Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas

Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Fı́sica
Métodos de Fı́sica Teórica I
Sexta Lista de Exercı́cios
Funções Esféricas
1. Usando a definição dos polinômios de Legendre (vide a lista do Cap. III)
[ℓ/2]
Pℓ (z) =
X
(−1)n
n=0
(2ℓ − 2n)!
z ℓ−2n
− n)!(ℓ − 2n)!
2ℓ n!(ℓ
obtenha Pℓ (z), com ℓ = 0, 1, 2, 3.
2. Determine P3 (z) usando a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre.
3. Usando P0 (z) = 1, P1 (z) = z e a relação de recorrência pura, ache P2 (z) até P5 (z).
4. (a) Escreva a função f (z) = z 2 como uma combinação linear de P0 (z), P1 (z) e P2 (z).
(b) idem para f (z) = z 3 como uma combinação linear de P0 , P1 e P2 e P3 .
5. Usando os resultados do exercı́cio anterior e a relação de ortogonalidade calcule as seguintes
integrais:
Z
1
−1
z 2 P2 (z)dz,
Z
1
Z
z 2 P3 (z)dz,
−1
1
z 3 P1 (z)dz,
−1
6. Determine a série de Fourier-Legendre para as seguintes funções:
(a) f (z) = −3, com −1 < z < 1,
(b) f (z) = z 3 , com −1 < z < 1,
(c) f (z) = z 4 , com −1 < z < 1,
(d) f (z) = |z|, com −1 < z < 1,
(e)
(
0 se −1 < z < 0;
f (z) =
z se 0 < z < 1.
Z
1
z 3 P4 (z)dz,
−1
(1)
(f)
f (z) =
(
0 se −1 < z < 0;
1 se 0 < z < 1.
(2)
7. Uma esfera condutora de raio a é colocada num campo elétrico uniforme E = E0 ẑ. Determine
o potencial eletrostático em todos os pontos do espaço. Obtenha o campo elétrico fora da esfera.
8. Obtenha a solução estacionária para a temperatura de uma esfera de raio 10, supondo que a
superfı́cie do hemisfério superior está à temperatura fixa de 100o C e a superfı́cie do hemisfério
inferior à temperatura fixa de 0o C.
9. Idem se a temperatura da superfı́cie esférica (de raio 1) for dada por cos θ, onde 0 < θ < π.
1
10. Idem para uma casca hemisférica com raio interior 1 e raio exterior 2, supondo que a
temperatura na casca interior seja fixada em 50o C e na casca exterior em 100oC. Suponha,
ainda, que a base da casca hemisférica esteja à temperatura fixa de 0o C.
11. Partindo da definição dos polinômios de Legendre associados, obtenha P3m (z) para m =
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
12. Partindo da definição dos harmônicos esféricos, obtenha Y2m (θ, φ) para m = −2, −1, 0, 1, 2.
13. Resolva o problema exterior para o capacitor esférico de raio a, ou seja, resolva a equação
de Laplace ∇2 Φ(r, θ) = 0 para r > a, com as seguintes condições de contorno de Dirichlet:
Φ(a, θ) = +V , se 0 ≤ θ < π/2; e −V , se π/2 < θ ≥ π. Calcule explicitamente os três primeiros
termos não-nulos da série obtida.
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