P1 - Instituto de Física / UFRJ

Aluno:
Assinatura:
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: A
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção
Nota original
Iniciais
Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, legı́vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitutı́da por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituı́da por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F e = qE ,
I
1 q
E=
r̂ ,
4π0 r2
E ·d` = 0 ,
E = −∇V ,
C
E=
E0
,
K
J = nqva ,
1
I
E ·dA =
S
Qint
,
0
1 qq 0
4π0 r
Z
dq
1
V =
4π0 Q r
U=
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
4. Considere as seguintes afirmativas:
1. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
4π0 R1 .
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
2. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a)
0.
(b)
−pE cos α.
(c)
pE cos α.
(d)
−2pE cos α.
(e)
2pE cos α.
2
7. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
(a)
Q = 0; −x̂.
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(c)
Q = 0; x̂.
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
8. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
6. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
(a)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
(b)
0.
(a)
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(c)
k0 qq0 /L.
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(d)
−k0 qq0 /L.
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(e)
2k0 qq0 /L.
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(f)
−2k0 qq0 /L.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
3
9. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
10. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
(a)
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b)
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(c)
(c)
(d)
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(e)
4
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
5
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
4π0 R1 .
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
2. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a)
0.
(b)
−pE cos α.
(c)
pE cos α.
(d)
−2pE cos α.
(e)
2pE cos α.
1
7. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
(a)
Q = 0; −x̂.
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(c)
Q = 0; x̂.
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(a)
Apenas (i);
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(b)
Apenas (ii);
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
8. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
6. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
(a)
(b)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
0.
(a)
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(c)
k0 qq0 /L.
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(d)
−k0 qq0 /L.
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(e)
2k0 qq0 /L.
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(f)
−2k0 qq0 /L.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
2
9. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
10. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
(a)
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b)
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(c)
(c)
(d)
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(e)
3
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equilı́brio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superfı́cie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S2 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2 kdA2 . Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E2 · dA2 =
,
0
S2
E2 (4πr2 ) =
E2 = −
(−Q)
;
0
Q 1
r̂.
4π0 r2
(c) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S3 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3 kdA3 . Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E3 · dA3 =
,
0
S3
4
1
2
3
3
−Q + ρ π(r − b ) ,
E3 (4πr ) =
0
3
onde:
ρ=
+Q
.
− b3 )
4
3
3 π(c
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3 , encontramos:
E3 = −
Q r̂
Q r̂ (r3 − b3 )
.
+
2
4π0 r
4π0 r2 (c3 − b3 )
4
(d) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S4 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4 kdA4 . Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
E4 · dA4 =
S4
Qint
,
0
(−Q + Q)
,
0
E4 (4πr2 ) =
E4 = 0.
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q=
Z
π
λ(θ)Rdθ,
0
Q = λ0 R
Z
π
sen(θ)dθ,
0
Q = 2λ0 R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
.
2R
(b) Temos:
V (z) =
1
4π0
Z π
Z
Q
dq
,
r
1
λ(θ)Rdθ
√
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
1
λ0 sen(θ)Rdθ
√
V (z) =
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
Rλ
√ 0
V (z) =
sen(θ)dθ,
4π0 z 2 + R2 0
V (z) =
V (z) =
Q
1
√
.
4π0 z 2 + R2
5
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
,
∂z
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
z
Q
.
4π0 (z 2 + R2 ) 32
6
Aluno:
Assinatura:
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: B
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção
Nota original
Iniciais
Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, legı́vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitutı́da por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituı́da por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F e = qE ,
I
1 q
E=
r̂ ,
4π0 r2
E ·d` = 0 ,
E = −∇V ,
C
E=
E0
,
K
J = nqva ,
1
I
E ·dA =
S
Qint
,
0
1 qq 0
4π0 r
Z
dq
1
V =
4π0 Q r
U=
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
4π0 R1 .
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
3. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
2. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(a)
Q = 0; −x̂.
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(c)
Q = 0; x̂.
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
4. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(a)
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(e)
Apenas (i) e (iii);
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(g)
Todas elas;
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(h)
Nenhuma delas.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
2
5. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a)
0.
(b)
−pE cos α.
(c)
pE cos α.
(d)
−2pE cos α.
(e)
2pE cos α.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
6. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
(a)
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
Apenas (i) e (iii);
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(c)
(g)
Todas elas;
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(h)
Nenhuma delas.
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
3
9. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
4
(a)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
(b)
0.
(c)
k0 qq0 /L.
(d)
−k0 qq0 /L.
(e)
2k0 qq0 /L.
(f)
−2k0 qq0 /L.
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
5
Gabarito para Versão B
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
4π0 R1 .
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
3. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
2. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(a)
Q = 0; −x̂.
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(c)
Q = 0; x̂.
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
4. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(a)
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(e)
Apenas (i) e (iii);
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(g)
Todas elas;
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(h)
Nenhuma delas.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
1
5. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a)
0.
(b)
−pE cos α.
(c)
pE cos α.
(d)
−2pE cos α.
(e)
2pE cos α.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
6. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b)
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
(a)
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
Apenas (ii);
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
10. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(b)
(c)
(e)
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
Apenas (i);
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(d)
7. Considere as seguintes afirmativas:
(a)
(b)
(c)
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
Apenas (i);
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
9. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(a)
(a)
2
(b)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
0.
(c)
k0 qq0 /L.
(d)
−k0 qq0 /L.
(e)
2k0 qq0 /L.
(f)
−2k0 qq0 /L.
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equilı́brio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superfı́cie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S2 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2 kdA2 . Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E2 · dA2 =
,
0
S2
E2 (4πr2 ) =
E2 = −
(−Q)
;
0
Q 1
r̂.
4π0 r2
(c) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S3 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3 kdA3 . Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E3 · dA3 =
,
0
S3
4
1
2
3
3
−Q + ρ π(r − b ) ,
E3 (4πr ) =
0
3
onde:
ρ=
+Q
.
− b3 )
4
3
3 π(c
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3 , encontramos:
E3 = −
Q r̂
Q r̂ (r3 − b3 )
.
+
2
4π0 r
4π0 r2 (c3 − b3 )
3
(d) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S4 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4 kdA4 . Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
E4 · dA4 =
S4
Qint
,
0
(−Q + Q)
,
0
E4 (4πr2 ) =
E4 = 0.
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q=
Z
π
λ(θ)Rdθ,
0
Q = λ0 R
Z
π
sen(θ)dθ,
0
Q = 2λ0 R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
.
2R
(b) Temos:
V (z) =
1
4π0
Z π
Z
Q
dq
,
r
1
λ(θ)Rdθ
√
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
1
λ0 sen(θ)Rdθ
√
V (z) =
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
Rλ
√ 0
V (z) =
sen(θ)dθ,
4π0 z 2 + R2 0
V (z) =
V (z) =
Q
1
√
.
4π0 z 2 + R2
4
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
,
∂z
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
z
Q
.
4π0 (z 2 + R2 ) 32
5
Aluno:
Assinatura:
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: C
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção
Nota original
Iniciais
Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, legı́vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitutı́da por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituı́da por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F e = qE ,
I
1 q
E=
r̂ ,
4π0 r2
E ·d` = 0 ,
E = −∇V ,
C
E=
E0
,
K
J = nqva ,
1
I
E ·dA =
S
Qint
,
0
1 qq 0
4π0 r
Z
dq
1
V =
4π0 Q r
U=
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
4. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
1. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
(a)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
(b)
0.
(c)
k0 qq0 /L.
(d)
−k0 qq0 /L.
(e)
2k0 qq0 /L.
(f)
−2k0 qq0 /L.
2. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a)
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(c)
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
4π0 R1 .
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(a)
0.
(d)
Apenas (i) e (ii);
(b)
−pE cos α.
(e)
Apenas (i) e (iii);
(c)
pE cos α.
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(d)
−2pE cos α.
(g)
Todas elas;
(e)
2pE cos α.
(h)
Nenhuma delas.
2
8. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
6. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b)
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
(c)
(d)
(e)
(a)
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
9. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(a)
Q = 0; −x̂.
(c)
Apenas (iii);
(b)
(d)
Apenas (i) e (ii);
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(e)
Apenas (i) e (iii);
(c)
Q = 0; x̂.
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(g)
Todas elas;
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(h)
Nenhuma delas.
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
3
10. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
4
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
5
Gabarito para Versão C
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
(a)
(b)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
0.
(c)
k0 qq0 /L.
(d)
−k0 qq0 /L.
(e)
2k0 qq0 /L.
(f)
−2k0 qq0 /L.
4. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
2. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a)
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(c)
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
4π0 R1 .
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(a)
0.
(d)
Apenas (i) e (ii);
(b)
−pE cos α.
(e)
Apenas (i) e (iii);
(c)
pE cos α.
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(d)
−2pE cos α.
(g)
Todas elas;
(e)
2pE cos α.
(h)
Nenhuma delas.
1
6. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
8. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b)
(a)
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
zero.
Q
(c)
k0 2 .
r
Qr
(d)
k0 3 .
R
QR
(e)
k0 3 .
r
9. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(a)
Q = 0; −x̂.
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(c)
Q = 0; x̂.
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
10. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(a)
Apenas (i);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(b)
Apenas (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(c)
Apenas (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(g)
Todas elas;
(e)
Apenas (i) e (iii);
(h)
Nenhuma delas.
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
2
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equilı́brio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superfı́cie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S2 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2 kdA2 . Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E2 · dA2 =
,
0
S2
E2 (4πr2 ) =
E2 = −
(−Q)
;
0
Q 1
r̂.
4π0 r2
(c) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S3 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3 kdA3 . Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E3 · dA3 =
,
0
S3
4
1
2
3
3
−Q + ρ π(r − b ) ,
E3 (4πr ) =
0
3
onde:
ρ=
+Q
.
− b3 )
4
3
3 π(c
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3 , encontramos:
E3 = −
Q r̂
Q r̂ (r3 − b3 )
.
+
2
4π0 r
4π0 r2 (c3 − b3 )
3
(d) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S4 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4 kdA4 . Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
E4 · dA4 =
S4
Qint
,
0
(−Q + Q)
,
0
E4 (4πr2 ) =
E4 = 0.
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q=
Z
π
λ(θ)Rdθ,
0
Q = λ0 R
Z
π
sen(θ)dθ,
0
Q = 2λ0 R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
.
2R
(b) Temos:
V (z) =
1
4π0
Z π
Z
Q
dq
,
r
1
λ(θ)Rdθ
√
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
1
λ0 sen(θ)Rdθ
√
V (z) =
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
Rλ
√ 0
V (z) =
sen(θ)dθ,
4π0 z 2 + R2 0
V (z) =
V (z) =
Q
1
√
.
4π0 z 2 + R2
4
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
,
∂z
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
z
Q
.
4π0 (z 2 + R2 ) 32
5
Aluno:
Assinatura:
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: D
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção
Nota original
Iniciais
Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, legı́vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitutı́da por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constituı́da por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F e = qE ,
I
1 q
E=
r̂ ,
4π0 r2
E ·d` = 0 ,
E = −∇V ,
C
E=
E0
,
K
J = nqva ,
1
I
E ·dA =
S
Qint
,
0
1 qq 0
4π0 r
Z
dq
1
V =
4π0 Q r
U=
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
(a)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
(b)
0.
(c)
k0 qq0 /L.
(d)
−k0 qq0 /L.
(e)
2k0 qq0 /L.
(f)
−2k0 qq0 /L.
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
2. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b)
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
(c)
(d)
(e)
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
5. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
3. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
(a)
Q = 0; −x̂.
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
Q = 0; x̂.
(c)
4π0 R1 .
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
2
6. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
9. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
0.
(b)
−pE cos α.
(c)
pE cos α.
(d)
−2pE cos α.
(e)
2pE cos α.
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
10. Considere as seguintes afirmativas:
7. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a)
(a)
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(e)
Apenas (i) e (iii);
(c)
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(g)
Todas elas;
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(h)
Nenhuma delas.
(a)
3
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
4
Gabarito para Versão D
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com partı́culas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma partı́cula de teste com carga q0 desde o infinito até o centro do dipolo?
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superfı́cie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superfı́cie é zero.
(b)
Não pode ser calculado, pois a trajetória
especı́fica seguida pela partı́cula de teste
não foi informada.
0.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma superfı́cie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superfı́cie é
zero.
(c)
k0 qq0 /L.
(d)
−k0 qq0 /L.
(e)
2k0 qq0 /L.
(iii) Dentro de uma superfı́cie esférica, há uma
partı́cula de carga q, ao passo que fora há
uma partı́cula de carga −q; então, o fluxo
total através da superfı́cie é zero.
(f)
−2k0 qq0 /L.
(a)
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
2. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu interior a uma distância r do centro?
(a)
infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b)
zero.
Q
k0 2 .
r
Qr
k0 3 .
R
QR
k0 3 .
r
(c)
(d)
(e)
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
5. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (orientado no sentido trigonométrico, ou seja, antihorário). Assinale a opção que indica corretamente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu centro.
(a)
Q = 0; −x̂.
3. Qual é a capacitância de um capacitor de placas cilı́ndricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1 ) e altura comum igual a h, sendo
h R2 (ou seja, as placas podem ser consideradas cilindros infinitos)?
(b)
Q = 0; sendo a carga zero, o campo, obviamente, também é 0.
2π0 h/ ln(R1 /R2 ).
(c)
Q = 0; x̂.
(c)
4π0 R1 .
(d)
Q = 2πRλ; ŷ.
(d)
0 R1 R2 /h.
(e)
Q = 2πRλ0 ; −ŷ.
(e)
2π0 h ln(R2 /R1 ).
(f)
Q = 2πRλ0 ; −x̂.
(a)
2π0 h/ ln(R2 /R1 ).
(b)
1
6. Considere um dado capacitor usual de duas placas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
9. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor aproxima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , f g.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C=Q
V .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12 CV 2 .
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(e)
Apenas (i) e (iii);
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(g)
Todas elas;
(h)
Nenhuma delas.
0.
(b)
−pE cos α.
(c)
pE cos α.
(d)
−2pE cos α.
(e)
2pE cos α.
−6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b)
−6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c)
−6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d)
6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e)
6, 0, −3, −15, 0, 3.
10. Considere as seguintes afirmativas:
7. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um vetor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a)
(a)
(i) De dois feixes gerais de partı́culas carregadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que corresponde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o aumento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando partı́culas de carga q1
e q2 , respectivamente. É possı́vel trazer uma terceira partı́cula, com carga q3 , de modo que a energia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a)
Apenas (i);
(b)
Apenas (ii);
Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(c)
Apenas (iii);
(d)
Apenas (i) e (ii);
(b)
Sim, contanto que q3 = q1 q2 /(q1 + q2 ).
(e)
Apenas (i) e (iii);
(c)
(f)
Apenas (ii) e (iii);
(d)
Sim, contanto que q3 = −q1 q2 /(q1 + q2 ).
√
Sim, contanto que q3 = q1 q2 .
(g)
Todas elas;
(e)
Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2 ).
(h)
Nenhuma delas.
(a)
2
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equilı́brio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribuı́da, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equilı́brio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superfı́cie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S2 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2 kdA2 . Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E2 · dA2 =
,
0
S2
E2 (4πr2 ) =
E2 = −
(−Q)
;
0
Q 1
r̂.
4π0 r2
(c) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S3 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3 kdA3 . Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
Qint
E3 · dA3 =
,
0
S3
4
1
2
3
3
−Q + ρ π(r − b ) ,
E3 (4πr ) =
0
3
onde:
ρ=
+Q
.
− b3 )
4
3
3 π(c
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3 , encontramos:
E3 = −
Q r̂
Q r̂ (r3 − b3 )
.
+
2
4π0 r
4π0 r2 (c3 − b3 )
3
(d) Escolhemos uma superfı́cie gaussiana S4 , correspondendo a uma superfı́cie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4 kdA4 . Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4 . Assim, aplicando a lei de Gauss:
I
E4 · dA4 =
S4
Qint
,
0
(−Q + Q)
,
0
E4 (4πr2 ) =
E4 = 0.
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q=
Z
π
λ(θ)Rdθ,
0
Q = λ0 R
Z
π
sen(θ)dθ,
0
Q = 2λ0 R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
.
2R
(b) Temos:
V (z) =
1
4π0
Z π
Z
Q
dq
,
r
1
λ(θ)Rdθ
√
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
1
λ0 sen(θ)Rdθ
√
V (z) =
,
4π0 0
z 2 + R2
Z π
Rλ
√ 0
V (z) =
sen(θ)dθ,
4π0 z 2 + R2 0
V (z) =
V (z) =
Q
1
√
.
4π0 z 2 + R2
4
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
,
∂z
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
z
Q
.
4π0 (z 2 + R2 ) 32
5