∂θ m
∂Qkm
sh
2
= −2 ⋅ a km
⋅ Vk ⋅ (bkm + bkm
) + a km ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ )
∂Vk
( A.35)
∂Qkm
= a km ⋅ Vk ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ )
∂V m
.
Agora, considerando as equações generalizadas de fluxo da barra m para barra
k , tem-se:
- Para fluxos ativos:
∂Pmk
= − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ mk − ϕ ) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ mk − ϕ )
∂θ k
∂Pmk
= a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ mk − ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ mk − ϕ )
∂θ m
∂Pmk
= − a km ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ mk − ϕ ) − a km ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ mk − ϕ )
∂Vk
∂Pmk
= 2 ⋅ Vm ⋅ g km − a km ⋅ Vk ⋅ g km ⋅ cos(θ mk − ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ bkm ⋅ sen(θ mk − ϕ )
∂Vm
- Para fluxos reativos:
.
( A.36)
Anexo A
11
∂Qmk
= a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ mk − ϕ ) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ mk − ϕ )
∂θ k
∂Qmk
= −a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ mk − ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ mk − ϕ )
∂θ m
.
∂Qmk
= a km ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ mk − ϕ ) − a km ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ mk − ϕ )
∂Vk
( A.37)
∂Qmk
sh
= −2 ⋅ Vm ⋅ (bkm + bkm
) + a km ⋅ Vk ⋅ bkm ⋅ cos(θ mk − ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ g km ⋅ sen(θ mk − ϕ )
∂Vm
A.2 Equacionamento das Injeções de Potência Em Barras
a) Equações de Injeções de Potência em Barras
Para se obter o equacionamento das injeções de potência em barras,
primeiramente deve-se obter o valor líquido de injeção de corrente numa barra genérica
considerando todos os fluxos de corrente incidentes sobre ela. A figura A.6 ilustra esta
situação:
Figura A.6: Correntes incidentes possíveis numa barra genérica k
Assim, para o caso geral, a seguinte equação é válida:
I k + I ksh =
∑I
km
,
( A.38)
m∈Ωk
para k = 1,..., N , onde k é um nó genérico, m é um nó adjacente a k , Ω é o conjunto
de nós adjacentes a k , e N é o número de nós do sistema.
Através das relações complexas de corrente para linhas de transmissão e
transformadores (defasadores ou não) desenvolvidas na seção anterior, esboça-se a
forma unificada de fluxo de corrente da barra k para barra m :
Anexo A
12
2
sh
I km = [a km
⋅ y km + jbkm
] ⋅ E k + [− a km ⋅ y km ⋅ e − jϕ ] ⋅ E m .
( A.39)
Dessa forma I k pode ser reescrita por
I k = [ jbksh +
∑ (a
2
km
sh
⋅ y km + jbkm
)] ⋅ E k +
m∈Ωk
∑ (−a
km
⋅ e − jϕ ⋅ y km ) ⋅ E m .
( A.40)
m∈Ωk
A equação (A.39) pode ser rearranjada na forma matricial como
( A.41)
I =Y ⋅E,
sendo:
I o vetor de injeção de corrente no nó, com dimensão N x 1;
Y a matriz de admitância do sistema, com dimensão N x N ;
E o vetor de tensão no nó, com dimensão N x 1.
Os elementos da matriz Y não pertencentes a diagonal principal, são formados
da seguinte forma:
( A.42)
Ykm = − a km ⋅ e − jϕ ⋅ y km .
Já os elementos da diagonal principal de Y são:
Ykk = y ksh +
∑ (a
2
km
sh
⋅ y km + y km
).
( A.43)
m∈Ωk
Assim, a forma matricial completa da injeção de corrente da barra genérica k
fica:
∑Y
I k = Ykk ⋅ E k +
km
m∈Ωk
⋅ Em =
∑Y
km
⋅ Em ,
( A.44)
m∈K
onde K é o número de barras adjacentes a barra k , incluindo ela mesmo.
A matriz Y é comumente decomposta em parte real e imaginária, sendo estas
representadas respectivamente por G e B , ou melhor, Ykm = Gkm + jBkm . Logo, a
expressão da injeção de corrente resultante torna-se:
Ik =
∑ (G
km
+ jBkm ) ⋅ E m .
( A.45)
m∈K
Da expressão de injeção de potência complexa em uma barra, segue o
equacionamento a seguir:
Anexo A
13
S k* = Pk − j ⋅ Qk = E k* ⋅ I k


2
sh
S k* = V k ⋅ e − jθk [ jbksh + ∑ (a km
⋅ y km + jbkm
)] ⋅ E k + ∑ ( −a km ⋅ e − jϕ ⋅ y km ) ⋅ E m 
m∈Ωk
m∈Ωk


*
2
sh
2
sh
− j (θk −θm +ϕ )
S k = V k ⋅ [ jbk + ∑ ( a km ⋅ y km + jbkm )] + V k ⋅ Vm ⋅ ∑ (−a km ⋅ e
⋅ y km ) .
m∈Ωk
S k* = V k2 ⋅ jbksh + Vk2 ⋅
( A.46)
m∈Ωk
∑ [a
2
km
sh
⋅ ( g km + jbkm ) + jbkm
]+
m∈Ωk
− Vk ⋅ Vm ⋅
∑ [a
km
⋅ ( g km + jbkm ) ⋅ (cos(θ km + ϕ ) − jsen(θ km + ϕ ))]
m∈Ωk
Separando-se a parte real da imaginária, tem-se:
∑V
Pk =
2
k
2
⋅ a km
⋅ g km −
m∈Ωk
−
∑a
∑a
km
⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) +
m∈Ωk
km
⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )
m∈Ωk
Qk = −Vk2 ⋅ bksh −
∑ Vk2 (akm2 ⋅ bkm + bkmsh ) +
m∈Ωk
−
∑a
km
∑ a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ ) +
.
( A.47)
m∈Ωk
⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ )
m∈Ωk
Em termos da matriz de admitância Y , as equações acima ficam:
Pk = Vk ⋅ ∑ Vm ⋅ (Gkm ⋅ cos θ km + Bkm ⋅ senθ km ) =
m∈K
∑P
km
m∈Ωk
Qk = Vk ⋅ ∑ Vm ⋅ (Gkm ⋅ senθ km − Bkm ⋅ cos θ km ) = −Vk2 ⋅ bksh +
m∈K
∑ Qkm
.
( A.48)
m∈Ωk
b) Derivadas Parciais das Equações de Injeções em Relação aos Estados
Considerando as equações de injeções de potência generalizadas da barra k , e as
variáveis de estado θ k , θ m , Vk e Vm , as expressões das derivadas parciais das injeções
ativas e reativas em relação aos estados, resultam:
- Para injeções ativas:
Em termos dos parâmetros do modelo π :
∂Pk
= ∑ Vk ⋅ Vm ⋅ [ a km ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ ) − a km ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ )]
∂θ k m∈Ωk
∂Pk
= Vk ⋅ Vm ⋅ [ − a km ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ ) + a km ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ )]
∂θ m
∂Pk
2
= ∑ 2 ⋅ a km
⋅ Vk ⋅ g km + Vm ⋅ [− a km ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )]
∂Vk m∈Ωk
∂Pk
= Vk ⋅ [ − a km ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ )]
∂Vm
.
Em termos da matriz de admitância do SEP:
( A.49)
Anexo A
14
∂Pk
= ∑ Vk ⋅ Vm ⋅ (−G km ⋅ senθ km + Bkm ⋅ cos θ km )
∂θ k m∈Ωk
∂Pk
= Vk ⋅ Vm ⋅ (G km ⋅ senθ km − Bkm ⋅ cos θ km )
∂θ m
.
( A.50)
∂Pk
= 2 ⋅ Vk ⋅ G kk + ∑ Vm ⋅ (G km ⋅ cos θ km + Bkm ⋅ senθ km )
∂Vk
m∈Ωk
∂Pk
= Vk ⋅ (G km ⋅ cos θ km + Bkm ⋅ senθ km )
∂Vm
- Para injeções reativas:
Em termos dos parâmetros do modelo π :
∂Qk
= ∑ [− a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ )]
∂θ k m∈Ωk
∂Qk
= a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ bkm ⋅ sen(θ km + ϕ ) + a km ⋅ Vk ⋅ Vm ⋅ g km ⋅ cos(θ km + ϕ )
∂θ m
2
sh
− 2 ⋅ Vk ⋅ (a km
⋅ bkm + bkm
) + Vm ⋅ [a km ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ )
∂Qk
= −2 ⋅ Vk ⋅ bksh + ∑ 

∂Vk
m∈Ωk − a km ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ )]

.
( A.51)
∂Qk
= a km ⋅ Vk ⋅ bkm ⋅ cos(θ km + ϕ ) − a km ⋅ Vk ⋅ g km ⋅ sen(θ km + ϕ )
∂Vm
Em termos da matriz de admitância do SEP:
∂Qk
= ∑ Vk ⋅ Vm ⋅ (G km ⋅ cos θ km + Bkm ⋅ senθ km )
∂θ k m∈Ωk
∂Qk
= Vk ⋅ Vm ⋅ (−G km ⋅ cos θ km − Bkm ⋅ senθ km )
∂θ m
∂Qk
= −2 ⋅ Vk ⋅ Bkk + ∑ Vm ⋅ (Gkm ⋅ senθ km − Bkm ⋅ cos θ km )
∂Vk
m∈Ωk
.
( A.52)
∂Qk
= Vk ⋅ (G km ⋅ senθ km − Bkm ⋅ cos θ km )
∂Vm
Observação A.3:
É importante lembrar que a expressão “
∑
” diz respeito a todas as barras
m∈Ωk
adjacentes a barra “ k ”, ou seja, compreende elementos fora da diagonal principal.
A.3 Equacionamento das Magnitudes de Tensões em Barras
Anexo A
15
Como os medidores de tensão medem diretamente o valor da magnitude dessa
grandeza, logo, sua expressão em relação ao estado de tensão ( V ) é direta:
Vk = V k
.
( A.53)
Consequentemente, as derivadas parciais de Vk pelas variáveis de estados ficam:
∂V k
=0
∂θ k
∂V k
=0
∂θ m
∂V k
=1
∂V k
.
( A.54)
∂V k
=0
∂V m
A.4 Composição da Matriz Jacobiana
A composição da matriz jacobiana ( H ) depende diretamente da seqüência ou
posição das variáveis de estado e do vetor de medidas. Ficando assim, a critério de cada
um, o posicionamento de cada derivada parcial de medida em relação ao estado aferido.
A figura A.7 mostra uma possível estruturação da matriz jacobiano.
Anexo A
16
Figura A.7: Possível estrutura da matriz jacobiano para um plano de medidas
com injeções de potência, fluxos de potência e magnitudes de tensão
Observação A.4:
Em estimação de estado, a barra de referência é utilizada apenas como referência
angular, diferentemente do problema de fluxo de carga, para o qual a barra de referência
também serve pra suprir as cargas do sistema. Assim, no problema de estimação podese escolher qualquer barra como referência angular, porém, a coluna de H referente ao
ângulo de referência deve ser eliminada do processo.
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