5. Composição de funções

Índice
Unidade 1 – Probabilidades e estatística
Tema 1 – Análise combinatória. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 112.° ano2
1. Princípios fundamentais da contagem 2. Fatorial de um número natural n 3. Arranjos 4. Combinações 5. Triângulo de Pascal 6. Binómio de Newton Resumo Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Tema 2 – Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 112.° ano2
1. Experiência aleatória. Espaço de resultados 2. Acontecimentos 3. Acontecimentos complementares ou acontecimentos contrários 4. Acontecimentos disjuntos, incompatíveis ou mutuamente exclusivos 5. Definição frequencista de probabilidade 6. Definição clássica de probabilidade ou Regra de Laplace Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Tema 3 – Axiomas e teoremas de probabilidade. Probabilidade condicionada.
Acontecimentos independentes 112.° ano2
1. Operações com conjuntos 2. Propriedades das operações com conjuntos 3. Leis de De Morgan 4. Axiomas de probabilidades 5. Alguns teoremas sobre probabilidades 6. Probabilidade condicionada (ou probabilidade condicional) 7. Acontecimentos independentes Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Tema 4 – Estatística. Distribuição de probabilidades 110.° e 12.° anos2
1. Estatística 2. Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação 8
10
10
13
14
15
16
18
24
28
28
29
29
29
30
32
38
42
42
43
43
43
45
47
48
53
56
61
68
71
73
Unidade 2 – Funções
Tema 1 – Definições. Diferentes tipos de funções. Operações com funções.
Sucessões 110.° e 11.° anos2
4
1.
2.
3.
4.
Definições Transformações e simetrias do gráfico de uma função Diferentes tipos de funções Operações com funções CPEN-MA12_20153594_P001_027_1P.indd 4
87
89
89
94
29/7/16 2:50 PM
5. Composição de funções 6. Função inversa 7. Definição de sucessão 8. Progressão aritmética 9. Progressão geométrica 10.Classificação de uma sucessão quanto à convergência
11.Soma dos termos de uma progressão geométrica 12.Número de Neper Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação Tema 2 – Função exponencial e função logarítmica 112.° ano2
1. Função exponencial 2. Logaritmos 3. Função logarítmica Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação Tema 3 – Limites e continuidade 111.° e 12.° anos2
1. Noção intuitiva de limite 2. Definição de limite segundo Heine 3. Limites laterais 4. Propriedades dos limites 5. Cálculo de limites. Indeterminações 6. Limites de funções envolvendo exponenciais e logaritmos 7. Continuidade de uma função num ponto 8. Assíntotas do gráfico de uma função Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação Tema 4 – Derivadas 111.° e 12.° anos2
1. Definições e conceitos iniciais 2. Derivabilidade e continuidade 3. Função derivada 4. Regras de derivação 5. Aplicações da derivada de uma função 6. Aplicações da segunda derivada de uma função 7. Estudo de funções 8. Problemas de otimização Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação 95
96
97
98
98
99
99
101
102
104
106
108
110
112
118
122
126
131
132
133
134
137
141
145
150
152
162
164
169
172
173
174
180
185
188
190
192
202
206
Unidade 3 – Trigonometria e números complexos
Tema 1 – Trigonometria 111.° e 12.° anos2
1. Radiano 2. Funções trigonométricas p p p
3. Valores em , e 6 4 3
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215
215
216
5
29/7/16 2:50 PM
Índice
4. Equações trigonométricas 5. Fórmulas trigonométricas 6. Resolução de problemas usando funções trigonométricas 7. As funções trigonométricas como modelos de fenómenos reais 8. Limites de funções trigonométricas 9. Derivadas de funções trigonométricas Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação Tema 2 – Números complexos 112.° ano2
1. Definições 2. Representação geométrica de um número complexo 3. Operações com números complexos 4.Representação trigonométrica de um número complexo.
Operações com complexos na forma trigonométrica 5. Domínios planos e condições em variável complexa Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação Unidade 4 – Geometria 110.° e 11.° anos2
1. Distância entre dois pontos. Lugares geométricos no plano e no espaço 2. Vetores livres no plano e no espaço 3. Vetores em referenciais cartesianos do plano e do espaço 4. Produto escalar de dois vetores 5. Retas no plano e no espaço 6. Conjuntos de pontos definidos por condições no plano e no espaço 7. Equação cartesiana de um plano 8. Posição relativa de retas e planos 9. Interseção de planos 10.Programação linear Questões tipo exame: questões resolvidas e propostas Questões para praticar Avaliação PROVAS-MODELO com sugestão de resolução
Prova-modelo 1 Prova-modelo 2 PROVAS OFICIAIS com sugestão de resolução
217
217
220
222
223
225
228
235
242
247
248
249
253
260
266
272
276
284
286
289
291
294
298
300
301
303
305
308
311
313
315
327
Exame Final Nacional de 2016 – 1.a fase
Exame Final Nacional de 2016 – 2.a fase
340
352
SOLUÇÕES
367
FORMULÁRIO DO EXAME 384
QUESTÕES DE EXAME ESSENCIAIS 385
6
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2/8/16 1:22 PM
Tema 1 · Definições. Diferentes tipos de funções. Operações com funções. Sucessões
5. Composição de funções
Dadas duas funções, f e g , a composta de f com g escreve-se f + g 1lê-se: f após g ou composta de
f com g2 e é definida por:
1f + g2 1x2 = f f g 1x2g
g (x)
x
g
f
(f ° g) (x) = f [g(x)]
f°g
O domínio de f + g é o conjunto de todos os números reais que pertencem ao domínio de g tais que
g 1x2 pertence ao domínio de f .
Simbolicamente
Df + g = 5 x å R : x å Dg ‹ g 1x2 å Df 6
A composição de duas funções não é comutativa mas é associativa.
1f + g2 + h = f + 1g + h2 , Af , g e h
Quando f + g = g + f , f e g dizem-se funções permutáveis.
Exemplo 5
1
Considere a função f , de domínio R+0 \ 516 , definida por f 1x2 =
,
2
"x - 1
e a função g , de domínio R , definida por g 1x2 = x .
Caracterize as funções f + g e g + f . As funções f e g são permutáveis?
Resolução
Função f + g
Df + g = 5x å R : x å Dg ‹ g 1x2 å Df 6 =
= 5x å R : x å R ‹ x å R \ 5166 =
= 5x å R : x2 0 16 = R \ 5- 1 , 16
1f + g2 1x2 = f 1g 1x22 = f 1x22 =
1
"x - 1
2
1
0x0 - 1
=
f + g : R \ 5- 1 , 16 " R com 1f + g2 1x2 =
Função g + f
Dg + f = 5x å R : x å Df ‹ f 1x2 å Dg 6 =
= e x å R : x å R+0 \ 516 ‹
CPEN-MA12 © Porto Editora
1
"x - 1
b=a
5.2. Indique, entre as dadas, um
par de funções permutáveis, caso
existam.
1
0x0 - 1
1
å Rf =
"x - 1
= 5x å R : x ≥ 0 ‹ x 0 16 = R+0 \ 516
1g + f2 1x2 = g 1f 1x22 = g a
1
2
"x - 1
g + f : R+0 \ 516 " R com 1g + f2 1x2 =
b =
1
Q"x
- 1R
Q"x
1
- 1R
2
2
As funções f e g não são permutáveis porque as funções f + g e g + f
são diferentes.
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Sejam as funções f , g e h ,
1
definidas por f 1x2 = ,
x
x
g 1x2 = "x e h 1x2 = - 1 de
2
domínios R \ 506 , R+0 e R ,
respetivamente.
5.1. Caracterize as funções:
a2 f + g
b2 f + h
c2 h + g
+
0
2
Verifica 5
95
8/25/14 11:12 AM
Questões tipo exame
9 Nas figuras seguintes estão
representações gráficas de duas
funções f e g .
9 Nas figuras seguintes estão representações gráficas de duas
funções f e g .
y
y
y
f
2
-1 0
f
g
1
-2 -1 0
x
1
2
x
-1 0
-2
1C2 g 1x2 = f a x b - 2
2
10 Na figura está representada parte do gráfico de uma
função f .
f
2
-1
0 1
x
-2
g
Seja g a função, de domínio R , definida por g 1x2 = 0 x 0 .
Qual é o valor de 1f - 1 + g2 1- 22 ?
1A2 - 1 1B2 - 2
1C21
1D22
2
-3 -2 -1 0
1 x
Qual das igualdades seguintes é
verdadeira?
1A2 g 1x2 = 0 f 1x - 22 0
1B2g 1x2 = f 1 0 x + 2 0 2
1C2 g 1x2 = 0 f 1x + 22 0
1D2g 1x2 = 0 f 1x2 - 2 0
y
g
10 Considere a função f , 5
+
de domínio R0 ,
definida por
f 1x2 = "x + 2 e a
função afim g ,
1
representada
graficamente na
0 1 2 x
figura ao lado.
Indique o valor de f 11g + f2 1422 .
1A21
Resolução
1f - 1 + g2 1- 22 = f - 11g 1- 222 =
Qual é o contradomínio de f ?
Resposta: 1C2
1A2 g- ? , f 142g
102
y
1D2 g 1x2 = 1 f 1x2 + 2
2
Resposta: 1C2
x
1
-2
Qual das igualdades seguintes é verdadeira?
1A2 g 1x2 = f 12x2 - 2
1B2 g 1x2 = 2f 1x2 - 2
Resolução
O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f por
x
uma dilatação horizontal de coeficiente 2 af 1x2 1 f a bb
2
seguida de uma translação de vetor 10 , - 22 :
x
x
af a b 1 f a b - 2b
2
2
= f - 11 0 - 2 0 2 = f - 1122 = 1
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Questões propostas
Questões resolvidas
1B22
1C24
1D25
11 De uma função quadrática f sabe-se
que:
• 2 e 6 são zeros • f 132 > f 122
1C2 ff 142 , + ?f
1B2 g- ? , f 122g
1D2ff 162 , + ?f
8/26/14 10:41 AM
Questões para praticar
50 Na figura seguinte está a representação gráfica
de uma função h e das retas a , b , c e d ,
tangentes ao gráfico de h nos pontos A , B , C
e D , respetivamente.
CPEN-MA12 © Porto Editora
Itens de seleção
53 De uma função f , de domínio R , sabe-se que
f 1x2
f 102 = 0 e lim
= 1.
x"0 x
Qual das seguintes afirmações é necessariamente
verdadeira?
y
a
c
A
d
D
C
B
b
x
O
Sabe-se que a função h admite primeira e
segunda derivadas em todos os pontos.
Em qual dos pontos, A , B , C ou D , se poderá
ter f ' 1x2 < 0 e f '' 1x2 = 0 ?
1A2 A
1B2 B
1C2 C
1D2D
1A2 A função f é contínua em R .
1B2 O gráfico da função f tem uma assíntota
paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.
1C2 lim f 1x2 = 0
x"0
1D2f ' 102 = 0
54 Na figura seguinte estão representados, num
referencial o.n. xOy :
• parte dos gráficos de duas funções, f e g , de
domínio R ;
• uma reta r , tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa a e tangente ao gráfico de g no
ponto de abcissa b .
y
51 Na figura está representada parte do gráfico de
uma função polinomial g bem como parte da
reta t , tangente ao gráfico de g no ponto de
coordenadas 12 , 22 .
A reta t interseta o eixo Oy no ponto de
ordenada 1 .
y
g
x
2
3
1C2 - x + 2 2
1B2 x - 1
2 2
1D2 1 - x
2 2
52 De uma função f , derivável em R , sabe-se que
a reta de equação y = 2x + 1 é tangente ao seu
gráfico no ponto de abcissa 1 .
202
Qual é o valor de lim
ff 1x2g - 3f 1x2
1A2 1
x"1
1B2 4
CPEN-MA12_20133549_P169_213_3P_CImg.indd 202
x2 - x
1C26
x
b
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
1A2 f ' 1a2 < g ' 1b2
?
1D29
1C2 f ' 1a2 * g ' 1b2 < 0
1B2 f ' 1a2 - g ' 1b2 = 0
1D2f ' 1a2 + g ' 1b2 = 0
55 Na figura estão
representados, num
referencial xOy :
• parte do gráfico da função
h , de domínio R+ ,
definida por:
x
h 1x2 = 1 + 4 ln a b
2
y
O
t
2
h
x
b
t , tangente ao
gráfico de h no ponto de
abcissa 2 e que interseta o eixo Oy no ponto
de ordenada b .
• a reta
Qual é o valor de b ?
1A2 - 4
2
O
Qual das expressões seguintes pode definir g ' ,
função derivada de g ?
1A2 x + 1
2
a
f
1
r
t
2
O
g
1B2- 3
1C2 - 2
1D2- 1
8/25/14 11:13 AM
Avaliação
p
1A2 5
1B2 4p
5
1C2 9p
5
1D2 -
4p
5
CPEN-MA12 © Porto Editora
6p
.
5
Qual poderá ser um argumento do número complexo - z ?
1 Seja z um número complexo de argumento
p
.
5
Qual poderá ser um argumento do número complexo iz ?
2 Seja z um número complexo de argumento
1A2 3p
10
1B2 -
p
5
1C2 7p
10
1D2 13p
10
p
3 Considere o número complexo z = 2 cis a b .
5
Um argumento de - z é:
1A2 -
p
5
1B2 p
5
4 Considere o número complexo z = 2 cis
O módulo de z é igual a:
1A2 1
1B2 "7 1C2 4p
5
1D2 6p
5
11p
-i.
6
1C2 "5 1D2 3
5 Na figura está representado, no plano complexo, um quadrado cujos vértices
são as imagens geométricas de quatro números complexos: z1 , z2 , z3 e z4 .
Qual das figuras seguintes pode representar, no plano complexo, o quadrilátero
cujos vértices são as imagens geométricas dos números complexos iz1 , iz2 ,
iz3 e iz4 ?
1A2
1B2
1C2
1D2
6 Sabe-se que u e v são raízes de índice n de um determinado número complexo z .
276
Então, pode-se afirmar que:
1A2 arg1u2 = arg1v2 CPEN-MA12_20133549_P266_282_4P_CImg.indd 276
1B2 zn = u 1C2 |u| = |v| 1D2 u = - v
8/26/14 5:29 PM
Prova-modelo 1
Grupo I
Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Cotações
1. Quantos números naturais pares, com quatro algarismos diferentes, se podem escrever?
1A22296
1B22520
1C22016
1D23600
2. Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória e sejam A e B dois acontecimentos possíveis 1A ƒ S e B ƒ S2 .
5
5
Sabe-se que P 1A2 = 5P 1A © B2 e P 1A ∂ B2 = 2P 1B2 .
Qual é o valor da probabilidade condicionada P 1A | B2 ?
1A2 1 2
1B2 1 3
1C2 1 4
1D2 1
5
3. Seja f uma função de domínio R , derivável em todos os pontos do domínio, tal que:
5
• f 1x2 > 0 , Ax å R
• f 112 = f ' 112 = e
Considere a função h , de domínio R , definida por h 1x2 = f 1x2 * ln ff 1x2g .
O valor de h' 112 é:
1A2e
1B22e
1C2 e2
1D20
4. Seja f a função, de domínio R+ , definida por f 1x2 = ln 12x2 .
A reta de equação y = 2x + b é tangente ao gráfico da função f .
Qual é o valor de b ?
1A22
1B21
1C2 1 2
5
1D2 - 1
5. Seja 1un2 a sucessão definida por recorrência do modo seguinte:
CPEN-MA12 © Porto Editora
e
5
u1 = 100
un + 1 + 1 = un , An å N
A soma dos k primeiros termos de 1un2 é igual a zero.
O valor de k é:
1A2100 1B2101 1C2200 1D2201
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315
7/31/15 3:38 PM