lógica lógica matemática

Introdução à Lógica Matemática
• Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática
• Uma linguagem matemática
Paradoxos
1)
Paradoxo do mentiroso
(A) “Esta frase é falsa”.
A sentença (A) é verdadeira (V) ou falsa (F).
Se a sentença (A) for V, então, pelo enunciado da própria frase, a sentença (A) é F.
Porém, isto é uma contradição.
Por outro lado, se a sentença (A) for F, então o que ela diz não é fato, o que significa
que, na realidade, a sentença é V.
Novamente, temos uma contradição e, portanto, um paradoxo.
2) Paradoxo do cartão (Jourdain)
Um lado do cartão tem a frase:
(A) A sentença do outro lado do cartão é verdadeira.
O outro lado do cartão tem a frase:
(B) A sentença do outro lado do cartão é falsa.
Se (A) é V, implica que (B) é V, portanto, (A) é F.
Se (A) é F, implica que (B) é F, portanto, (A) é V.
Sentenças (A), (B) são, ao mesmo tempo, V e F.
Problema:
auto-referência
Conclusão: linguagem coloquial não apropriada → necessidade de linguagens
formais.
Proposições
Proposições transmitem um pensamento de sentido completo, afirmam fatos.
1)
√2 é um número irracional.
2)
Machado de Assis escreveu A Divina Comédia.
3)
Um hexágono tem seis lados.
Regras Fundamentais de Lógica Matemática
1)
Princípio de não-contradição:
ao mesmo tempo.
uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
2)
Princípio do terceiro excluído: toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Consequência desses princípios: toda a proposição assume valor lógico
verdadeiro (V) ou falso (F).
Sentenças 1 e 3 possuem valor lógico V e a sentença 2 possui valor lógico F.
Tipos de Proposições
Proposição simples: aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte.
Notação: letra minúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, p, q, r, etc.
Proposição composta: formada pela combinação de duas ou mais proposições
simples.
Notação: letra maiúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, P, Q, R etc.
Exemplo: P(p, r): O número 36 é um quadrado perfeito e o pentágono tem cinco
diagonais.
Valor lógico de P(p, r) é V, pois 36=6×6 ; e o número de diagonais do pentágono
5!
é dado por 2 ! 3 ! −5=10−5=5 .
Conectivos: são usados para forma novas proposições a partir de outras.
Ex.: e, ou, não, se … então, se e somente se
Conectivos: Notação
Símbolo
Significado
¬p / ~ p
não p
p∧q
peq
p∨q
p ou q
p→q
se p então q
p↔q
p se e somente se q
Tabela-verdade de conectivos:
Não...
p
¬p
V
F
F
V
...e...
...ou...
p
q
p∧q
p
q
p∨q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
Se... então...
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Outras locuções para p → q
1) p implica q (p acarreta q).
2) p é uma condição suficiente para q.
3) q é uma condição necessária para p.
Ex.: Se um SLIT é assintoticamente estável, então é BIBO estável.
(i)
[
] []
2 s3
−1 0
1
x u ⇒ G  s=
0 −2
1
 s1 s2
y=[1 1] x
x̊=
Assintoticamente estável
BIBO estável
(ii)
[
] []
1 0
0
x u
0 −2
1
y=[1 1] x
x̊=
G  s=
⇒
Não é assintoticamente estável
(iii)
[ ] []
x̊= 1 0 x 1 u
0 2
0
y=[1 1] x
BIBO estável
G  s=
⇒
Não é assintoticamente estável
1
s2
1
s−1
Não é BIBO estável
Jamais chegaremos à conclusão que o antecedente p é V e o consequente q é F.
Porém, q não implica p.
BIBO estável não implica assintoticamente estável.
No exemplo (ii), o sistema é BIBO estável, mas não é assintoticamente estável.
...se e somente se...
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Ex.: um SLIT controlável e observável é BIBO estável se e somente se (s.s.e.) é
assintoticamente estável (não há cancelamento de polos e zeros).
Equivalência Lógica
p∧q≡q∧ p
¬ ¬p  ≡ p
p q≡¬ p∨q
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p
q
¬p
¬ p∨q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
A proposição p q é equivalente à proposição ¬ p∨q .
Proposições equivalentes possuem a mesma tabela-verdade.
Lei de De Morgan
Para obter a negação de uma proposição composta, substitui-se todo
um ∧ , e vice-versa, e toda proposição simples p por ¬p.
¬ p∧q ≡¬ p∨¬q
(Leis de De Morgan)
¬ p∨q ≡¬ p∧¬q
Note que
p  q≡¬q  ¬ p .
DEMONSTRAÇÃO
p  q≡¬ p∨q≡q∨¬ p
r=¬q ; s=¬ p
q∨¬ p≡¬r∨s≡r  s
p  q≡¬q  ¬ p
(proposição contrapositiva)
∨ por