LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – Álgebra Linear 1) Determine a matriz

LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – Álgebra Linear
5) As matrizes abaixo são bastante especiais.
Rotação de 90◦ no sentido anti-horário:
1) Determine a matriz inversa em cada caso.
2 1
a)
5 3
1 2
b)
0 1
2 −5
c)
−1
3
3 −1
d)
1
1


−1
2 −3
1
0 
e)  2
1 −2
5


0 −1
0
1 −1 
f)  0
0
0
1
◦
R(90 ) =
0
1
−1
0
Inversão de orientação:
E=
−1
0
0
1
a) Determine a matriz Rotação de 90◦ no sentido horário.
b) Determine a matriz inversa da operação de inversão de
orientação e a interprete.
c) Aplique cada uma das matrizes aos pontos abaixo
(vértices de uma letra ”A” estilizada, o quadriculado é
de 1 × 1).
2) Para cada item do primeiro exercı́cio da Lista anterior
(Lista 3) resolva usando a Regra de Cramer (quando
possı́vel).
3) Considere os sistemas lineares abaixo. Para cada um: calcule o determinante. Em seguida resolva cada um deles
d) Aplique cada matriz ao desenho abaixo (algo como uma
usando todos os métodos estudados: a) escalonamento, b)
”seta”).
inversão, c) Regra de Cramer.
2 5
x
1
a)
·
=
1 3
y
1
3 5
x
−2
b)
·
=
2 3
y
1
5 6
x
0
c)
·
=
1 5
y
1
1 −1
x
1
d)
·
=
1
1
y
−1
e) No desenho do item anterior aplique a rotação de 90◦

 
  
no sentido horário (obtida no item a).
2 1 −1
x
1
1 · y = 1 
e)  0 2
6) Considere a matriz de Rotação de 90 graus no sentido
5 2 −3
z
1
horário, R(90◦ ), calcule e interprete:

 

 
1
x
2 1 4
(a) R2 (90◦ ) = R · R
f)  0 2 1  ·  y  =  0 
3 1 2
z
−1
(b) R3 (90◦ )

 
 

0 1 2
x
−1
(c) R4 (90◦ )






1 0 3
y
0
g)
·
=
7) Determine a matriz que realiza a transformação entre os
−1 2 5
z
1
vetores indicados. Para cada caso represente no plano cartesiano o quadrado unitário e o paralelogramo resultante.
4) Represente a ação de cada uma das matrizes
abaixo
sobre
Calcule, ainda, a área do paralelogramo resultante de sua
1
0
os vetores (da base canônica),
e
. Calcule
aplicação no quadrado unitário.
0
1
a área do paralelogramo gerado pela deformação do qua
1
3
0
1
drado unitário.
a)
→
;
→
0
1
1
2
1 2
1
3
0
0
a)
b)
→
;
→
2 6
0
0
1
3
2 2
1
−2
0
2
b)
c)
→
;
→
1 4
0
1
1
−3
2 1
1
0
0
1
c)
→
d)
→
;
1 3
0
1
1
0
1
1
0
2
e)
→
;
→
0
0
1
−1