GEOMETRIA – Nível 2

GEOMETRIA – Nível 2
TRIÂNGULOS, SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
CONVEXO e ÂNGULO INTERNO DE POLÍGONOS REGULARES.
Prof. Antonio Otavio (Prof. Tuca)
POTI – Pirassununga.
1 - Triângulos
Em muitos exercícios olímpicos de geometria recorremos a soma dos ângulos internos
de um triângulo.
1.1 – Soma dos ângulos internos de um triângulo.
Teorema 1. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Demonstração: Problema 2 da aula anterior.
1.2 – Ângulo externo de um triângulo.
Teorema 2. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das
medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Demonstração: Problema 3 da aula anterior.
2 – Polígonos
Matematicamente denominamos polígonos como sendo uma superfície plana limitada
por uma linha poligonal fechada. Linha poligonal é uma linha que é formada apenas
por segmentos de reta. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Além disso,
esses segmentos de reta não podem cruzar-se. O número de lados de um polígono
coincide com o número de ângulos.
Dados dois pontos A e B quaisquer interiores a um polígono, se o segmento de reta
determinado por esses dois pontos estiver inteiramente contido no interior do polígono,
então esse polígono será convexo.
2.1 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Teorema. A soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo de n
lados é 𝑛 = (𝑛 − 2).180°
Demonstração:
2.2 – MEDIDA DO ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO CONVEXO
Para calcular o valor de cada ângulo interno de um polígono regular, basta dividir a
(𝒏 − 𝟐).𝟏𝟖𝟎°
soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. ai =
𝒏
Problema 1. Determine a medida do ângulo interno de um quilógono.
Problema 2. O quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, da
figura, é quadrado e o triângulo 𝐷𝐶𝐸 é
equilátero. Determine a medida do
ângulo 𝐷𝐵̂𝐸.
Problema 2. Determine a medida do ângulo 𝐷𝐴̂𝐸 no
quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 abaixo, sabendo que o triângulo 𝐵𝐶𝐸 é
equilátero.
Problema 3. Na figura ao lado, os
segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são paralelos.
Se 𝐶𝐼̂𝐽 = 10𝛽, 𝐴𝐺̂ 𝐽 = 10𝛼, 𝐶𝐸̂ 𝐽 =
6𝛼 e 𝐽𝐹̂ 𝐺 = 6𝛽, determine o valor
do ângulo 𝐼𝐽̂𝐾.
Problema 4. Duas tangentes são desenhadas de
um ponto A a um círculo de centro O, tocando-o
em B e C. Seja H o ortocentro do triângulo ABC,
sabendo que 𝐵𝐴̂𝐶 = 40°, encontre o valor do
ângulo 𝐻𝐶̂ 𝑂.
Problema 5. Dado um quadrilátero convexo 𝐴𝐵𝐶𝐷, se as quatro bissetrizes de seus
ângulos formam um novo quadrilátero 𝐻𝐼 𝐽𝐸, calcule a soma dos ângulos opostos
𝐻𝐼̂𝐽 + 𝐽𝐸̂ 𝐻.
Problema 6. Na figura ao lado, 𝐴𝐷 e 𝐵𝐷 são lados de um
eneágono regular, 𝐵𝐶𝐷 é um triângulo equilátero e
o ângulo 𝐵𝐸̂ 𝐷 mede 105°.
Determine a medida, em graus, do ângulo 𝐴𝐵̂𝐸.