V - Aprender

Eletricidade
Aplicada
Aulas Teóricas
Professor: Jorge Andrés Cormane
Angarita
Análise da Potência
Eletricidade Aplicada
Introdução
Existem duas formas de calcular a potência fornecida
ou recebida por um componente de um circuito de
corrente alternada
• Domínio do Tempo
• Domínio da Frequência
3
Potência e Energia
As expressões para a POTÊNCIA e ENERGIA fornecidas
a um circuito linear, têm a forma:
p t   v t  i t 
t2
E   p  t  dt
t1
 Watt 
 Joule
i(t)
+
v(t)
Circuito Linear
O efeito em um circuito nos seus terminais de saída pode ser representado
por um grupo de elementos passivos chamado de Carga
4
Cálculo da Potência no
Domínio do Tempo
5
Potência no Domínio do
Tempo
• Potência Instantânea
 Produto da tensão instantânea no elemento e a corrente
instantânea que passa através dele
i(t)
+
v(t)
-
p t   v t  i t 
 Watt 
v  t   Vm cos t  v 
i  t   I m cos t  i 
Circuito Linear
O valor depende do instante no qual ele é medido, em geral,
uma função do tempo
6
Potência no Domínio do
Tempo
A potência instantânea a qualquer instante é:
p  t   v  t  i  t   Vm I m cos t  v  cos t  i 
usando identidades trigonométricas, obtém-se
1
cos  A cos  B   cos  A  B   cos  A  B 
2
Vm I m
Vm I m
p t  
cos v  i  
cos  2t  v  i 
2
2
não depende do tempo
depende do tempo
7
Potência no Domínio do
Tempo
p(t)
1
Vm I m
2
1
Vm I m cos v  i 
2
0
T/2
T
t
A potência instantânea varia com o tempo, sendo, portanto,
difícil de ser medida
8
Potência no Domínio do
Tempo
p(t)
A energia é absorvida
pelo circuito
+
+
0
T/2
A energia é transferida
do circuito para a fonte
T
t
Uma carga de resistiva absorve energia em todos os instantes, enquanto
que, uma carga indutiva ou capacitiva somente armazena energia
9
Potência no Domínio do
Tempo
Para calcular a potência instantânea,
devemos, necessariamente, ter v(t) e i(t)
no DOMÍNIO DO TEMPO.
10
Potência no Domínio do
Tempo
• Potência média
 É a média da potência instantânea em determinado
intervalo de tempo
P
t2
1
p  t  dt

t2  t1 t1
T

 P
Sinais
Periódicos
1
p t  d

T0
A potência média é um valor constante
11
Potência no Domínio do
Tempo
Calculando a integral, tem-se
T
T
1 V I
1 V I
P   m m cos v  i  dt   m m cos  2t  v  i  dt
T0 2
T0 2
constante
P
Vm I m cos v  i  T
T
Vm I m
dt

cos  2t  v  i  dt
0

2T 0
2T
0
P
Vm I m
cos v  i 
2
A potência média é mais conveniente de ser medida
12
Potência no Domínio do
Tempo
Para calcular a potência média, podemos
usar a tensão e a corrente expressas no
DOMÍNIO DO TEMPO ou no
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
13
Potência no Domínio do
Tempo
• Valor Eficaz ou RMS da tensão/corrente
 Raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos
valores instantâneos da tensão/corrente durante um
período
T
T
T
T
T
Vrms
Vm2 1
Vm
1 2
1
2
2

v
dt

V
cos

t


dt

1

cos
2

t

2

dt







m
v
v 
T 0
T 0
T 0 2 
2
I rms
I m2 1
Im
1 2
1 2
2

i
dt

I
cos

t


dt

1

cos
2

t

2

dt







m
i
i 
T 0
T 0
T 0 2 
2
T
Esta expressão é válida apenas para correntes e tensões senoidais
14
Potência no Domínio do
Tempo
• Potência
eficazes
instantânea
em
termos
dos
valores
Vm I m
Vm I m
p t  
cos v  i  
cos  2t   v  i 
2
2
Vm I m
Vm I m

cos v  i  
cos  2t  v  i 
2 2
2 2
 Vrms I rms cos v  i   Vrms I rms cos  2t   v  i 
15
Potência no Domínio do
Tempo
• Potência média em termos dos valores eficazes
Vm I m
P
cos  v  i 
2
Vm I m

cos  v  i 
2 2
 Vrms I rms cos v  i 
16
Exercício A10.01 – Determine o valor eficaz da forma de onda de tensão
17
Cálculo da Potência no
Domínio da Frequência
18
Potência no Domínio da
Frequência
Podemos calcular a potência gerada ou absorvida
nos componentes do circuito no domínio da
frequência, usando fasores.
I
V  VmV
V  Vrms V
ou I  I m I
ou I  I rms  I
+
V
-
R + jX
Circuito Linear
19
Potência no Domínio da
Frequência
Como a potência é dada por p(t)=v(t)i(t), é lógico
perguntar se o produto fasorial VI está relacionado ou
não
20
Potência no Domínio da
Frequência
• Potência Complexa
 Termo criado pelos engenheiros de sistemas de potência
representar o efeito das cargas em paralelo
S  VI  P  jQ
*
Contempla todas as informações pertinentes à potência
absorvida por uma determinada carga
21
Potência no Domínio da
Frequência
• Potência Complexa
Im
|S|
θV - θI
P
Q
Re
A representação da potência complexa sugere a construção do
triângulo de potências
22
Potência no Domínio da
Frequência
• Potência Complexa
 Na forma polar
S  Vrms I rms V   I
 Na forma retangular
S  Vrms I rms cos V   I   jVrms I rms sin V   I 
23
Potência no Domínio da
Frequência
• Potência Complexa
 pode ser expressa em termos da impedância
S  Vrms I rms cos V   I   jVrms I rms sin V   I 
Im
2
  I rms

2
2
 I rms
Z cos V   I   jI rms
Z sin V   I 
|S|
θV - θI
P
Vrms
Vrms
2
cos V   I   j  I rms
sin V   I 

I rms
I rms
Q
2
2
 I rms
Re Z   jI rms
Im Z 
2
2
 I rms
R  j I rms
X
Re
P
Q
 P  jQ
24
Potência no Domínio da
Frequência
De acordo com o principio de conservação da
energia, a potência total fornecida pelas fontes é
igual à potência total absorvida pelos componentes
do circuito
S
P
fontes
fontes
  Pcomponentes
  Scomponentes
Q
fontes
  Qcomponentes
Não importa como as cargas individuais possam estar
interligadas
25
Exercício A10.02 – Encontrar a potência complexa absorvida por cada um
dos cinco elementos no circuito
Exercício A10.03 – Encontrar a potência média absorvida por cada um dos
elementos
26
Exercício A10.04 – Seja Zab a impedância equivalente vista entre os terminais
de um circuito. Encontre a potência média consumida pela rede quando
ω=377 rad/s, R=10 k, C=200 nF e I=2∟22° mA.
Zab 
R
1   2 R 2C 2
  tan 1 RC 
27
Fator de Potência
28
Fator de Potência
• Definição
 A razão entre a potência aparente e a potência ativa
fp=1
adiantado
P
fp   cos V   I 
S
fp=0
-90
atrasado
0
90
fp=0
fp= cos(θV - θI)
O cosseno é uma função par, (cos(A)=cos(-A)), o que gera
ambiguidade
29
Fator de Potência
Adiciona-se a palavra ADIANTADO ou
ATRASADO ao valor numérico que
representa o fator de potência
30
Fator de Potência
• Interpretação




X > 0 (carga com característica indutiva)
Q>0
fp está atrasado
a corrente está atrasada da tensão
Im
Im
|Z|
Im
|S|
θV - θI
R
V   I  0
X
Re
V
θV - θI
P
Q
Re
θV - θI
I
Re
31
Fator de Potência
• Interpretação




X < 0 (carga com característica capacitiva)
Q<0
fp está adiantado
a corrente está adiantada da tensão
R
Re
θV - θI
P
θV - θI
X
|Z|
Im
Re
V   I  0
Im
Q
I
|S|
Im
θV - θI
V
Re
32
Fator de Potência
• Interpretação




X = 0 (carga com característica resistiva)
Q=0
fp é unitário
a corrente está em fase com a tensão
Im
Im
|Z|=R
Im
|S|=P
Re
V   I  0
I
Re
V
Re
33
Fator de Potência
Companhias de eletricidade preocupam-se com o
fator de potência, e usualmente aumentam seus
preços para uma indústria que opere com baixo
fator de potência
 Um baixo fator de potência corresponde a grandes
valores de Q e S, para um valor fixo de P
 Isto aumenta a corrente que deve ser fornecida ao
consumidor
A corrente aumentada exige uma maior infraestrutura, além
de aumentar as perdas de potência
34
Fator de Potência
• Correção do fator de potência
 Consiste no processo de aumentar o fator de potência,
acrescentando uma impedância de compensação em
paralelo à carga
I
Rede
Elétrica
+
V
-
Carga
jXc
Durante este processo mantêm-se constantes a tensão, corrente
e potência ativa da carga
35
Fator de Potência
• Correção do fator de potência
Im
|S1|
P  tan 1  tan  2 
C 
2
Vrms
QC
|S2|
Q1
Q2
θ1 θ2
P
Re
R
C  2
tan 1  tan  2 
2 
R X
Normalmente é utilizada uma impedância de compensação do
tipo capacitivo
36
Exercício A10.05 – Para o circuito da figura, encontrar Vo e o fator de
potência de entrada.
Exercício A10.06 – De acordo com o circuito da figura. (a) Qual é o fator de
potência? (b) Qual é a potência média dissipada? (c) Qual é o valor da
capacitância que irá produzir um fator de potência igual à unidade quando
ligada à carga?
37
Potência no Domínio da
Frequência
Potência
Aparente
VA
S
Potência
Complexa
VA

Fator de
Potência  fp 
Ângulo
do fp
S cos V   I   j S sin V   I 
Potência Média = Potência Ativa  P 
W 
Potência Reativa  Q 
VAr 
Se quaisquer duas das quatro grandezas (S,P,Q,FP) forem dadas, as outras
duas podem ser calculadas do triângulo de potências
38
Máxima Transferência
de Potência Média
39
Máxima Transferência de
Potência Média
O circuito equivalente de Thévenin é útil para
descobrir a potência média máxima que um circuito
linear pode liberar a uma carga.
Zth
Vth
+
-
I
Zth  Rth  jX th
ZL
Z L  RL  jX L
40
Máxima Transferência de
Potência Média
Estamos interessados em ajustar os parâmetros RL e XL
da carga, dado que queremos maximizar P.
• Potência média fornecida à carga
P  I RL
2
1
• Corrente que atravessa a carga
Vth
Vth
I

Zth  Z L  Rth  jX th    RL  jX L 
 2
41
Máxima Transferência de
Potência Média
• Substituindo (2) em (1), tem-se
P I
2
RL 

RL 
 3
2
2
 Rth  RL    X th  X L 
Vth
2
• Calcula-se dP/dXL=0
Vth  X th  X L 
dP

0
2
dX L  R  R 2   X  X 2 
L
th
L
 th

2
X th   X L
 4
42
Máxima Transferência de
Potência Média
• Calcula-se dP/dRL=0
dP Vth

dRL
2
 Rth  RL 2   X th  X L 2  2 RL  Rth  RL  

 0
2
2 2
2  Rth  RL    X th  X L  


RL  R   X th  X L 
2
th
2
 5
• Substituindo (4) em (5), tem-se
RL  Rth
 6
43
Máxima Transferência de
Potência Média
A máxima transferência de potência média
acontece quando a impedância de carga é igual ao
complexo conjugado da impedância de Thévenin
Z L  Rth  jX th  Zth*
• Substituindo (4) e (6) em (3), tem-se
P
Vth
2
8Rth
44
Máxima Transferência de
Potência Média
• Na situação em que a carga é puramente real
(sem parte reativa), a máxima transferência de
potência média acontece quando a impedância
de carga é igual ao módulo da impedância de
Thévenin
RL  Rth2  X th2  Zth
45
Exercício A14.07 – Determinar o valor de ZL no circuito, para
ter a máxima transferência de potência
Exercício A14.08 – A resistência variável R do circuito é ajustada
até que ele absorve a máxima potência média. Encontrar R e a
potência média máxima absorvida.
46
Exercício A10.9 – Uma caixa preta com um circuito nela embutido é
conectada a um resistor variável. São usados um amperímetro ideal (com
resistência zero) e um voltímetro ideal (com resistência infinita) para medir a
corrente e tensão, conforme indicado na figura abaixo. Os resultados são
apresentados na tabela abaixo.
• Determine i quando R = 4 Ω.
• Determine a máxima potência obtida da caixa preta.
R(Ω)
v(V)
i(A)
2
3
1,5
8
8
1,0
14
10,5
0,75
47
Medição da Potência
Média
48
Medição da Potência
Média
Para medir a potência média, faz-se necessário medir
a tensão, corrente e a defasagem entre eles
T
1
P   v  t  i  t  dt  Vrms I rms cos V   I 
T0
A potência pode ser obtida de forma indireta através da medição de cada
grandeza individualmente ou de forma direta através do wattímetro
49
Medição da Potência
Média
Os amperímetros e voltímetros de CA são fabricados
para mostrar o valor eficaz de uma corrente ou
tensão senoidal, respectivamente.
I
A
+
V
-
V
Circuito
Linear
Os voltímetros e amperímetros NÃO medem os valores
máximos
50
Medição da Potência
Média
• Amperímetro
No contexto teórico, considerado um curto circuito
No contexto físico, ele tem uma bobina com baixa
resistência
• Voltímetro
No contexto teórico, considerado um circuito aberto
No contexto físico, ele tem uma bobina com alta
resistência
É muito comum definir o módulo do fasor como o valor eficaz
ao invés do valor máximo de uma função senoidal
51
Medição da Potência
Média
O Wattímetro fornece uma leitura da potência média
absorvida por um componente
I
+
V
-
W
I
+
V
-
Circuito
Linear
A presença do wattímetro não afeta o circuito ou tem algum
efeito sobre a medição da potência
52
Medição da Potência
Média
• Características
 A bobina fixa




denominada bobina de corrente
baixa impedância
construída com fio grosso e poucas espiras
ligada em série com a carga
I
+
V
-
W
I
+
V
-
Circuito
Linear
53
Medição da Potência
Média
• Características
 A bobina móvel




denominada bobina de tensão ou bobina de potencial
alta impedância
construída com fio fino e muitas espiras
ligada em paralelo com a carga
I
+
V
-
W
I
+
V
-
Circuito
Linear
54
Medição da Potência
Média
Ao serem energizadas a bobina móvel tende a alinhar seu campo
magnético com o campo magnético da bobina fixa. O desvio do ponteiro
solidário à bobina móvel é proporcional ao valor médio da potência
55
Medição da Potência
Média
• Conexão
 Para garantir uma deflexão positiva, os terminais de
entrada ou saída de ambas as bobinas devem ser
conectados à fonte
Inverter apenas uma das bobinas resulta em deflexão negativa
e, consequentemente, nenhuma leitura no wattímetro.
56
57
p t   v t  i t 
t2
E   p  t  dt
 Watt 
 Joule
S  VI *  P  jQ
V  Vm V ou I  I m  I
t1
v  t   Vm cos t   v 
i  t   I m cos t  i 
p  t   v  t  i  t   Vm I m cos t   v  cos t  i 
1
cos  A  B   cos  A  B  
2
V I
V I
p  t   m m cos  v  i   m m cos  2t   v  i 
2
2
cos  A  cos  B  
não depende do tempo
t
1 2
p  t  dt
P
t2  t1 t1
S
S
depende do tempo
1
 P

Sinais
T
Periódicos
T
S
0
S
 p  t  dt
ou
I  I rms  I
VI * Vm V  I m    I  Vm I m



V   I
2
2
2
VI * Vm I m


V   I
2
2
VI *  Vm
 I



V   m    I   Vrms I rms V   I
2
 2
 2

 Vrms I rms V   I
T
T
P
V  Vrms V
1 Vm I m
1 Vm I m
cos  2t   v  i  dt

dt



cos


i
v
T 0 2
T 0 2
constante
T
Vm I m cos  v  i  T
Vm I m
P
0 dt  2T 0 cos  2t  v  i  dt
2T
0
P
Vm I m
cos  v  i 
2
Vm I m
2
S  Vrms I rms
S 
58
Vm I m
V I
cos  v  i   m m cos  2t   v  i 
2
2
V I
V I
 m m cos  v  i   m m cos  2t   v  i 
2 2
2 2
 Vrms I rms cos  v  i   Vrms I rms cos  2t   v  i 
p t  
1
Vm I m
2
1
Vm I m cos  v  i 
2
1
Vm I m cos  2t   v  i 
2
v  t   Vm cos t   v   2Vrms cos t   v   Vrms
i  t   I m cos t  i   2 I rms cos t  i   I rms
T
Vrms
T
T
Vm
1 2

v
dt

T 0
2
T
Im
1 2

i
dt

T 0
2
Vm I m
cos  v  i 
2
V I
 m m cos  v  i 
2 2
 Vrms I rms cos  v  i 
P
T
Vm2 1
Vm
1 2
1
2
2

v
dt

V
cos

t


dt

1

cos
2

t

2

dt







m
v
v

T 0
T 0
T 0 2 
2
v  t   Vm cos t   v   2Vrms cos t   v 
T
I rms
T
1 2
1 2

i dt 
I m cos 2 t  i dt 


T 0
T 0
T
I m2 1
I
1  cos  2t  2i   dt  m

T 02
2
i  t   I m cos t  i   2 I rms cos t  i 
59
S  S
 Re S   Re S
 Im S   Im S
P  P
Q  Q
fontes
fontes
fontes
componentes
Vm I m
V I
cos V   I   j m m sin V   I 
2
2
fontes
componentes
S
fontes
Potência Média = Potência Ativa
componentes
componentes
P
Potência Reativa
Q
S  Vrms I rms cos V   I   jVrms I rms sin V   I 
Potência
Aparente
VA
componentes
S

Potência
Complexa
VA
S
Fator de
Potência  fp 
cos V   I   j S sin V   I 
Potência Média = Potência Ativa  P 
W 
Potência
Aparente
VA FatordePotência  fp 
S
Potência
Complexa
VA

S
Ângulo
do fp
cos  S 
Potência Média = Potência Ativa  P 
W 
S  Re S   j Im S   P  jQ
Potência Reativa  Q 
VAr 
ângulodofp
 j S sin  S 
Potência Reativa  Q 
VAr 
60
Z
Vrms
V
cos V   I   j rms sin V   I 
I rms
I rms
 Z cos V   I   j Z sin V   I 
ReZ 
ImZ 
 R  jX
S  Vrms I rms cos V   I   jVrms I rms sin V   I 
2
  I rms

Vrms
Vrms
2
cos V   I   j  I rms
 I sin V   I 
I rms
rms
2
2
 I rms
Z cos V   I   jI rms
Z sin V   I 
2
2
 I rms
Re Z   jI rms
Im Z 
2
2
 I rms
R  j I rms
X
P
fp 
P
 cos V   I 
S
V   I  0
V   I  0
V   I  0
X  0  fp  1
Q
 P  jQ
T
1
P   v  t  i  t  dt  Vrms I rms cos V   I 
T 0
P  tan 1  tan  2 
C 
2
Vrms
C 
R
tan 1  tan  2 
2
2 
R X
61
Potência no Domínio da
Frequência
• A potência complexa
 pode ser expressa em termos da impedância
Im
Z
|Z|
θV - θI
R
X
Vrms
V
cos V   I   j rms sin V   I 
I rms
I rms
 Z cos V   I   j Z sin V   I 
ReZ 
ImZ 
 R  jX
Re
62