Tabela-Verdade de uma proposição composta Equivalência

CM046 – INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
NOTAS DE AULA 2
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS E TABELAS-VERDADE
Vamos chamar de sentença atômica uma sentença que não contêm conectivos, por exemplo, 2 < 3 é
uma sentença atômica enquanto 2 ≤ 3 não é uma sentença atômica, pois implica em duas sentenças 2 é
menor do que 3 ou 2 é igual a 3.
Os conectivos apresentados na aula 1 permitem a construção de novas proposições a partir de
proposições dadas. É preciso estar atento para combiná-las de modo correto, obtendo fórmulas (ou
proposições) bem formadas (fbf).
Se uma proposição contém apenas uma sentença atômica, há duas possibilidades de valor para sua
proposição: V ou F.
Tabela-Verdade de uma proposição composta
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de
proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: “ A tabela verdade de uma
proposição composta com n proposições simples contem 2n linhas”.
Exemplo: n=2 Æ 4 linhas
p
q
~p
p∧ ~q
V V F
F
V F
F
V
F
V V
F
F
F
V
F
~( p∧~q)
V
F
V
V
Tautologia
Toda proposição composta cuja última coluna é sempre V.
Contradição
Toda proposição composta cuja última coluna é sempre F.
Exemplo:
p
~p
p∨ ~p
p∧~p
V F
V
F
F
V
V
F
Tautologia
Contradição
Equivalência de Fórmulas
Sejam P e Q duas proposições compostas são equivalentes quando os valores de verdade de P
forem iguais aos valores de verdade de Q.
Exercícios: Verifique se são equivalentes as seguintes proposições:
(1) ~ ~ a = a
(2) a ∨ a = a
(3) p → q = ~ p ∨ q
Uma tabela de equivalência de fórmulas também pode ser utilizada para provar a
equivalência entre duas fórmulas sem que seja necessária a construção da tabela-verdade.
Tabela de equivalências de fórmulas
EQUIVALÊNCIA
NOME
¬(A ∧ B) = (¬A ∨ ¬ B)
Lei de De Morgan
¬(A ∨ B) = (¬ A ^ ¬ B)
A∧B=B∧A
A∨B=B∨A
A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A = ¬ (¬ A)
A → B = ¬B → ¬A
(A ∧ B) → C = A → (B → C)
A∧A=A
A∨A=A
Lei de De Morgan
Comutatividade
Comutatividade
Associatividade
Associatividade
Distributividade
Distributividade
Dupla Negação
Transposição
Exportação
Idempotência
Idempotência
As regras de equivalência também podem ser utilizadas para simplificação de fórmulas, permitindo
escrever fórmulas equivalentes mais simples e compactas, eliminado letras sentenciais supérfluas.
Exercício: Considere o condicional p → q , verifique quais das seguintes proposições são equivalentes a
ele. Dadas q → p, ~p → ~q e ~q → ~p.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p→q
V
F
V
V
q→p
V
V
F
V
Recíproca
~p → ~q
V
V
F
V
Inversa
~q → ~p
V
F
V
V
Contrapositiva
Exemplo: Se f é diferenciável no ponto a então f é contínua em a.
A equivalente seria se f não é contínua em a então f não é diferenciável em a.
Para demonstrarmos uma condicional p → q (ou bicondicional) existem três modo:
(a) Demonstração direta ( de p deduzimos q);
(b) Contrapositiva (de não q chegamos a não p) e
(c) Redução ao absurdo (de p e não q chegamos a uma contradição).
Exemplo: se a é par então a2 é par (feito em sala)
IMPLICAÇÃO LÓGICA
Definição: Diz-se que uma proposição P(p,q,r,..) implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q é verdadeira
todas as vezes que P é verdadeira e denota-se por: P(p,q,r,..)⇒Q(p,q,r,..)
Essa relação tem as seguintes propriedades:
Reflexiva: P ⇒ P
Transitiva: P ⇒ Q e Q ⇒ R então P ⇒ R
Uma prova ou demonstração é uma sequencia de afirmações, cada uma das quais é axioma ou
definição, verdadeira por hipótese, teorema provado previamente ou afirmação obtida como
conseqüência de afirmações que a precedem.