Questões de Exame Resolvidas Probabilidades e Combinatória

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b
Pro
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des e Com
Índice
Resumo Teórico
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
6
1.1. Princípios fundamentais da contagem
6
1.2. Arranjos e combinações 10
2. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton
24
2.1. Triângulo de Pascal
24
2.2. Binómio de Newton
27
3. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace
29
3.1.Experiência aleatória. Espaço de resultados.
Acontecimentos29
3.2. Regra de Laplace
34
4.Definição axiomática de probabilidade.
Probabilidade condicionada.
Acontecimentos independentes
43
4.1. Definição axiomática de probabilidade
43
4.2. Probabilidade condicionada
48
4.3.Probabilidade da interseção de dois
acontecimentos54
4.4. Teorema da probabilidade total
55
4.5. Acontecimentos independentes
59
5. Distribuições de probabilidades
62
5.1. Distribuição de probabilidades
62
5.2. Distribuição binomial
68
5.3. Distribuição normal
71
Questões de Exame
Itens de Seleção
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
78
2. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton
88
3. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace
92
4.Definição axiomática de probabilidade.
Probabilidade condicionada.
Acontecimentos independentes
100
5. Distribuições de probabilidades
113
Itens de Construção
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
128
2. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace
130
3.Definição axiomática de probabilidade.
Probabilidade condicionada.
Acontecimentos independentes
143
4. Distribuições de probabilidades
166
Resoluções das Questões de Exame
Itens de Seleção
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
181
2. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton
190
3. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace
194
4.Definição axiomática de probabilidade.
Probabilidade condicionada.
Acontecimentos independentes
204
5. Distribuições de probabilidades
214
Itens de Construção
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
227
2. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace
229
3.Definição axiomática de probabilidade.
Probabilidade condicionada.
Acontecimentos independentes
244
4. Distribuições de probabilidades
269
Formulário
288
Questões de Exame – Itens de Seleção
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
1. Considere todos os números pares com cinco algarismos.
Quantos destes números têm quatro algarismos ímpares?
1A2 5 * 5C4 1C2 5! 1B2 55
1D2 5 * 5A4
2. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e
oito raparigas.
Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas.
De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo?
1A2 12C5 * 8C5 1C2 12 * 8 * 52 1B2
1D2
A5 * 8A5
12
12! * 8!
5!
3. Na figura ao lado estão representados: o rio que atravessa certa localidade; uma ilha situada no leito desse
rio; as oito pontes que ligam a ilha às margens.
H representa a habitação e E a escola de um jovem
dessa localidade.
Para efetuar o percurso de ida 1casa-ilha-escola2 e volta
1escola-ilha-casa2, um jovem pode seguir vários caminhos, que diferem uns dos outros pela sequência de
pontes utilizadas.
Indique quantos caminhos diferentes pode o jovem seguir, num percurso de ida e volta,
sem passar duas vezes pela mesma ponte.
1A2 5 * 3 + 4 * 2 1C2 5 + 4 + 3 + 2 1B2 5 * 4 * 3 * 2
1D2 52 * 32
4. Um novo país, a Colorilândia, quer escolher a sua bandeira, que terá
quatro tiras coloridas verticais.
Estão disponíveis cinco cores diferentes. Como é óbvio, duas tiras vizinhas não podem ser da mesma cor.
Quantas bandeiras diferentes se podem fazer nestas condições?
1A2 5 * 43 1C2 54 78
1B2 5 * 4 * 3 * 2
1D21
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem
5. De quantas maneiras se podem sentar três raparigas e quatro rapazes, num banco de sete
lugares, sabendo que em cada um dos extremos fica uma rapariga?
1A2 120 1C2 720 1B2 240
1D2 5040
6. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores.
Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas disputadas foi
1A2 10C2 1C2 10! 1B2
10
C9
1D2 10 * 9
7. Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três primeiros
123 1por esta ordem2.
Quantos números de telefone podem existir nessa região?
1A2 107 1C2 74 1B2 104
1D2 10A4
8. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na
mesma fila horizontal.
De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, respeitando a condição indicada?
1A2 8 * 8C2 1C2
64
C2
8
1B2
64
C2
1D2 8A2
9. Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos
de 1 a 9 . Destes números, quantos têm exatamente um algarismo 4 ?
1A2 85 1C2 6 * 85 1B2 95
1D2 6 * 8A5
10. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel.
Qualquer um dos cinco jovens pode conduzir.
De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois à frente e três atrás, de modo a
que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz?
1A2 36 1C2 12 1B2120
1D272
79
Questões de Exame – Itens de Seleção
5. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é:
Qual é o valor de a ?
1A2 1 5
xi
1
2
3
P 1X = xi2
a
2a
a
1B2 1 4
1D2 1
2
1C2 1 3
6. Admita que, numa certa escola, a variável “altura das alunas do 12.° ano de escolaridade”
segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm .
Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12.° ano dessa escola.
Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável?
1A2 A sua altura é superior a 180 cm . 1B2 A sua altura é inferior a 180 cm .
1C2 A sua altura é superior a 155 cm . 1D2 A sua altura é inferior a 155 cm .
7. Na figura estão representados os gráficos
de duas distribuições normais.
Uma das distribuições tem valor médio a
e desvio­‑padrão b .
A outra distribuição tem valor médio c e
desvio-padrão d .
Os gráficos são simétricos em relação à
mesma reta r .
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
1A2 a = c e b > d 1B2 a = c e b < d
1C2 a > c e b = d 1D2 a < c e b = d
8. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela:
xi
0
2
4
P 1X = xi2
a
b
b
1a e b designam números reais2
A média da variável aleatória X é igual a 1 .
Qual é o valor de a e qual é o valor de b ?
114
1A2 a = 1 e b = 1 2
4
2
1
1C2 a = e b = 3
6
3
1
e b=
5
5
1
1
1D2 a = e b =
2
6
1B2 a =
5. Distribuições de probabilidades
9. Na figura está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada a seguir.
Lança-se este dado duas vezes.
Considere as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta experiência:
X1 : número saído no primeiro lançamento.
X2 : quadrado do número saído no segundo lançamento.
X3 : soma dos números saídos nos dois lançamentos.
X4 : produto dos números saídos nos dois lançamentos.
Uma destas quatro variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidades:
Valores da
variável
-1
0
1
Probabilidades
2
9
5
9
2
9
Qual delas?
1B2 X2
1A2 X1 1D2 X4
1C2 X3 10. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3 .
Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa.
Seja X o maior dos números saídos.
Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X ?
1A2
1C2
1B2
xi
2
3
P 1X = xi2
1
3
2
3
xi
1
2
3
P 1X = xi2
1
3
1
3
1
3
1D2
xi
2
3
P 1X = xi2
1
2
1
2
xi
1
2
3
P 1X = xi2
1
6
1
3
1
2
115