Introdução à Lógica Matemática • Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática • Uma linguagem matemática Paradoxos 1) Paradoxo do mentiroso (A) “Esta frase é falsa”. A sentença (A) é verdadeira (V) ou falsa (F). Se a sentença (A) for V, então, pelo enunciado da própria frase, a sentença (A) é F. Porém, isto é uma contradição. Por outro lado, se a sentença (A) for F, então o que ela diz não é fato, o que significa que, na realidade, a sentença é V. Novamente, temos uma contradição e, portanto, um paradoxo. 2) Paradoxo do cartão (Jourdain) Um lado do cartão tem a frase: (A) A sentença do outro lado do cartão é verdadeira. O outro lado do cartão tem a frase: (B) A sentença do outro lado do cartão é falsa. Se (A) é V, implica que (B) é V, portanto, (A) é F. Se (A) é F, implica que (B) é F, portanto, (A) é V. Sentenças (A), (B) são, ao mesmo tempo, V e F. Problema: auto-referência Conclusão: linguagem coloquial não apropriada → necessidade de linguagens formais. Proposições Proposições transmitem um pensamento de sentido completo, afirmam fatos. 1) √2 é um número irracional. 2) Machado de Assis escreveu A Divina Comédia. 3) Um hexágono tem seis lados. Regras Fundamentais de Lógica Matemática 1) Princípio de não-contradição: ao mesmo tempo. uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 2) Princípio do terceiro excluído: toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa. Isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Consequência desses princípios: toda a proposição assume valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F). Sentenças 1 e 3 possuem valor lógico V e a sentença 2 possui valor lógico F. Tipos de Proposições Proposição simples: aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte. Notação: letra minúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, p, q, r, etc. Proposição composta: formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Notação: letra maiúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, P, Q, R etc. Exemplo: P(p, r): O número 36 é um quadrado perfeito e o pentágono tem cinco diagonais. Valor lógico de P(p, r) é V, pois 36=6×6 ; e o número de diagonais do pentágono 5! é dado por 2 ! 3 ! −5=10−5=5 . Conectivos: são usados para forma novas proposições a partir de outras. Ex.: e, ou, não, se … então, se e somente se Conectivos: Notação Símbolo Significado ¬p / ~ p não p p∧q peq p∨q p ou q p→q se p então q p↔q p se e somente se q Tabela-verdade de conectivos: Não... p ¬p V F F V ...e... ...ou... p q p∧q p q p∨q V V V V V V V F F V F V F V F F V V F F F F F F Se... então... p q p→q V V V V F F F V V F F V Outras locuções para p → q 1) p implica q (p acarreta q). 2) p é uma condição suficiente para q. 3) q é uma condição necessária para p. Ex.: Se um SLIT é assintoticamente estável, então é BIBO estável. (i) [ ] [] 2 s3 −1 0 1 x u ⇒ G s= 0 −2 1 s1 s2 y=[1 1] x x̊= Assintoticamente estável BIBO estável (ii) [ ] [] 1 0 0 x u 0 −2 1 y=[1 1] x x̊= G s= ⇒ Não é assintoticamente estável (iii) [ ] [] x̊= 1 0 x 1 u 0 2 0 y=[1 1] x BIBO estável G s= ⇒ Não é assintoticamente estável 1 s2 1 s−1 Não é BIBO estável Jamais chegaremos à conclusão que o antecedente p é V e o consequente q é F. Porém, q não implica p. BIBO estável não implica assintoticamente estável. No exemplo (ii), o sistema é BIBO estável, mas não é assintoticamente estável. ...se e somente se... p q p↔q V V V V F F F V F F F V Ex.: um SLIT controlável e observável é BIBO estável se e somente se (s.s.e.) é assintoticamente estável (não há cancelamento de polos e zeros). Equivalência Lógica p∧q≡q∧ p ¬ ¬p ≡ p p q≡¬ p∨q p q p→q V V V V F F F V V F F V p q ¬p ¬ p∨q V V F V V F F F F V V V F F V V A proposição p q é equivalente à proposição ¬ p∨q . Proposições equivalentes possuem a mesma tabela-verdade. Lei de De Morgan Para obter a negação de uma proposição composta, substitui-se todo um ∧ , e vice-versa, e toda proposição simples p por ¬p. ¬ p∧q ≡¬ p∨¬q (Leis de De Morgan) ¬ p∨q ≡¬ p∧¬q Note que p q≡¬q ¬ p . DEMONSTRAÇÃO p q≡¬ p∨q≡q∨¬ p r=¬q ; s=¬ p q∨¬ p≡¬r∨s≡r s p q≡¬q ¬ p (proposição contrapositiva) ∨ por Prova de Implicações Uma implicação é verdadeira quando a verdade do seu antecedente acarreta a verdade do seu consequente. Ex.: Considere a implicação: “Se chove, então a rua está molhada”. Observe que a implicação não afirma nem que está chovendo nem que a rua está molhada, mas que existe uma certa relação de causa e efeito entre chover e a rua estar molhada. Quando sabemos que uma implicação é verdadeira, não podemos concluir que seu antecedente é verdadeiro, nem que seu consequente é verdadeiro, mas que não podemos considerar seu antecedente verdadeiro e seu consequente falso. Essa análise da relação entre o antecedente e o consequente de uma implicação verdadeira nos leva a considerar que para provar implicações, podemos utilizar o seguinte método. Método da Suposição Para provar uma implicação “se p, então q”, é suficiente fazer o seguinte: 1) Supor que o antecedente p é verdadeiro; 2) Provar que o consequente q é verdadeiro, usando p como premissa (hipótese). Ex.: Proposição: P(p, q) = Se n é um número natural par, então n² é um número natural par. Definição: seja n∈ℕ . Dizemos que n é par se existe um número natural k tal que n = 2k. Prova: p → q Suponha que n é par. Então, n = 2k, em que k ∈ℕ . Desta forma, n 2=2 k 2 =2 .2 k 2=22 k 2 , em que 2 k 2 ∈ℕ . Logo, n² é par e portanto P(p, q) é V. Método da Contraposição Para provar que p → q, basta fazer o seguinte: 1) Supor que a negação do consequente, ¬q, é verdadeira; 2) provar que a negação do antecedente, ¬p, é verdadeira, usando ¬q como premissa ( pq ≡ ¬q ¬ p ) Ex.: Seja x um número natural qualquer. P(p, q) = Se x² é par, então x é par. Prova: x não é par → x² não é par. Supondo que x é ímpar, temos que x = 2n + 1, n∈ℕ . Logo, 2 2 2 2 2 x = 2 n+ 1 =4n 4 n+ 1=2 2n 2n 1 , 2n 2n∈ℕ . Assim, x² é impar, ou seja, x² não é par. Tautologia (t): é uma proposição que é sempre verdadeira independentemente dos valores-verdade das afirmações que compõem a proposição. Exs.: p → p, (¬ ¬ p) ↔ p, p ∨ ¬p , (p → q ) ↔ (¬q → ¬p) Contradição (c): proposição que é sempre falsa. Exs.: p ∧ ¬ p , p ↔ ¬p Método de Redução ao Absurdo (Prova por Contradição) A prova por contradição consiste em acrescentar a negação da conclusão ao conjunto de premissas e mostrar, através das regras de inferência, que esta inclusão leva logicamente a uma contradição. Conjunto de premissas: { p1, p 2, ⋯, p n } Quero provar que { p 1, p 2, ⋯, p n } q . Basta mostrar que {p 1, p 2, ⋯, p n ,¬q} { pi ∧ ¬ pi } , ou seja, ¬q → c, onde c é uma contradição. Ex.: Proposição: √2 não é um número racional. Premissas: I. Todo número racional positivo pode ser escrito como uma fração de dois números naturais a e b, com b≠0 . II. Toda fração a/b de dois números naturais pode ser simplificada até uma fração c/d, onde c e d não possuem fatores comuns. III.Todo número natural é par ou ímpar de maneira exclusiva. Os números pares podem ser escritos na forma “2m”, m∈ℕ e os ímpares, na forma “2n + 1”, n∈ℕ . IV. Se o quadrado de um número é par, então este número é par. PROVA: a Supor que √2 é um número racional. Logo, de (I), temos que √2= b De (II), segue que √2= c , em que c e d não possuem fatores em comum. d 2 Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos que 2= c 2 , ou seja, d 2 c =2 d 2 (1). De (III), concluímos que c² é par. De (IV), é possível concluir que c é par. Portanto, de (III), temos que: c = 2m (2) Substituindo (2) em (1), segue que: (2m)² = 2d² e, daí, 4m² = 2d² ↔ 2m² = d², ou seja, d² é par, e, consequentemente, d é par, e portanto, d = 2n. Assim, c = 2m e d = 2n, acarretando que c e d possuem 2 como um fator comum, contradizendo a premissa (II). Portanto, √2 não é um número racional. Função Proposicional p(x) torna-se uma proposição sempre que x for substituído por a∈ A , ou seja, p(x) é uma sentença com a propriedade que p(a) é V ou F. Ex.: p x: x27 é uma função proposicional se A=ℝ , e não se A=ℂ Outra maneira de lidar com funções proposicionais, observando que p(x) pode ser V para todo x ∈ A , para algum x 0∈ A ou para nenhum x ∈ A Quantificadores: ∀ , ∃ Notação: ∀ = para todo ou qualquer que seja (quantificador universal) ∀ x∈ A p x ou ∀ x , p x ∃ = existe, para algum, para ao menos um (quantificador existencial) ∃ x∈A p x ou ∃ x , p x Negação: proposições com quantificadores Ex.: “ Todos os homens são mentirosos” não é verdade que (todos os homens são mentirosos) existe ao menos um homem que não é mentiroso ¬ ∀ x ∈H (x é mentiroso) equivale a ∃ x∈H (x não é mentiroso) Teorema (De Morgan) ¬ ∀ x∈ A p x ↔ ∃ x∈A¬ p x ¬ ∃ x∈A p x ↔ ∀ x∈ A¬ p x Dado que ¬ ∀ x∈ A p x ↔ ∃ x∈A¬ p x , para mostrar que ∀ x , p x é falso, basta que ∃ x 0 , p x 0 é falso. Tal x 0 é denominado de CONTRA-EXEMPLO