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SimbolosLógicos
Noções de lógica(1) são indispensáveis para aprender Cálculo, a seguir será
apresentada uma introdução à lógica simbólica, tratando dos símbolos que são
amplamente utilizados juntamente com os seus significados.
Uma proposição simples ou sentença é uma afirmação que apresenta as
seguintes condições:
(a) Deve ser estruturada com sujeito e predicado;
(b) Tem de ser declarativa e afirmativa;
(c) Obedece o princípio do terceiro excluído, isto é, deve ser verdadeira ou falsa e não
tem outra alternativa;
(d) Satisfaz o princípio de não contradição, ou seja, não pode ser
simultâneamente verdadeira e falsa.
Exemplo 1. A proposição:
(a) “ 3  4  7 ” é verdadeira;
(b) “Existe triângulo com diagonal” é falsa;
(c) “ 3  4 ” não é proposição, pois falta predicado;
(d) “Matemática é fácil ?” Não é proposição, pois é uma frase interrogativa;
(e) “ x  3  5 ” não é uma afirmação falsa e nem verdadeira, pois ela depende do
valor atribuído a x, logo não é proposição simples.
Uma proposição composta é a conjunção ou disjunção de duas proposições
simples usando os conectivos “e” ou “ou”. Os conectivos “e” e “ou” podem
também ser indicados pelos símbolos  e  , respectivamente. Então, nomeando duas
proposições simples por “p” e “q”:
(a) “p e q” (isto é, p  q) é verdadeira quando as duas proposições são
verdadeiras, e falsa se pelo menos uma das proposições é falsa;
(b) “p ou q” (ou seja, p  q) é verdadeira quando pelo menos uma das
proposições é verdadeira, e falsa se ambas são falsas.
Exemplo 2. A proposição composta:
(a) “ 3  4  7 e todo retângulo tem diagonal” é verdadeira, pois as duas proposições
são verdadeiras;
(b) “ 3  4  7 e existe triângulo com diagonal” é falsa, pois a primeira proposição é
verdadeira e a segunda é falsa;
(c) “ 3  4  7 ou existe triângulo com diagonal” é verdadeira, pois a primeira
proposição é verdadeira e a segunda é falsa;
(1)
O inglês George Boole (1815-1864) em 1847 publicou uma obra chamada “The Mathematical Analysis
of Logic” que significa “Análise Matemática da Lógica”, e em 1854 publicou outra obra intitulada “A
Investigation of the Laws of Thought” que significa “Uma Investigação das Leis do Pensamente”,
devido a tais obras Boole é considerado o descobridor da matemática pura, nelas estabeleceu uma
lógica formal e uma nova álgebra chamada álgebra de Boole, ou álgebra dos conjuntos, ou álgebra da
lógica.
(d) “Todo retângulo é quadrado ou existe triângulo com diagonal” é falsa, pois as duas
proposições são falsas.
Uma implicação é usada na forma: se p e q são duas sentenças, a condição
p  q , lê-se de uma das seguintes maneiras: p implica q, p acarreta q, se p então
q, p é condição suficiente para q ou q é condição necessária para p. A condição
p  q é falsa somente se p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, ela é verdadeira.
Exemplo 3. A implicação:
(a) “Se uma figura é um quadrado então ela é um retângulo” é verdadeira, pois todo
quadrado é retângulo;
(b) “ (3)2  32 Þ 3  3 ” é falsa, pois - 3 e 3 não são iguais.
Uma equivalência é usada na forma: se p e q são duas proposições, a
condição p  q , lê-se de uma das seguintes maneiras: p equivale a q, p se, e
somente se, q ou p é condição necessária e suficiente para q. A condição p  q é
verdadeira se p  q e q  p são verdadeiras; caso contrário, a equivalência é falsa.
Exemplo 4. A equivalência:
(a) “Um polígono tem três lados se, e somente se, ele é um triângulo” é verdadeira, pois
as duas proposições são verdadeiras:
(b) “Um clube de futebol tem mais pontos num campeonato se, e somente se, ele é
campeão” é verdadeira, pois as duas proposições são verdadeiras:
(c) “ 3  5  8  4  6  9 ” é falsa, pois 4 + 6 = 10.
Sentença aberta é uma afirmação onde aparece pelo menos uma letra e essa
letra: pode não assumir nenhum valor, assumir um ou mais valores. A letra é chamada
de variável. Uma sentença aberta onde tem uma igualdade é dita uma equação. Por
exemplo: (i) x 2  1; (ii) x  3  5; (iii) x 2  x; (iv) 0x  0; (v) x  x  0; (vi) x  y  0.
Os quantificadores são usados em sentenças abertas e são os seguintes:
(a) Quantificador universal “  ” que significa “qualquer que seja”, “para todo” ou
“para cada”. Por exemplo: (i) x, x  x  0; (ii) x, 0x  0; (iii) x, x 2 não é
negativo; (iv) x  0, x0  0; (v) x, x0 não é número.
(b) Quantificador existencial “  ” que significa “existe”, “existe um” ou “existe
pelo menos um”. E o quantificador existencial particular “  | ” que significa “existe
um único”, “existe um só” ou “existe só um”. Por exemplo: (i) x tal que x 2  x;
(ii)  | x tal que x  3  5; (iii)  | x tal que x 2  0.
As negações de proposições são as seguintes:
(a) Simples. Numa proposição “p” é “não p” ou “não é verdade que p”. Por
exemplo, na proposição “ - 1 é positivo” sua negação é “ - 1 não é positivo”;
(b) Compostas. Na conjunção “p e q” sua negação é a disjunção “não p ou não q”
e na disjunção “p ou q” a negação é a conjunção “não p e não q”. Por exemplo,
na proposição “ a = 2 ou b = 3 ” sua negação é “ a ¹ 2 e b ¹ 3 ”;
(c) Quantificadas. Com “ " p ” é “ $ , não p” e com “ $ p ” é “ " , não p”. Por
exemplo, (i) “ " x, x 2 é positivo” sua negação é “ $ x tal que x 2 não é positivo”;
(ii) “ $ x inteiro tal que x 2 + 3 = 5 ” sua negação é “ " x inteiro, x 2 + 3 ¹ 5 ”.