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Estabilidade de Sistemas de Controle Digital
Estabilidade de Sistemas de Controle Digital
O conceito de estabilidade de sistemas já foi introduzido no curso de controle linear,
portanto, agora iremos directamente às ferramentas matemáticas úteis para a
determinação da estabilidade de Sistemas de Controle Digital.
Critério BIBO
Definição: Um sistema possui a propriedade de estabilidade externa se toda
sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada.
Esta é a estabilidade BIBO (“Bounded Input – Bounded Output”)
Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com resposta impulsiva g(k) é BIBO
– estável se e somente se:
Exemplo
Determine se o sistema é ou não estável:
Para determinar g(k), utilizaremos a divisão longa:
Logo, a resposta impulsiva g(k) é dada por:
Tem-se:
Portanto, o sistema
é instável.
Relações entre o Plano – S e o Plano – Z
Na primeira classe de sistemas discretos foi demonstrado que a transformada Z
de um sinal amostrado é a transformada de Laplace de uma seqüência discreta,
com a substituição da variável
Z e
ST
Um ponto genérico no plano – S é dado
Isto implica que todos os pontos
no plano – S tem seu ponto
correspondente no plano – Z.
no plano – Z teremos o seguinte ponto:
Através do mapeamento
Logo,
NO plano S
Si   0
S  j
eixo imaginário
NO plano Z
Z  j T
Z 1
0o 
360o
Si  0
NO plano S
NO plano Z
S     j
parte esquerda do
eixo imaginário
dentro do circulo
de radio unidade
Si   0
NO plano S
NO plano Z
S    j
parte direita do
eixo imaginário
fora do circulo
de radio unidade
Resumindo
Um sistema é estável se as
raízes da equação característica
estão na metade esquerda
do plano S
Um sistema é estável se as raízes
da equação característica estão
dentro do círculo de rádio
unidade no plano Z
Teorema:
Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com função
de transferência G(z) é BIBO – estável se e somente se os pólos
de G(z) têm modulo menor do que 1.
Exemplo
Determine se o sistema abaixo é estável.
Os pólos de G(z) são as raízes do denominador, ou seja:
Logo
Portanto, as raízes têm módulo menor que 1, logo o sistema é BIBO – estável.
(as raízes estão dentro do circulo unitário)
Critério de Jury
A aplicação do teorema anterior em sistemas que possuem ordem maior que 2
torna-se difícil, uma vez que será necessário utilizar métodos computacionais
para se determinar todas as raízes.
O critério de Jury estuda a estabilidade de sistemas discretos sem a necessidade de
determinar os pólos.
1º Passo: Para uma função de transferência
o polinómio característico é D(z). Genericamente teremos:
Construa a seguinte tabela
A linha 1 é formada pelos coeficientes de D(z).
As linhas pares são formadas pela inversão dos coeficientes da linha anterior
As linhas impares são determinadas fazendo:
2º Passo: Aplique o critério de Jury:
O sistema é estável se e somente se
Se a tabela termina ou se ocorre divisão por zero, em
o sistema é instável
Exemplo
Determine se a função de transferência abaixo representa um sistema estável
ou instável.