Resolução

TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A
RESOLUÇÃO - VERSÃO 1
______________________________________________
GRUPO I
1.
T ÐE ∪ FÑ œ T ÐEÑ T ÐFÑ T ÐE ∩ FÑ
Como E e F são acontecimentos independentes, tem-se que
T ÐE ∩ FÑ œ T ÐEÑ ‚ T ÐFÑ
Portanto, T ÐE ∪ FÑ œ !,% !,& !,% ‚ !,& œ !,(
Resposta B
2.
&"!!!
log & Œ #&  œ log & &"!!! log & #& œ "!!! # œ **)
Resposta D
3.
Comecemos por observar que a função 1 não é contínua no ponto #
lim 1ÐBÑ œ $# È# œ * È#
e
B Ä#
lim 1ÐBÑ œ # & log # # " œ $ log # " œ $
B Ä#
Como a função 1 não é contínua no ponto #, não é contínua no intervalo
Ò"ß $Ó, pelo que podemos excluir a opção B.
Como a função 1 é contínua nos intervalos Ò!ß "Óß Ò$ß &Ó e Ò&ß *Ó, basta
descobrir em qual destes intervalos as imagens dos extremos têm sinais
contrários.
Como 1Ð!Ñ œ ",
1Ð"Ñ œ #, 1Ð$Ñ œ ", 1Ð&Ñ œ #
e
1Ð*Ñ œ (,
a opção correcta é a opção C.
Resposta C
4.
lim ’
B Ä ∞
ln B
B 0 ÐBÑ “ œ ! " œ "
Resposta A
5.
A sucessão de termo geral
%
"!!!
8
inferiores a %, pelo que lim ?8 œ
tende para %, por valores
lim 2ÐBÑ œ "
B Ä%
Resposta B
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 1
GRUPO II
T ÐElFÑ designa a probabilidade de os números saídos serem iguais, sabendo que a
1.1.
sua soma é igual a 1.
Se a soma dos números saídos é igual a 1, então uma das bolas extraídas da caixa tem
de ter o número 0 e a outra tem de ter o número 1, pelo que é impossível os números
saídos serem iguais.
Portanto,
1.2.
T ÐElFÑ œ !
A variável aleatória
\ pode tomar os valores !, " e #
Tem-se:
$
G# $ ‚ $
$*
"#
%
œ "& œ "& œ &
'
G#
#
G#
"
T Ð\ œ "Ñ œ '
œ "&
G#
T Ð\ œ !Ñ œ
T Ð\ œ #Ñ œ
#‚"
'
G#
#
œ "&
A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória
2.
B3
!
"
#
T Ð\ œ B3 Ñ
%
&
"
"&
#
"&
A resposta correcta é a do André: #&G#
\ é, portanto,
"& ‚ "!
De facto, o número de comissões com dois alunos do mesmo sexo é igual à diferença
entre o número total de comissões com dois alunos e o número de comissões formadas
por um rapaz e uma rapariga.
O número total de comissões com dois alunos é igual a #&G#
O número de comissões formadas por um rapaz e uma rapariga é igual a
"& ‚ "!
Assim, o número de comissões com dois alunos do mesmo sexo é igual a
#&
G# "& ‚ "!
Na resposta da Rita, o erro é o sinal
‚ , que deve ser De facto, o número de comissões com dois alunos do mesmo sexo é igual à soma do
número de comissões formadas por dois rapazes com o número de comissões formadas
por duas raparigas.
Assim, o número de comissões com dois alunos do mesmo sexo é igual a "&G#
"!G#
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 2
3.1.
Tem-se:
•
lim 0 ÐBÑ œ lim
B Ä#
œ
B È#B
B
B Ä#
œ
œ lim
B Ä#
œ
lim
B ÐB #Ñ
œ
#
lim 0 ÐBÑ Á lim 0 ÐBÑ , conclui-se que não existe lim 0 ÐBÑ, pelo que a
B Ä#
B Ä#
B Ä#
0 não é contínua em B œ #
lim
B Ä∞
0 ÐBÑ
B
œ
lim
B Ä∞
B /B B "
B
œ
"
B Ä∞
lim Ò 0 ÐBÑ BÓ œ
B Ä∞
œ
lim Š
B Ä∞
lim Š/B " B ‹ œ /∞ " œ
•
œ
œ #
Tem-se:
•
ŠB È#B‹ ŠB È#B ‹
B # ŠB È#B ‹
B Ä#
# È%
#
B # ŠB È#B ‹
lim 0 ÐBÑ œ lim B /B B " œ # ‚ /# # " œ /# $
B Ä#
B Ä#
função
3.3.
B# #B
lim
Como
3.2.
B # ŠB È#B ‹
lim
œ
•
B Ä#
B Ä#
ˆ !! ‰
B#
B È#B
"
∞
B /B
B
B B ‹ œ
B
"
œ ! " ! œ "
lim B /B B " B œ lim B /B " œ
B Ä∞
B Ä∞
lim Š /B "‹ œ ! " œ "
B
B Ä∞
Portanto, a recta de equação
C œ B " é assimptota do gráfico de 0
As soluções da equação
0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ
são as abcissas dos pontos de intersecção
dos gráficos de
0 e de 1
Na figura, estão representadas parte do
0 e parte do gráfico da
gráfico da função
função
1,
bem
como
as
abcissas,
arredondadas às centésimas, dos pontos de
intersecção dos dois gráficos.
Portanto,
as
0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ
soluções
são
da
!,(#
equação
e
#,*"
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 3
4.1.
Como
* !!! são * milhares, começamos por escrever a equação 0 Ð>Ñ œ *
"!
"!
0 Ð>Ñ œ * Í $ # /!,"$ > œ * Í $ # /!,"$ > œ *
Í
"!
# /!,"$ > œ *
Í /
!,"$ >
Portanto,
$ Í # /!,"$ > œ "(
Í !,"$ > œ ln Š ") ‹
"(
œ ")
"(
*
Í > œ
Í
Í
ln Š "(
") ‹
!,"$
> ¸ !,%$*(
!,%$*( ‚ ( ¸ $ , é ao fim de 3 dias, após a doença ter sido detectada, que o
número de coelhos é igual a * !!!
Como
4.2.
Ao longo da primeira semana, morreram dois mil coelhos e não nasceu nenhum. Por
isso, no instante em que a doença foi detectada, havia mais dois mil coelhos do que uma
semana depois.
No instante em que a doença é detectada, o número de coelhos (em milhares) é igual a
0 Ð!Ñ. Ao fim de uma semana, o número de coelhos (em milhares) é igual a 0 Ð"Ñ
Portanto,
0 Ð!Ñ 0 Ð"Ñ œ #
5
5
0 Ð!Ñ œ $ # /! œ $ # œ 5
Tem-se:
5
0 Ð"Ñ œ $ # /!,"$
Vem, então
5
5 $ # /!,"$
Como
œ#
$ # /!,"$ ¸ ",#%$) , vem
5
5 ",#%$) œ # Í ",#%$) 5 5 œ #,%)(' Í !,#%$) 5 œ #,%)('
#,%)('
Í 5 œ !,#%$)
Tem-se, assim,
5 ¸ "!,#
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