gramática da física: hidrodinâmica ou fluidodinâmica

PAGANI
Engenharia Civil - Prof. Dr. Luciano Soares Pedroso
O túnel de vento cria linhas do fluxo de ar, que contornam o carro, e as torna visíveis por meio de sofisticados
recursos ópticos.
A resistência do ar ou da água é o principal limitador da velocidade de qualquer veículo que atravesse
esses fluidos.
Em princípio, se não houvesse a resistência do ar,
qualquer carro, mesmo com motor de baixa potência,
poderia atingir qualquer velocidade — bastaria manter a
sua aceleração constante durante tempo suficiente. Mas
isso não ocorre porque a intensidade da resistência do ar
aumenta com a velocidade do carro. Assim, seja qual for
a potência do motor de um carro, ele sempre vai atingir
uma velocidade-limite quando a força exercida pelo
motor se igualar à intensidade da resistência do ar — é
essencial, portanto, reduzir ao máximo essa resistência. A
vantagem dessa redução não está apenas em aumentar a
velocidade máxima do carro, mas também em reduzir a
força necessária para manter as velocidades habituais e,
assim, diminuir o consumo de combustível.
Essa é a finalidade do túnel de vento, extraordinário
dispositivo tecnológico que permite ver direta ou indiretamente as linhas de fluxo resultantes do movimento
relativo de um carro através do ar. A intensidade da
resistência do ar é calculada multiplicando a velocidade
do ar ao quadrado por uma constante, que depende da
forma do carro: quanto menor a constante, menor a
resistência e melhor a aerodinâmica do carro. Como são
muitos os fatores que intervêm no valor dessa constante,
é quase impossível calculá-la, mesmo com os mais
modernos computadores. Além disso, qualquer mudança no design do carro, até da posição ou da forma de um
espelho retrovisor externo, pode alterar essa constante, o
que obrigaria os engenheiros a refazer o cálculo exaustivamente; daí a vantagem da visualização das linhas de
fluxo. A configuração dessas linhas — forma, continuidade, linearidade, separação e paralelismo — permite
aos engenheiros uma avaliação imediata da intensidade
da resistência do ar para cada velocidade.
A aerodinâmica e o túnel de vento talvez sejam a
face mais moderna do estudo da Hidrodinâmica (veja o
boxe Gramática da Física: Hidrodinâmica ou Fluidodinâmica), mas a sua origem vem desde a pré-história
(veja o boxe História da Hidrodinâmica).
GRAMÁTICA DA FÍSICA:
HIDRODINÂMICA OU
FLUIDODINÂMICA
Assim como para hidrostática, palavra de origem grega que significa água em equilíbrio, mas o
seu estudo se aplica a outros fluidos em equilíbrio,
hidrodinâmica significa água em movimento e o
seu estudo também se destina a todos os fluidos
em movimento. No entanto, ao contrário da
hidrostática, em que essa é a denominação predominante, na hidrodinâmica é cada vez mais nítida a
preferência pelo termo fluidodinâmica.
É bem provável que a razão para essa preferência venha da aerodinâmica, um dos seus objetos de estudo cuja importância tecnológica é cada
vez maior — embora a aerodinâmica possa ser
aplicada também ao movimento de veículos na
água, o estudo dos veículos que se movem no ar é
muito mais relevante.
1 Prof. Luciano Soares Pedroso - 2014
HISTÓRIA DA
HIDRODINÂMICA
Iniciamos este assunto com a apresentação das bases
para a compreensão da primeira e mais importante propriedade dos fluidos: as suas formas de escoamento.
1. Escoamento de um fluido
A complexidade do estudo dos fluidos em movimento e os recursos matemáticos de que dispomos no
nível do ensino médio exigem algumas limitações iniciais: não levar em conta variações de temperatura e
considerar os fluidos incompressíveis, de densidade
constante, são as duas primeiras. Mas a limitação essencial está relacionada às duas formas principais de escoamento de um fluido: laminar ou lamelar e turbulenta.
Veja a imagem a seguir.
www.usfamily.net
Poços de grande profundidade, canais de irrigação, aquedutos e sistemas de distribuição de
água existem há milênios e mostram quanto é antiga a preocupação do ser humano em dominar a
tecnologia da obtenção e distribuição de água.
A formulação de uma ciência da mecânica da
água iniciou-se com os filósofos gregos —
Arquimedes (287-212 a.C.) formulou seu primeiro
conceito básico: o empuxo —, mas só muitos séculos depois ela começou a ser de fato construída. No
fim do século XV, o gênio italiano Leonardo da
Vinci (1452-1519) realizou um extraordinário estudo sobre hidráulica e a ele se atribui a primeira formulação do Princípio da Continuidade. Mas seu
trabalho, difícil de ler (Leonardo escrevia com
caracteres invertidos, para serem lidos vistos pelo
espelho), não chegou a ser conhecido na época e é
pouco conhecido até hoje.
Quase um século depois, em 1586, o engenheiro hidráulico alemão Simon Stevin (1548-1620)
mostrou que o peso exercido por um líquido no
fundo de um vaso depende apenas da sua profundidade. No século XVII, Evangelista Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileu Galilei (1564-1642) e
célebre pela medida da pressão atmosférica com
um tubo de mercúrio, obteve a expressão da velocidade de escoamento de um líquido de um vaso
em função da profundidade do furo de saída, tendo
como fundamentação teórica o estudo dos projéteis elaborado por seu mestre. Ainda naquele século o sábio francês Blaise Pascal (1623-1662) aprofundou os estudos de Torricelli e completou a teoria da Hidrostática.
No século XVIII dois amigos e extraordinários
matemáticos, o holandês Daniel Bernoulli (1700-1782) e o suíço Leonhard Euler (1707-1783), construíram praticamente toda a fundamentação teórica da Hidrodinâmica, apresentada no tratado
Hydrodynamica, publicado em 1738 por Bernoulli.
A autoria da obra fez com que fosse atribuída a
Bernoulli a equação mais importante da Hidrodinâmica, deduzida, na verdade, por Euler.
Desde então a Hidrodinâmica foi se aprimorando, graças principalmente ao trabalho de cientistas franceses, como os físicos barão Augustin
Louis de Cauchy (1789-1857) e Simeon Denis
Poisson (1781-1840) e o médico Jean Louis Poiseuille (1799-1869), interessado na dinâmica da cir-
culação sanguínea. Merecem destaque ainda o italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822), o alemão Gotthilf Ludwig Hagen (1797-1884) e o inglês
George Gabriel Stokes (1819-1903).
As bases da moderna mecânica dos fluidos
foram estabelecidas pelo engenheiro mecânico
alemão Ludwig Prandtl (1875-1953), que, com
alguns dos seus muitos alunos, formulou os princípios básicos dos aerofólios e da propulsão a jato.
fluxo laminar
fluxo turbulento
A foto mostra as linhas de fluxo do ar atravessando o perfil da asa de um avião
— a fumaça injetada em um compartimento fechado, semelhante a um túnel de
vento, torna-as visíveis.
Observe que a maior parte das partículas do ar
descreve trajetórias praticamente invariáveis — as linhas
de fluxo mantêm-se contínuas e separadas; esse é o
escoamento laminar. Na parte traseira da asa essa regularidade deixa de existir — as partículas do fluido descrevem trajetórias irregulares e imprevisíveis; esse é o
escoamento turbulento.
Com frequência, um fluido passa de um tipo de
escoamento para outro e muitas vezes assume uma configuração que não se caracteriza nem como laminar
nem como turbulenta. Veja as fotos a seguir.
2
PETER WIENERROITHER
FLUIDOS IDEAIS
Fluidos incompressíveis têm também densidade constante — acrescida a condição de viscosidade nula (o estudo da viscosidade está no tópico
4), eles são chamados de ideais.
Os gases têm baixa viscosidade, mas alta compressibilidade e, por isso, densidade variável.
Nos líquidos a viscosidade é um pouco maior,
mas a sua compressibilidade é baixíssima (veja a
figura a seguir). Por isso a sua densidade é praticamente constante. Assim, ao considerar um líquido
fluido ideal, estamos mais próximos da realidade, o
que não acontece com os gases.
http://serve.me.nus.edu.sg
De início, a fumaça tem um escoamento
laminar, que se estreita e, depois, se
torna turbulento. Enquanto o escoamento é laminar, as partículas da fumaça
mantêm-se em trajetória ascendente.
Quando passa a turbulento, a fumaça
espalha-se, e suas partículas passam a
descrever trajetórias caóticas — muitas
descem, em vez de continuarem a subir.
100 kg
Uma pequena rotação na fonte que gera
o fluido (a fumaça) ou no obstáculo pelo
qual ele passa pode originar uma série de
vórtices.
O efeito da carga de 100 kg (1 000 N) no abaixamento do êmbolo no cilindro
é quase imperceptível: ela comprime a água em apenas 0,75 mm!
O escoamento turbulento não é passível de estudo,
tal a sua irregularidade e imprevisibilidade. O escoamento em vórtices já dispõe de uma teoria bem estabelecida com aplicações à meteorologia e simulações experimentais controladas, como a rua de vórtices, mostrada na foto a seguir, cuja beleza só é superada pela
complexidade do seu tratamento matemático.
http://easyweb.easynet.co.uk
2. Equação de Continuidade
A trajetória de uma partícula de um fluido em escoamento laminar constitui uma linha de corrente. Essas
linhas nunca se cruzam, por isso um feixe delas forma
um tubo de corrente. Seções normais às linhas do tubo de
corrente são figuras planas. Veja a figura a seguir.
S1
S2
Duas seções normais ao tubo de corrente de áreas S1 e S2.
Vamos supor que todas as partículas do fluido atravessem a seção de área S1 com velocidade de módulo v1
e a seção de área S2 com velocidade de módulo v2. Veja a
figura abaixo.
Rua de vórtices (do inglês, vortex street), nome dado a essa configuração criada
experimentalmente pelo movimento relativo de um fluido através do obstáculo
cilíndrico girante (à esquerda).
v=1
S1
Por essas razões, o estudo da Hidrodinâmica no
nível médio só é possível para fluidos incompressíveis
em escoamento laminar (veja o boxe Fluidos ideais).
3
v=2
S2
Nessas condições, podemos demonstrar que é válida a igualdade:
2 Com base na Equação de Continuidade, um colega seu pensa em fazer a experiência descrita na
figura a seguir. Ele argumenta que basta apertar a
boca da mangueira o suficiente para que isso
ocorra. Você acha que vai dar certo? Justifique.
v1S1 = v2S2 (veja a primeira dedução na página 20)
Essa expressão é conhecida como Equação de
Continuidade.
Se em um tubo de corrente considerarmos seções
normais S1, S2, S3, ..., Sn, atravessadas por velocidades de
módulos v1, v2, v3, ..., vn, respectivamente, podemos
escrever:
Observação: Por enquanto você pode argumentar apenas se baseando no Princípio da Conservação da Energia. Mais adiante terá condições para
dar uma resposta mais detalhada (nesse momento esta questão será reapresentada).
v1S1 = v2S2 = v3S3 = ... = vnSn = constante
esguicho
de água
Por definição, essa constante é a vazão (⌽) desse
fluido, que pode ser expressa na forma:
⌽ = vS
garrafa PET
O produto da unidade de velocidade (m/s) pela de
área (m2) dá a unidade da vazão no SI — m3/s — e torna
claro o seu significado físico e a forma mais frequente
de defini-la:
boca da
mangueirinha
espremida
Vazão (⌽) de um fluido em um tubo de corrente é a razão entre o volume (V) desse fluido que
atravessa uma seção normal do tubo e o correspondente intervalo de tempo (t):
V
⌽=
⌬t
mangueirinha
A água que sai da garrafa sobe e cai novamente dentro da garrafa — o sistema vai funcionar continua e eternamente...
Exercício resolvido
A Equação de Continuidade implica vazão constante. Assim, em um tubo de corrente, onde a área da
seção normal é maior, a velocidade é menor, e vice-versa. Por isso apertar a extremidade de uma mangueira,
diminuindo a área de saída da água, faz a velocidade do
esguicho aumentar.
1 Uma mangueira tem uma extremidade fixada à boca de
uma torneira de 2,0 cm de diâmetro e a outra fixada a uma
ponta de esguicho de 0,40 cm de diâmetro. Sabe-se que essa
torneira enche um balde de 10 L em 40 s com vazão constante. Nessas condições, determine:
a) a vazão da torneira;
b) a velocidade da água na boca da torneira;
c) a velocidade da água na boca do esguicho da mangueira.
Para você pensar
Solução
1 Enquanto o escoamento da água de uma torneira é laminar, observa-se que o filete de água
afina ao cair (veja a foto a seguir). Por quê?
a) Podemos calcular a vazão da torneira (ΦT) pelo tempo
gasto para encher o balde. Sendo V = 10 L e Δt = 40 s:
EDUARDO SANTALIESTRA
ΦT =
V
10
⇒ ΦT =
⇒ ΦT = 0,25 L/s ⇒
⌬t
40
ΦT = 2,5 10–4 m3/s
b) Sendo rT = 1,0 cm = 1,0 10–2 m o raio da boca da torneira, a sua área é:
ST = πr T2 ⇒ ST = 3,1(1,0 10–2)2 ⇒ ST = 3,1 10–4 m2
Da definição de vazão, obtemos o módulo da velocidade vT=
na saída da água da boca da torneira:
ΦT = vTST ⇒ 2,5 10–4 = vT 3,1 10–4 ⇒ vT = 0,81 m/s
4
e Δx2 com velocidade v2= ao nível h2, no mesmo intervalo de tempo Δt. Podemos demonstrar que é válida a
equação:
p1 – p2 = 1 ⴢ d(v22 – v12) + dg(h2 – h1)
2
(veja a segunda dedução na página 20)
c) Sendo rE = 0,20 cm = 2,0 ⴢ 10–3 m o raio da abertura da
ponta do esguicho, a sua área (SE) é:
SE = πrE2 ⇒ SE = 3,1(2,0 ⴢ 10–3)2 ⇒ SE = 1,2 ⴢ 10–5 m2
Da Equação de Continuidade obtemos o módulo da velocidade vE= na saída da água da boca do esguicho:
v1S1 = v2S2 ⇒ vTST = vESE ⇒
0,81 ⴢ 3,1 ⴢ 10–4 = vE ⴢ 1,2 ⴢ 10–5 ⇒ vE = 21 m/s
Pela análise dessa expressão podemos explicitar o
seu significado físico:
• Lembrando a expressão da energia cinética —
Ec = 1 ⴢ mv2 —, podemos dizer que o termo
2
1 ⴢ d(v 2 – v 2) é uma espécie de variação da energia
2
1
2
Observações:
I. Utilizamos para π o valor 3,1 porque trabalhamos com
dois algarismos significativos.
II. A resposta ao item c pode ser obtida diretamente por considerações de proporcionalidade. Assim, da Equação de
Continuidade conclui-se que a velocidade da água é inversamente proporcional à área da seção de vazão. Como a
área de um círculo é diretamente proporcional ao quadrado do raio, a velocidade da água será inversamente proporcional ao quadrado do raio. Logo, se o raio da boca do
esguicho é 5 vezes menor que o raio da boca da torneira, a
velocidade da água que o atravessa será 25 (52) vezes maior.
Então, podemos escrever:
vE = 52vT ⇒ vE = 25 ⴢ 0,81 ⇒ vE = 20 m/s
cinética do fluido em que a sua densidade (d) substitui a massa (m);
• Se o fluido estiver em repouso, v1 = v2 = 0, essa
expressão assume a forma:
p1 – p2 = dg(h2 – h1) ⇒ Δp = dgΔh
que é a Lei de Stevin, da Hidrostática. Se, nessa
expressão, substituirmos a densidade (d) do fluido
pela massa (m), obtemos a expressão da variação da
energia potencial gravitacional entre esses dois níveis.
Assim, podemos dizer que a diferença de pressões
entre dois níveis de um fluido em movimento é responsável pela variação da sua energia cinética, representada pelo termo 1 ⴢ d(v22 – v12), e da sua energia
2
potencial gravitacional, representada pelo termo
dg(h2 – h1).
Os termos da equação acima podem ser rearranjados
assim:
p1 + 1 ⴢ dv12 + dgh1 = p2 + 1 ⴢ dv22 + dgh2 (I)
2
2
ou, como os níveis 1 e 2 podem ser quaisquer, na forma:
p + 1 ⴢ dv2 + dgh = constante (II)
2
As equações I e II são as duas formas em que se
costuma apresentar a Equação de Bernoulli (quando
nos referimos a essa equação, estamos nos referindo a
qualquer uma delas).
A diferença entre os valores obtidos deve-se às aproximações decorrentes do uso de dois algarismos significativos.
Para você resolver
1 O bico do esguicho de uma mangueira de jardim tem 1,0 cm de diâmetro, e com ela é possível encher um regador de 12 L em 1,0 min.
Supondo que o fluxo seja ideal e a vazão constante, determine:
a) a vazão da água;
b) a velocidade da água na boca do esguicho da
mangueira;
c) a velocidade da água na saída da torneira, onde se engata a mangueira, sabendo que o diâmetro dessa torneira é de 2,5 cm.
3. Equação de Bernoulli
Suponha que, em um lugar onde o módulo da aceleração da gravidade é g, um fluido ideal de densidade
d se desloca por uma tubulação com vazão constante Φ,
como mostra a figura a seguir.
S2
⌬x2
Para você pensar
v=2
3 Suponha que um fluido atravesse os tubos da
figura abaixo em condições ideais:
p2
S1
⌬x1
h2
p1
v=1
I
II
h1
h1
Em decorrência da diferença entre as pressões p1 e
p2, o fluido desloca-se Δx1 com velocidade v1= ao nível h1
5
h1 = h2
h2
h2
h1
to da água através do estrangulamento do tubo — se não
houvesse o estrangulamento, as velocidades v1= e v2= seriam
iguais, e essa parcela seria nula; b) a parcela 1,8 104 Pa
possibilita a elevação do fluido — se não houvesse esse
desnível, essa parcela seria nula.
Em I, o fluido sofre um estreitamento, mas não é
elevado. Em II, ele é elevado, mas não sofre estreitamento.
a) Como se expressa a Equação de Bernoulli em
cada caso?
b) Interprete fisicamente cada termo dessa equação em cada situação.
II. Podemos supor que a saída S2 está aberta à pressão atmosférica (p0). Nesse caso, p2 = p0. Sendo p0 = 1,0 105 Pa
(pressão atmosférica normal), a pressão em 1 é:
p1 = p0 + Δp ⇒ p1 = 1,0 105 + 4,9 104 ⇒ p1 = 1,5 105 Pa
4 Muitos físicos fazem questão de lembrar que a
Equação de Bernoulli não traz nada de novo à
física, que se trata apenas de uma aplicação do
Princípio da Conservação da Energia. Como você
justifica essa afirmação?
Não considerando o fato de o fluido não ser ideal e que o
escoamento nem sempre é laminar, a figura a seguir mostra como esse caso pode ocorrer em uma situação real (o
trecho dentro do retângulo tracejado corresponde ao caso
proposto no exercício).
Exercício resolvido
2 Suponha que a tubulação representada na figura a seguir é
atravessada por água com vazão constante. No nível 2, à altura h2 = 1,8 m, a área da seção normal é S2 = 1,2 10–3 m2 e o
módulo da velocidade da água é v2 = 8,0 m/s. Em 1 (h1 = 0), a
área da seção normal é S1 = 6,0 10–3 m2.
S2
h = 3,2 m
h2 = 1,8 m
h1 = 0
v=2
2
p2
S1
p1
Para você resolver
h2
1
v=1
2 A tubulação mostrada na figura a seguir é atravessada por água à vazão constante Φ = 5,0 L/s.
Em 1 (h1 = 0), a área da seção normal do tubo é
S1 = 1,2 10–2 m2; em 2, na altura h2 = 3,0 m, a
boca do tubo, aberta à atmosfera, tem área
S2 = 2,0 10–3 m2.
h1 = 0
Supondo o escoamento ideal, determine:
a) a vazão da água nesse tubo;
b) o módulo (v1) da velocidade da água em 1;
c) a diferença de pressões (Δp = p1 – p2) necessária para manter esse escoamento constante.
Dados: densidade da água: d = 1,0 103 kg/m3; g = 10 m/s2.
S2
v=2
2
p2
S1
h2
1
Solução
a) Sendo v2 = 8,0 m/s, da definição de vazão:
p1
Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ Φ = 8,0 1,2 10–3 ⇒
Φ = 9,6 10–3 m3/s
v=1
h1 = 0
Dadas a pressão atmosférica local, p0 = 1,0 105 Pa,
e a densidade da água, d = 1,0 103 kg/m3, e adotando g = 10 m/s2, determine:
a) o módulo das velocidades v1= e v2= da água em 1
e 2;
b) a pressão p1 da água ao nível do chão.
b) Se o escoamento é ideal, a vazão é constante. Então:
Φ = v1S1 ⇒ 9,6 10–3 = v1 6,0 10–3 ⇒ v1 = 1,6 m/s
c) Da Equação de Bernoulli:
1
d(v 22 – v21) + dg(h2 – h1) ⇒
p1 – p2 =
2
1
Δp = 1,0 103(8,02 – 1,62) + 1,0 103 10(1,8 – 0) ⇒
2
Aplicações da Equação de Bernoulli
Δp = 3,1 104 + 1,8 104 ⇒ Δp = 4,9 104 Pa
Equação de Torricelli
Suponha que um líquido escoe pelo orifício de um tanque a uma profundidade h, como mostra a figura ao lado.
Observações:
I. As duas parcelas antes da soma final mostram as duas interpretações físicas das consequências da diferença de
pressão Δp: a) a parcela 3,1 104 Pa possibilita o movimen6
v0 = 0
h
v=
Determine:
a) os módulos vA, vB e vC da velocidade de saída da água em cada
orifício;
b) a que distância do recipiente o jato de água atinge o nível
da sua base de apoio.
Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.
Se a área S do orifício é muito menor que a área S0
da superfície do tanque, a velocidade da água na saída
do orifício inferior é dada pela expressão:
(veja a terceira dedução na página 20)
v = √2gh
Essa expressão é conhecida como Equação de Torricelli. Note que nela não se considera a forma, a abertura, nem a posição do orifício. Assim, se dois orifícios
estiverem voltados para cima, podemos concluir da Cinemática que, em condições ideais, o repuxo vai atingir
a altura h igual à profundidade do orifício. Veja a figura a seguir.
Solução
a) Nas condições dadas, é válida a Equação de Torricelli
(v = √
2
gh), em que h é a profundidade de cada furo:
• para o furo A, à profundidade hA = 0,050 m:
vA = √
2g
hA ⇒ vA = √
2
10 0,050 ⇒ vA = 1,0 m/s
para
o
furo
B,
à
profundidade
hB = 0,10 m:
•
vB = √
2g
hB ⇒ vB = √
2 10 0,10 ⇒ vB = 1,4 m/s
• para o furo C, à profundidade hC = 0,15 m:
2g
hC ⇒ vC = √
2 10 0,15 ⇒ vC = 1,7 m/s
vC = √
b) Um jato de água é um agregado de gotas que, neste caso, se
comportam como pequeninos projéteis lançados horizontalmente das alturas yA = 0,15 m, yB = 0,10 m e yC = 0,050 m.
Para um referencial em que a origem das alturas está fixada no nível da base de apoio do recipiente (figura a seguir),
temos:
Como essas condições não existem — sempre há
resistência viscosa no líquido dentro do recipiente e na
saída do orifício, além da resistência do ar fora do recipiente —, na prática os esguichos nunca vão atingir o
mesmo nível da superfície.
y (m)
0,20
Para você pensar
5 Agora você pode aprofundar a sua resposta ao
Para você pensar 2 e convencer o seu colega de
que a ideia dele é inviável. O que mais você
pode dizer para reforçar a sua argumentação
anterior?
A
0,15
B
0,10
C
0,050
x (m)
0
0,050 0,10
0,15
0,20
O tempo de queda das gotas que saem de A, obtido da função da posição y (altura) em relação ao tempo t da queda
livre, é:
Exercício resolvido
y = y0 + v0yt + 1 gt2 ⇒ 0 = yA + 0 tA + 1 (–g)t A2 ⇒
2
2
0 = 0,15 – 5,0t A2 ⇒ tA = 0,17 s
Para as gotas que saem de B:
y = y0 + v0yt + 1 gt2 ⇒ 0 = yB + 0 tB + 1 (–g)tB2 ⇒
2
2
0 = 0,10 – 5,0tB2 ⇒ tB = 0,14 s
E para as gotas que saem de C:
y = y0 + v0yt + 1 gt2 ⇒ 0 = yC + 0 tC + 1 (–g)tC2 ⇒
2
2
0 = 0,050 – 5,0tC2 ⇒ tC = 0,10 s
Sendo desprezível a resistência do ar, o movimento de cada
gota na direção do eixo x é retilíneo uniforme. Assim, para
as gotas saídas de A:
x = x0 + vt ⇒ xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,0 0,17 ⇒ xA = 0,17 m
Para as gotas saídas de B:
x = x0 + vt ⇒ xB = x0 + vBtB ⇒ xB = 0 + 1,4 0,14 ⇒ xB = 0,20 m
E para as gotas saídas de C:
x = x0 + vt ⇒ xC = x0 + vCtC ⇒ xC = 0 + 1,7 0,10 ⇒ xC = 0,17 m
3 A figura a seguir representa um recipiente com água vazando por três furos: A, B e C. Os furos são suficientemente
pequenos para que a velocidade de abaixamento do nível da
superfície possa ser considerada desprezível.
5,0 cm
A
5,0 cm
B
5,0 cm
C
5,0 cm
7
Observações:
I. Ao contrário do que se costuma afirmar, embora saia com
velocidade maior, o jato do orifício mais baixo nem sempre
tem o maior alcance, pois o seu tempo de queda é sempre
menor que o dos jatos dos orifícios superiores. Para que
tenha alcance maior, é preciso que ele caia abaixo da base
do recipiente. Veja a figura a seguir.
Se em uma canalização houver um estrangulamento, nele a área da seção normal é menor. Da Equação de
Continuidade (v1S1 = v2S2), obtemos:
S2 ⬍ S1 ⇒ v2 ⬎ v1 (II)
De I e II concluímos que:
S2 ⬍ S1 ⇒ p2 ⬍ p1
Portanto, para um fluido ideal em escoamento
laminar, a pressão é menor onde a área da seção normal
também é menor, e maior onde a área da seção normal
é maior — é o Efeito Venturi, assim chamado em
decorrência dos trabalhos realizados em 1791 pelo físico italiano Giovanni Battista Venturi. Tubos com um ou
mais estrangulamentos, como os das figuras a seguir,
são conhecidos como tubos de Venturi.
8,0 cm
A
8,0 cm
B
8,0 cm
C
www.phys.vt.edu
8,0 cm
Dispositivo de demonstração
do Efeito Venturi: pela mangueirinha amarela injeta-se
um fluxo de ar no tubo horizontal com seção normal variável. Observa-se que o nível
da água (coluna líquido lilás)
sobe mais no tubo vertical
ligado à região do tubo horizontal em que a área de seção
normal é menor, mostrando
que a pressão do ar nessa
região também é menor.
II. Agora pode ser entendida a razão do desnível de 3,2 m e
das dimensões tão grandes da caixa-d’água da figura dada
no fim do exercício resolvido 2 (página 6). A largura da
caixa-d’água é necessária para que a velocidade de abaixamento de sua superfície seja desprezível, e, nessas condições, esse desnível corresponde à velocidade v2 = 8,0 m/s.
v=1
Para você resolver
3 Na figura acima, determine o alcance dos jatos
de água que saem dos orifícios A, B e C sabendo
que o banquinho tem 0,72 m de altura e que a
profundidade correspondente a cada furo em
relação à superfície é: hA = 0,080 m; hB = 0,16 m;
hC = 0,24 m. Despreze a resistência do ar e adote
g = 10 m/s2.
v=2
p2
p1
⌬h
Esquema de um tubo de Venturi utilizado para medir a vazão (Φ) de um fluido
por meio da diferença de pressões em uma tubulação.
Tubo de Venturi
Uma consequência imediata da Equação de Bernoulli é a relação inversa entre velocidade e pressão no
interior de um fluido em escoamento laminar. Se h não
varia, a Equação de Bernoulli assume a forma:
p1 + 1 dv 21 = p2 + 1 dv 22
2
2
Assim, conhecendo as áreas das seções normais S1
e S2 do tubo onde se medem as pressões p1 e p2, podemos demonstrar que:
2(p1 – p
2)
Φ = S1S2
d(S21 – S22)
(veja a quarta dedução na página 21)
e podemos concluir que a velocidade é maior onde a
pressão é menor:
Com essa expressão é possível calcular a vazão em
um tubo de Venturi pela diferença de pressões em duas
v2 ⬎ v1 ⇒ p2 ⬍ p1 (I)
8
b) Para S1 = 2,0 10–2 m2:
regiões das quais se conhece as áreas das seções normais. O uso do tubo em U para fazer a medida dessa diferença, da forma como está representado na figura anterior, só é possível em tubos com gás. Com líquidos,
utilizam-se manômetros, instrumentos de medida direta da pressão que não são afetados pela passagem do
líquido. Podem-se usar manômetros localizados em diferentes setores da tubulação (figura a seguir) ou manômetros para medir a diferença de pressão entre dois pontos nos quais as áreas das seções normais são conhecidas
(foto abaixo).
Φ = vS ⇒ Φ = v1S1 ⇒ 2,8 10–2 = v1 2,0 10–2 ⇒ v1 = 1,4 m/s
Para S2 = 5,00 10–3 m2:
Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ 2,8 10–2 = v2 5,0 10–3 ⇒ v2 = 5,6 m/s
Observação: O tubo de VenA
turi é muito usado como vaB
porizador. Veja a figura ao lado: a velocidade do ar soprado no tubo horizontal torna a
pressão na extremidade superior do tubo vertical menor
do que a pressão atmosférica,
por isso o líquido contido no
recipiente sobe e, atingido pelo fluxo de ar, fragmenta-se em
gotículas.
Daí esse dispositivo ser chamado também de atomizador.
Muitos frascos de perfume, como o mostrado na foto a seguir,
funcionam dessa maneira.
x
EDUARDO SANTALIESTRA
EDUARDO SANTALIESTRA
www.french-home.com
y
Um atomizador básico se compõe apenas de dois tubos em
ângulo reto e assim
pode ser encontrado
em lojas de produtos
para artistas. Veja as
imagens.
Exercício resolvido
4 Suponha que o manômetro do tubo de Venturi mostrado na
foto anterior, instalado em uma canalização de água, meça a
diferença de pressão Δp = 1,5 104 Pa. As áreas das seções normais desse tubo, correspondentes às pressões p1 (ramo
esquerdo do manômetro) e p2 (ramo direito do manômetro),
são, respectivamente, S1 = 2,0 10–2 m2 e S2 = 5,0 10–3 m2.
Sendo dágua = 1,0 103 kg/m3 e adotando g = 10 m/s2, determine:
a) a vazão (Φ) da água;
b) os módulos v1 e v2 da velocidade do fluido ao passar por
S1 e S2.
EDUARDO SANTALIESTRA
Atomizador básico.
Solução
a) Sendo Δp = p1 – p2 = 1,5 104 Pa, da expressão do tubo de
Venturi:
Φ = S1S2 2(p1 – p2) ⇒
d(S21 – S22)
Φ = 2,0 ⋅10−2 ⋅ 5,0 ⋅10−3
2 ⋅1,5 ⋅104
⇒
− (5,0 ⋅10−3 )2 ]
1,0 ⋅103[(2,0 ⋅10−2 )2
A artista imerge o tubo maior do atomizador na tinta e sopra no bocal
do tubo horizontal para aspergi-la na tela. Podemos controlar a quantidade de tinta variando a vazão e a velocidade do ar soprado.
Φ = 1,0 10 2,8 10 ⇒ Φ = 2,8 10 m /s ⇒ Φ = 28 L/s
–4
2
–2
3
9
Observação: De início, convém isolar a diferença
de pressões (p1 – p2) da expressão do tubo de
Venturi e trabalhar com a expressão assim obtida.
EDUARDO SANTALIESTRA
4 Suponha que um tubo de Venturi, semelhante
ao da foto mostrada na página anterior, está instalado em uma canalização de água cuja vazão é
de 20 L/s em fluxo laminar. As áreas correspondentes às pressões p1 e p2 são S1 = 2,5 10–2 m2
e S2 = 1,0 10–2 m2, respectivamente. Determine
a diferença de pressão medida pelo manômetro.
(Dados: densidade da água dágua = 1,0 103 kg/m3;
g = 10 m/s2.)
EDUARDO SANTALIESTRA
Para você resolver
O mel adere à superfície do vidro e a si próprio.
Essas características são explicadas pela existência
de forças de adesão de origem eletromagnética (veja o
boxe Aprofundamento: A natureza elétrica da matéria).
Nos exemplos desta página, essas forças aparecem entre
as moléculas do líquido — óleo e mel — e entre elas e
uma superfície rígida — o mel e o vidro (veja o boxe
Gramática da física: Rígido ou sólido?).
Nesta etapa do curso não há como aprofundar essa
explicação. Podemos dizer que essas forças são as mesmas que originam a tensão superficial e a capilaridade,
já apresentadas no estudo da Hidrostática.
A Equação de Continuidade e a Equação de Bernoulli costumam ser a fundamentação teórica para a
explicação de outros fenômenos, como a sustentação da
asa de um avião ou a flutuação de uma bola em um jato
de ar. No entanto, ultimamente, essa fundamentação
tem sido contestada e substituída por outra relativamente mais recente, que tem se mostrado mais adequada e correta. Para apresentá-la e torná-la fisicamente
compreensível, o estudo da viscosidade é pré-requisito.
4. Viscosidade
As fotos e as ilustrações a seguir mostram algumas
características dos líquidos:
RUBENS CHAVES
APROFUNDAMENTO:
A NATUREZA ELÉTRICA
DA MATÉRIA
Embora as moléculas dos líquidos e dos gases
sejam eletricamente neutras por causa da soma
das cargas de suas partículas, elas podem apresentar uma espécie de “ação elétrica” decorrente da
assimetria na distribuição dessas partículas elétricas nessas moléculas, o que implica + H
uma assimetria na distribuição das
–
O
cargas elétricas. O exemplo mais
–
notável dessa assimetria é a molé- + H
cula de água. Veja a figura ao lado.
Embora eletricamente neutra, a molécula de
água tem regiões positivas e negativas separadas,
o que a torna eletricamente ativa — os físicos
dizem que essa distribuição torna essa molécula
eletricamente polarizada: ela é um dipolo elétrico.
A polarização elétrica faz as gotas de água
grudarem nos vidros das janelas e dos parabrisas
dos carros. Embora a estrutura molecular do mel
seja muito mais complexa, ele também adere às
placas de vidro por causa dessa atração elétrica.
O mel escorre
sem formar gotas.
Óleos diferentes fragmentam-se em gotas de tamanhos diferentes.
10
v=
GRAMÁTICA DA FÍSICA:
RÍGIDO OU SÓLIDO?
F=
S
Preferimos falar em superfície rígida em vez
de sólida porque o vidro, a rigor, não é sólido: alguns o consideram um líquido cujo coeficiente de
viscosidade tende ao infinito; outros, um sólido
amorfo por não ter a estrutura cristalina característica dos sólidos.
y
Suponha que o fluido representado na figura esteja entre duas placas paralelas separadas pela distância y.
Quando a placa superior de área S é puxada para a
direita com a força F=, ela (e a película fluida a ela aderida) adquire a velocidade v = constante (veja o boxe Aprofundamento: A velocidade de um fluido em um tubo).
Nessas condições, define-se o coeficiente de viscosidade ␩ (letra grega “eta”) desse fluido pela expressão:
␩ = Fy
Sv
O fenômeno resultante da adesão elétrica entre as
partículas interiores de um fluido (líquido ou gás) e
entre elas e uma superfície rígida origina a viscosidade.
Como as imagens da abertura deste item ilustram, podemos dizer que essa propriedade torna os fluidos resistentes à fragmentação e ao movimento. A resistência ao
movimento se dá apenas entre partículas do próprio
fluido, embora, em geral, tenha como causa a interação
entre ele e a superfície rígida.
A viscosidade é uma propriedade exclusiva dos
fluidos. Um fluido não pode “raspar” em uma superfície rígida, mas ambos — superfície e fluido — se interpenetram e formam uma película solidária, uma espécie de revestimento temporário (pode ser também de
longo prazo; nesse caso, o fluido torna-se uma tinta).
Por isso não faz sentido considerar o atrito entre uma
superfície rígida e um líquido ou gás. É impossível obter
coeficientes de atrito entre o vidro e a água ou entre o
vidro e o ar, por exemplo. Mas é possível definir um coeficiente de viscosidade relacionado exclusivamente ao
fluido (veja o boxe Gramática da física: Viscosidade ou
coeficiente de viscosidade).
A unidade do coeficiente de viscosidade no SI é
Pa s (veja o boxe Unidade de viscosidade). A tabela a
seguir apresenta os valores do coeficiente de viscosidade para alguns fluidos.
GRAMÁTICA DA FÍSICA:
VISCOSIDADE OU
COEFICIENTE DE
VISCOSIDADE
É muito raro encontrar tabelas com o título
“Coeficientes de viscosidade de fluidos”. Em geral,
elas se intitulam apenas “Viscosidade de fluidos”, o
que, a rigor, não é adequado.
Viscosidade é característica física, não uma
grandeza ou constante que possa ser medida e
tabelada. Por isso, assim como no estudo do atrito
distinguimos o fenômeno (atrito) dos seus coeficientes, aqui também vamos nos referir sempre a
coeficiente de viscosidade, em vez de viscosidade.
Líquidos
Coeficiente de
viscosidade
(Pa s)*
Gases
Coeficiente de
viscosidade
(Pa s)*
acetona
água
0,00032
ar
0,000018
0,0010
argônio
0,000021
álcool etílico
0,0012
dióxido de
carbono
0,00015
gasolina
0,00060
hidrogênio
0,0000089
glicerina anidra
1,4
hélio
0,000019
mercúrio
0,0016
metano
0,000020
óleo fino
0,11
monóxido
de carbono
0,00017
óleo grosso
0,66
nitrogênio
0,000018
plasma sanguíneo
0,0015
0,000020
sangue
0,0040
oxigênio
vapor de
água
0,000013
* Os coeficientes foram medidos a 20 °C, exceto o do sangue e o do plasma sanguíneo, medidos a 37 °C, e o do vapor de água, medido a 100 °C.
APROFUNDAMENTO:
A VELOCIDADE DE UM
FLUIDO EM UM TUBO
Se os fluidos aderem às superfícies rígidas,
junto às suas paredes todos os fluidos têm velocidade nula. Assim, conclui-se que a velocidade dos
Veja a figura a seguir.
11
fluidos tem de variar no interior dos tubos, o que,
em escoamentos laminares, ocorre como a figura
abaixo mostra.
velocidade
nula
Uma antiga reivindicação francesa pretende
dar ao Pa s o nome poiseuille, com o símbolo Pl,
para homenagear Jean Poiseuille. No entanto, até
hoje ela não foi acolhida.
Atrito e viscosidade são fenômenos análogos e de
mesma origem, mas com características diferentes, que
podem ser delimitadas com clareza pela análise de características que diferenciam seus coeficientes.
O coeficiente de atrito é um número puro (adimensional), depende do par de materiais em contato,
não caracteriza nenhuma substância e varia pouco com
a temperatura. O coeficiente de viscosidade tem unidade, caracteriza determinado fluido e varia drasticamente com a temperatura. Veja o gráfico a seguir.
velocidade
máxima
Variação da velocidade no interior de um fluido laminar em um
tubo: a curva em azul é o lugar geométrico da extremidade dos
vetores velocidade.
Por isso, quando nos referimos à velocidade
v = de um fluido no interior de um tubo, estamos
considerando como tal o vetor cujo módulo é a
média dos módulos das velocidades no interior
do fluido.
O módulo v da velocidade em um ponto P de
um fluido em escoamento laminar pode ser obtido
aproximadamente pela expressão a seguir, em que
r é o raio do tubo, d a distância do ponto ao eixo
desse tubo e C uma constante que depende do
tubo:
2
␩ ( 10–3Pa s)
1,0
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
2
v = C(r – d )
0,30
Essa expressão é conhecida como Lei de
Poiseuille, pois foi estabelecida por Jean Poiseuille.
0,20
0,10
t (°C)
0
UNIDADE DE VISCOSIDADE
40
60
80
100
Gráfico coeficiente de viscosidade da água versus temperatura.
A unidade de viscosidade do SI pode ser obtida da sua definição. Se o módulo da força (F) é
medido em newtons (N), a distância (y) em metros
(m), a área (S) em metros quadrados (m2), a velocidade (v) em metros por segundo (m/s) e a pressão
N
em pascal [Pa = m2 ], temos:
η=
20
Se um fluido é arrastado por uma lâmina rígida,
como na figura a seguir, podemos concluir que a lâmina e a película fluida nela aderida exercem sobre o restante do fluido uma força resultante F=. Pelo Princípio
da Ação e Reação aparece na placa uma força de resistência viscosa –F= aplicada pelo restante do fluido à placa
em movimento.
[N m]
Fy
⇒η= 2 m ⇒
5m 6
Sv
s
v=
Ns
η = 5 m2 6 ⇒ η = [Pa s]
–F =
Há uma antiga unidade prática ainda em uso,
denominada poise, cujos símbolos podem ser P, Ps
ou Po. A relação entre ela e Pa s é:
F=
Da definição do coeficiente de viscosidade podemos expressar o módulo de F= assim:
␩S
F= y v
1 poise = 0,1 Pa s
12
␩S
Sendo o fator y constante, essa expressão pode
Para você pensar
6 No estudo do atrito definimos dois coeficientes:
um para o atrito estático; outro para o atrito
dinâmico. Por que isso não foi feito para o coeficiente de viscosidade? (Observação: Note que a
expressão do coeficiente de viscosidade depende da velocidade da placa em relação ao fluido.)
ser generalizada na forma:
F = cv
em que c é uma constante que depende do fluido e da
geometria do corpo que arrasta ou atravessa esse fluido.
Essa expressão só é válida se o fluido não sofrer turbulência, o que implica velocidades de valores pequenos,
determinados experimentalmente: para esferas em movimento, esse valor é de até 2 m/s no ar e 0,03 m/s na água.
Se uma esfera de raio r atravessa um fluido de viscosidade ␩, a constante c vale 6π␩r e a expressão da
força viscosa fica assim:
Exercícios resolvidos
5 A figura a seguir representa uma placa metálica plana de
área 0,020 m2, que desliza sobre um plano horizontal rígido,
apoiada em uma película de óleo de espessura contínua e uniforme de 0,25 mm, com velocidade constante de 0,010 m/s. O
bloco B, de massa mB = 40 g, traciona a placa por meio de um
fio inextensível. O atrito na roldana e a massa do fio e a da roldana são desprezíveis. Determine a viscosidade do óleo. Adote
g = 10 m/s2.
F = 6π␩rv
Essa expressão é conhecida como Lei de Stokes,
em homenagem a George Stokes, que a formulou pela
primeira vez.
Embora todas as gotas em movimento retilíneo uniforme tenham forma praticamente esférica (veja o boxe
Discussão: A forma de uma gota), só as gotas de dimensões microscópicas têm velocidades pequenas, e o estudo
do seu movimento pode ser feito com a Lei de Stokes. Em
líquidos de alta viscosidade, como a glicerina ou óleos
automotivos, ela pode ser aplicada a esferas de dimensões
um pouco maiores (veja o exercício resolvido 7).
B
DISCUSSÃO: A FORMA
DE UMA GOTA
Solução
Como a velocidade é constante, a aceleração é nula, e o módulo da tração T= exercida pelo fio sobre a placa é igual ao módulo PB do peso do bloco B, pendurado. Então, sendo mB = 0,040 kg:
T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,040 10 ⇒ T = 0,40 N
Esse é também o módulo F da força viscosa que atua sobre a
placa. Veja a figura a seguir.
A forma como uma gota de água
costuma ser desenhada, sobretudo
informalmente (figura ao lado), só é correta quando ela está prestes a desprender-se do restante do líquido — o alongamento vertical e o bico superior, Representação
característicos nessas figuras, desapare- usual de uma
gota.
cem logo em seguida.
Assim que adquire velocidade constante, o
que ocorre muito rapidamente, a gota torna-se
praticamente esférica, pois a resultante das forças
que atuam sobre ela é nula (sequência de fotos
abaixo). E, como comentamos no estudo da Hidrostática, se a resultante das forças externas sobre
um líquido é nula, ele assume a forma esférica.
F=
T=
PB=
DEUTSCHE PHYSIKALISCHE
GESELLSCHAFT/INSTITUTE
OF PHYSICS
A espessura da película de óleo equivale à distância y entre as placas (reveja a figura da página 11): y = 0,25 mm = 2,5 10–4 m. Da
definição de viscosidade:
0,40 2,5 10–4
Fy
η=
⇒ η = 0,020 0,010 ⇒ η = 0,50 Pa s
Sv
Observações:
I. Em uma situação real, no início a placa acelera até atingir a
velocidade em que a força viscosa e a tração no fio se equilibram. Nesse início, a massa da placa deve ser considerada,
o que não foi necessário aqui, pois já consideramos o con-
Foto múltipla da formação de uma gota da mistura água e glicerina. Logo
depois de desprender-se, a gota torna-se praticamente esférica.
13
4
πr3, r = 1,0 mm = 1,0 10–3 m, uti3
lizando π = 3,1, temos:
4
Vesfera =
3,1(1,0 10–3)3 ⇒ Vesfera = 4,1 10–9 m3
3
Substituindo o valor de Vesfera em IV, obtemos o módulo F
da força de resistência viscosa:
F = (7 800 – 800)4,1 10–9 10 ⇒ F = 2,9 10–4 N (V)
Para determinar o coeficiente de viscosidade do óleo aplicando a Lei de Stokes, precisamos saber qual é a velocidade de queda da esfera. Como ela é constante, Δx = 30 cm
= 0,30 m e Δt = 10 s:
Δx
0,30
v=
⇒v=
⇒ v = 0,030 m/s
Δt
10
Então:
F = 6πηrv ⇒ 2,9 10–4 = 6 3,1η 1,0 10–3 0,030 ⇒
η = 0,52 Pa s
Observações:
I. Este exercício descreve uma atividade experimental relativamente simples para determinar a viscosidade de um
líquido. A validade dessa determinação pode ser verificada comparando o resultado obtido com valores tabelados
(veja a tabela da página 11). Para analisar corretamente os
resultados, três fatores devem ser considerados: a) os estreitos limites de validade da Lei de Stokes; por isso devem
ser utilizados líquidos de alto coeficiente de viscosidade
para que a queda da esfera ocorra a baixa velocidade (não
encontramos esses dados em relação à velocidade-limite
no óleo; estamos admitindo que o valor obtido aqui é viável por analogia ao da água); b) a largura do tubo deve ser
bem maior que o diâmetro da esfera; se o tubo for estreito, as suas paredes vão interferir na resistência viscosa do
líquido, o que pode causar turbilhonamento e invalidar os
resultados; c) a temperatura do líquido deve ser anotada,
pois, como mostra o gráfico da página 12, o coeficiente de
viscosidade de um líquido varia significativamente com a
temperatura.
junto em movimento retilíneo uniforme. Não levamos em
conta o trecho inicial porque nele a aceleração é variável e
no nível deste estudo não temos recursos de cálculo para
examinar essa situação. Além disso, a definição de viscosidade e a expressão da força viscosa só podem ser aplicadas
em movimentos retilíneos com velocidade constante.
Sendo Vesfera =
II. Note que não nos referimos ao atrito entre a placa e o líquido, pois não existe atrito entre uma superfície rígida e um
fluido. A tração é exercida na placa rígida, mas a força de
reação viscosa do fluido é exercida na placa por intermédio da película de fluido que a reveste e com ela se move
solidariamente.
III. Essa é uma situação experimental muito difícil de realizar,
principalmente pela impossibilidade de manter uniforme
a espessura da película de óleo. Por isso, apesar de seu formato, este é um exercício teórico. Uma situação experimental de fácil realização é apresentada no exercício
resolvido a seguir.
6 Uma esfera maciça de aço de 1,0 mm de raio cai verticalmente com velocidade constante dentro de um tubo largo com óleo.
Verifica-se que ela desce 30 cm em 10 s. Dadas a densidade do
aço, daço = 7 800 kg/m3, e a do óleo, dóleo = 800 kg/m3, determine o coeficiente de viscosidade do óleo. Admita g = 10 m/s2.
Solução
Na figura a seguir estão representadas as forças que atuam
sobre a esfera: o peso P=, o empuxo E= exercido pelo óleo sobre
a esfera e a força F= de resistência viscosa do óleo:
E=
F=
II. Quando a velocidade é nula, a força de resistência viscosa
também é nula; por isso o movimento de queda é acelerado no início e, à medida que a velocidade aumenta, a força
de resistência viscosa também aumenta, até que a resultante das forças sobre a esfera se anule e o movimento passe a
ser retilíneo uniforme — essa é a velocidade-limite. Por essa
razão, as medidas das distâncias e dos tempos correspondentes para a obtenção da velocidade da esfera só devem
ser feitas depois que ela já caiu por alguns segundos.
P=
Como a velocidade é constante, da Segunda Lei de Newton
em módulo, podemos escrever:
F + E = P ⇒ F = P – E (I)
m
Da definição de densidade [d = V ], m = dV. Sendo P = mg,
o peso da esfera de aço pode ser expresso por:
P = daçoVesfera g (II)
Da expressão do empuxo (E = dfluidoVfluido deslocadog), da
Hidrostática, podemos escrever:
E = dóleoVesfera g (III)
Substituindo III e II em I:
F = daçoVesferag – dóleoVesferag ⇒ F = (daço – dóleo)Vesferag (IV)
III. Assim como se pode determinar a viscosidade de um fluido conhecendo a velocidade-limite do corpo que o atravessa, é possível determinar a velocidade-limite de um corpo
movendo-se através de um fluido conhecendo o coeficiente de viscosidade desse fluido. Foi a partir daí que o físico
experimental norte-americano Robert Millikan (1868-1953) pôde, em 1909, determinar a carga elétrica elementar e ganhar o prêmio Nobel de Física de 1923. O exercício
resolvido a seguir mostra uma etapa dessa experiência.
14
7 Uma gota microscópica de óleo, de raio rgota = 4,0 μm, é abandonada no interior de uma câmara onde o ar está em repouso.
Sabendo que esse óleo tem densidade dóleo = 800 kg/m3 e que o
coeficiente de viscosidade do ar é ηar = 1,8 10–5 Pa s, determine a velocidade-limite atingida por essa gota. Despreze o
empuxo do ar e admita g = 10 m/s2.
Um orifício de entrada para a câmara seleciona as gotas de
raio compatível com os limites da Lei de Stokes. Eletrizadas por uma fonte externa ou na travessia do orifício, as
gotas são observadas por meio da ocular de um microscópio. Escolhe-se uma gota de cada vez para análise. Por
recursos teóricos relativamente simples, mas ainda não
completamente estudados, determina-se a carga adquirida por essa gota. A experiência é repetida dezenas ou centenas de vezes para outras tantas gotas. Obtêm-se, então,
dezenas ou centenas de valores da carga elétrica, mas
todos os valores obtidos são múltiplos de um mesmo valor. Millikan concluiu que esse é o valor da carga elétrica
elementar — a carga do elétron —, menor carga elétrica
existente na natureza.
Solução
F=
Se o ar está em repouso e o empuxo por ele exercido sobre a gota é desprezível, podemos afirmar que
sobre ela atuam duas forças: o seu peso P= e a força
de resistência viscosa F= exercida pelo ar.
Quando a velocidade-limite é atingida, essas duas
forças se equilibram, e a gota passa a cair com movimento retilíneo uniforme. Então, da Segunda Lei
de Newton em módulo, podemos escrever:
P=
P – F = 0 ⇒ F = P (I)
Se a gota é esférica e não há turbulência, podemos aplicar a Lei
de Stokes:
F = 6πηarrgotav (II)
De I e II:
Para você resolver
5 A placa metálica plana representada na figura a
seguir tem área de 0,040 m2 e desliza sobre um
plano horizontal rígido apoiada em uma película de óleo de viscosidade η = 0,75 Pa s. Supõe-se que essa película seja contínua e uniforme e
tenha espessura y = 0,30 mm. O fio, inextensível
e de massa desprezível, é tracionado pelo bloco
B, de massa 60 g, e o atrito na roldana e a sua
massa são desprezíveis. Observa-se que o sistema, ao ser posto em movimento, atinge rapidamente uma velocidade-limite. Qual é essa velocidade? (Observação: Ao atingir a velocidade-limite, o sistema passa a se mover com velocidade constante.) Adote g = 10 m/s2.
P = 6πηarrgotav ⇒ mgotag = 6πηarrgotav (III)
m
Da definição de densidade [d = V ] e da expressão do
4
volume da esfera [V =
πr3], a massa da gota pode ser ex3
pressa na forma:
4
πr3gota (IV)
mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo 3
Substituindo IV em III:
4
4
dóleo πr3gota g = 6πηarrgotav ⇒ dóleo r2gota g = 6ηarv
3
3
Sendo rgota = 4,0 μm = 4,0 10–6 m e substituindo os demais
dados na expressão acima:
4
800 (4,0 10–6)210 = 6 1,8 10–5v ⇒ v = 1,5 10–2 m/s
3
B
Observações:
I. O valor obtido está dentro do limite para o movimento de
uma esfera sem turbulência no ar: v = 2 m/s. Se o resultado
ultrapassa esse valor, há turbulência e não podemos aplicar
a Lei de Stokes. Seria o caso de uma gota de óleo de 1,0 mm
de raio; obteríamos v = 100 m/s, valor que extrapola em
muito o limite de validade da Lei de Stokes para o ar.
6 Uma esfera maciça de alumínio, de 2,0 mm de
raio, cai verticalmente em um tubo com glicerina. Depois de atingir velocidade constante, verifica-se que ela desce 18 cm em 20 s. Dadas a
densidade do alumínio, dAl = 2 700 kg/m3, e a da
glicerina, dglicerina = 1 300 kg/m3, e admitindo
g = 10 m/s2, determine:
a) a força de resistência viscosa exercida pela
glicerina;
b) o coeficiente de viscosidade da glicerina.
II. Na experiência de Millikan borrifa-se óleo com um vaporizador em uma câmara limitada por duas placas eletrizadas e onde o ar está em repouso. Veja a figura a seguir.
borrifo de pequenas
gotas de óleo
(+)
orifício
raios X para
produzir carga
na gota de óleo
7 Sabendo que a velocidade-limite para a aplicação
da Lei de Stokes no ar é 2,0 m/s, qual deve ser o
valor limite do raio de uma gota de óleo para que
ela possa cair sem turbulência no ar em repouso?
(Dados: dóleo = 800 kg/m3; ηar = 1,8 10–5 Pa s;
g = 10 m/s2; considere o empuxo do ar desprezível.)
placas
eletrizadas
ocular
(–)
gota de óleo
carregada
sob análise
15
A natureza do escoamento determina a velocidade-limite de um corpo atravessando um fluido. Se o escoamento é laminar, a velocidade-limite do corpo é
maior, condição do estudo feito até aqui. Quando o escoamento é turbulento, essa velocidade se reduz, e a
teoria aqui apresentada deixa de ter validade. Veja a
figura a seguir:
toda sua parede lateral —, a sua importância só foi explicitada em 1932 pelo engenheiro aeronáutico romeno
Henri-Marie Coanda (1885-1972). Desde então, esse
fenômeno passou a denominar-se Efeito Coanda e na última década do século XX adquiriu maior importância
quando passou a “substituir” a Equação de Bernoulli na
maior parte das explicações de fenômenos de sustentação
de corpos em movimento através de fluidos, provocando
uma pequena revolução no estudo da aerodinâmica.
5. Efeito Coanda
Veja as fotos a seguir:
EDUARDO SANTALIESTRA
EDUARDO SANTALIESTRA
v=1
v=2
Para o mesmo chute (impulso inicial), a velocidade v 1= da bola de cima será sempre maior que a velocidade v 2= da segunda bola, pois o escoamento é laminar na
primeira e turbulento na segunda.
Ao encostar a face convexa da colher no filete de
água, observa-se que ele adere à colher e tem o seu
curso desviado, e a colher é puxada para ele.
Esse fenômeno simples descreve o Efeito Coanda,
cuja causa é a mesma da viscosidade: a interação eletromagnética entre as moléculas do fluido (a água) e os
átomos ou as moléculas da superfície rígida (o material
de que é feita a colher). Assim, podemos dizer que a superfície da colher atrai a água do filete e faz com que ele
acompanhe a sua curvatura, e, pelo Princípio da Ação e
Reação, a água atrai a colher, que avança para o interior
do filete. Veja a figura a seguir.
www.sfondideldesktop.com
O mesmo corpo na mesma travessia pode provocar
um escoamento laminar e turbulento (veja a foto a seguir).
escoamento
turbulento
escoamento
laminar
Na região frontal do submarino, o escoamento é laminar. Logo
atrás, torna-se turbulento.
Como ocorre a adesão do fluido à superfície rígida de um corpo quando eles (fluido e corpo) se atravessam é muito complexo e pode ter consequências extraordinárias.
Embora a adesão dos fluidos aos corpos rígidos esteja muito presente em nossa vida cotidiana — a água
que transborda de um copo não cai sem antes percorrer
F= (ação da
água sobre
a colher)
16
–F=
(reação da colher
sobre a água)
EDUARDO SANTALIESTRA
EDUARDO SANTALIESTRA
Um corpo só pode realizar uma trajetória curva
se estiver sob a ação de uma força resultante centrípeta, o que nos permite aprofundar um pouco mais esta
explicação.
Considere um pequeno cubo imaginário de água
do filete movendo-se em trajetória curva junto da superfície convexa da colher. Veja a figura abaixo.
superfície
da colher
F=cp
O
=
–Fcp
filete
de água
Uma tira de papel é dobrada e modelada
como o perfil da asa de um avião. O sopro por
cima faz com que a asa suba.
O cubo descreve essa trajetória curva porque sobre
ele atua a força resultante centrípeta, F=cp, de origem eletromagnética. Em consequência, aparece na colher a
força de reação –F=cp, que empurra a colher para o filete
de água.
Uma situação análoga é ilustrada na foto a seguir:
enquanto gira a esfera, a arremessadora exerce sobre ela
a força de tração centrípeta T= através da corrente. Da
mesma forma, a esfera exerce sobre a atleta a força –T=
— a atleta só não se desloca se os seus pés estiverem
bem presos ao chão, por atrito.
KAZUHIRO NOGI/AFP/GETTY IMAGES
Para compreender o que ocorre é preciso perceber
que, em ambos os casos, o papel só se eleva quando o
fluxo de ar atinge a sua superfície, ou seja, o papel é elevado pela ação direta e viscosa do ar sobre a sua superfície. Essa força resultante para cima atua também no
perfil curvo da asa do avião, da mesma forma que a
água atua sobre a superfície da colher na descrição anterior. Veja as figuras a seguir.
fluxo
de ar
tira de
papel
O Efeito Coanda vale para qualquer fluido e, no
caso do ar, permite entender a origem de uma das forças responsáveis pela sustentação da asa do avião. Veja
as fotos a seguir.
Como o fluxo de ar não atinge a tira de papel, nada acontece.
EDUARDO SANTALIESTRA
fluxo
de ar
tira de
papel
Ao atingir o ponto mais alto da curvatura do papel, o fluxo de
ar arrasta a tira para cima, como prevê o Efeito Coanda.
A moça faz a tira de papel subir soprando acima dela, horizontalmente.
17
Mas há ainda um efeito adicional. Suponha que o
fluxo de ar acompanhe a tira de papel, que, em seguida,
é forçada a curvar-se e a adquirir o formato aproximado da asa de um avião. Veja as figuras a seguir.
fluxo
de ar
tira de
papel
forças viscosas
atuando sobre
partículas de ar
tira de
papel
Na primeira figura, a região sombreada representa o espaço que essa curvatura
abre para o fluxo de ar. Se esse espaço não fosse ocupado pelo fluxo de ar, essa
região ficaria vazia; haveria vácuo nela. Mas isso não ocorre. A adesão viscosa do
ar à superfície do papel faz com que as partículas de ar sejam puxadas para essa
região (segunda figura) — elas são aceleradas no sentido da superfície encurvada por ação da força viscosa que aparece no ar nessa região.
Assim, ao atravessar uma superfície curva, o fluxo
de ar tende a acompanhá-la e sofre uma diminuição de
pressão; com isso, sua velocidade aumenta (reveja a foto
da página 2: ela mostra como o fluxo de ar para essa região de baixa pressão pode até tornar-se turbulento).
Mas não é o aumento da velocidade do fluxo que provoca a redução da pressão; é esta que provoca aquele.
Por essa razão, dependendo do perfil inferior da asa
de um avião, a velocidade do ar em cima pode ser maior
que embaixo. Nesse caso, essa diferença origina uma força
adicional resultante da diferença de pressões e de velocidades, que pode ser calculada pela Equação de Bernoulli.
Veja a figura a seguir: sobre a asa atuam as forças F=C, devida à ação viscosa do ar (Efeito Coanda), e F=B, devida à
diferença de pressões entre o ar em movimento na parte
superior da tira e o ar praticamente em repouso na parte
inferior (Equação de Bernoulli). É difícil saber qual a contribuição de cada uma dessas forças, mas não há dúvida
de que a origem primeira de ambas é o Efeito Coanda.
F =C
F B=
Essa é uma explicação relativamente nova desse fenômeno e vem sendo mais bem aceita do que a antiga
baseada nas equações de Continuidade e de Bernoulli
(veja o boxe Discussão: A nova explicação do efeito da
asa de um avião).
DISCUSSÃO: A NOVA
EXPLICAÇÃO DO EFEITO
DA ASA DE UM AVIÃO
A história da ciência apresenta momentos marcantes em que a interpretação de alguns fenômenos se modifica em razão da mudança de uma fundamentação teórica — as hipóteses para explicar a
natureza da luz são um exemplo dessa mudança.
Mas o que se observa agora é diferente. Não
se trata de revisão teórica; tampouco as equações
de Continuidade e de Bernoulli perderam a validade. Elas continuam aceitas e corretas. O que
mudou foi a percepção de que elas não podem ser
aplicadas à explicação da sustentação da asa do
avião nem à de alguns experimentos criados até
explicitamente para ilustrá-las.
É difícil saber por que um equívoco como esse
aparece e sobrevive durante tanto tempo. Uma
explicação óbvia é a dificuldade inerente à interpretação física dos fenômenos da natureza ou
mesmo das próprias criações humanas — nada,
nenhuma explicação, é trivial.
Uma das ideias hoje comprovadamente errada,
mas ainda apresentada como certa em muitas enciclopédias, sites e textos didáticos, é que, como
consequência da Equação de Continuidade, as partículas do ar levam o mesmo tempo para percorrer
a parte inferior e a superior da asa de um avião. Por
isso, se o perfil curvo superior da asa é maior que o
inferior, o ar passa em cima da asa com velocidade
maior do que embaixo. Veja a figura a seguir.
maior velocidade
menor pressão
força resultante
menor velocidade
maior pressão
Por causa dessa diferença de velocidades, de
acordo com a Equação de Bernoulli, aparece uma
diferença de pressões, que resulta na força de sustentação do avião.
Essa explicação é contestada por várias razões. As principais são:
a) Nem todas as asas têm esse perfil. Muitas são
planas ou têm um perfil perfeitamente simétrico, o que invalida a hipótese da “necessidade”
de o ar ter velocidade maior em cima.
b) Os aviões de acrobacia voam de cabeça para
baixo, o que seria impossível se essa explicação
fosse verdadeira.
1 8 Prof. Luciano Soares Pedroso
Veja as imagens abaixo.
A
B
C
ALAN RODRIGO MARRETTO
c) Quanto maior o percurso do ar em cima da asa
em relação ao percurso de baixo, mais eficiente
ela seria, o que é comprovadamente falso.
d) As partículas de ar que passam por cima da asa
não têm nenhum vínculo com as partículas de
baixo, ou seja, elas não têm como “saber”se estão
ou não acompanhando as de baixo.
e) Simulações feitas em computador ou em túneis
de vento mostram que as partículas de cima têm
velocidade maior que a das suas hipotéticas parceiras de baixo (veja a figura a seguir).
F =C
D
F’C=
Enquanto o ar não atravessa a asa, os blocos de linhas de fluxo A e B têm a mesma
velocidade, mas, por causa do Efeito Coanda, a passagem pela asa faz com que os
blocos C e D se adiantem. As partículas de ar de cima não acompanham as partículas de ar de baixo, como a antiga explicação da sustentação da asa afirmava.
Na primeira, um sopro dirigido frontalmente para a
garrafa apaga a vela colocada logo atrás. Essa experiência
simples mostra que o ar também adere à superfície curva
da garrafa e a acompanha, como a água, ou seja, ela comprova que o Efeito Coanda também ocorre com o ar.
A foto mostra uma experiência muito conhecida.
Uma bolinha de isopor flutua presa a um jato de ar. A
terceira imagem ilustra a nova explicação para essa experiência baseada no Efeito Coanda: a adesão do ar à
curvatura da bolinha faz com que ela se mantenha presa
ao jato de ar, como a colher se prende ao filete de água.
Note que há duas forças resultantes decorrentes desse
efeito — F=C e F=C’ —, mas a de maior intensidade atua no
sentido do fluxo de ar mais curvo e mais intenso; por isso
a bolinha sempre é puxada para o meio do fluxo de ar. A
sustentação da bolinha continua sendo explicada como
antes: ela se deve à ação direta do ar sobre a bolinha.
Esta última observação valida o uso da Equação de Bernoulli como origem de uma força de
sustentação, mas não é causa dela, como se explica nas duas primeiras figuras da página anterior.
Além disso, a força resultante para cima, decorrente dessa diferença de pressões, não é suficiente
para a sustentação da asa e muito menos do avião.
Para aqueles que (como este autor) por muito
tempo acreditaram e difundiram essa explicação,
talvez sirva de consolo saber que Einstein, durante
a Primeira Guerra Mundial, sugeriu que se construísse uma asa com perfil orientado pelas equações de Continuidade e de Bernoulli e, como hoje
seria de esperar, sua sugestão foi um retumbante
fracasso. Veja na figura abaixo o perfil da asa proposto por Einstein.
Para você pensar
7 Muitos recipientes têm um bico para que se possa verter o líquido neles contido sem que escorra
pelas paredes. Justifique esse recurso com base
no Efeito Coanda.
8 No boxe Discussão: A forma de uma gota (página
13) afirmamos que, ao adquirir velocidade constante, a gota se torna praticamente esférica. Por
que não perfeitamente esférica? O que pode impedir a gota de adquirir uma esfericidade perfeita? (Observação: Pense no que aconteceria com
a bolinha flutuante da última figura acima se ela
fosse deformável como uma esfera de água.)
Por fim, é importante destacar que o Efeito
Coanda isoladamente não explica o voo ou a sustentação do avião. Apenas é causa parcial da força de
sustentação exercida pela asa. Veja a figura a seguir.
A
D
B
C
Um avião em voo está sob a ação de quatro forças: A: força resultante de sustentação exercida pela asa (uma pequena parcela deve-se ao Efeito Coanda);
B: força de tração exercida pela hélice ou turbina; C: peso, exercido pela Terra;
D: força viscosa exercida pelo ar.
19
Como V = V1 = Δx1S1 = v1ΔtS1 (ou V = V2 = v2ΔtS2):
ΔEc = 1 dv1ΔtS1(v22 – v12) (III)
2
Deduções
1a) Equação de Continuidade
Reveja a última figura da página 3. Os trechos hachurados correspondem ao deslocamento de um fluido
ideal no mesmo intervalo de tempo ⌬t. Se o fluxo (Φ) é
constante e esse intervalo é suficientemente pequeno,
esses trechos podem ser considerados cilindros de áreas
S1 e S2. Nessas condições, vamos aplicar a esses dois
cilindros as definições de fluxo (Φ = vS) e de
⌬x ]
velocidade média [v =
, nesse caso também cons⌬t
b) um acréscimo ΔEp de energia potencial gravitacional:
ΔEp = mg(h2 – h1) ⇒ ΔEp = dv1ΔtS1g(h2 – h1) (IV)
Esses acréscimos de energia se devem ao trabalho
realizado por duas forças, uma decorrente da pressão
p1 , de módulo F1 = p1S1, atuando em S1 no sentido do
movimento do fluido, e outra decorrente da pressão p2,
de módulo F2 = p2S2, atuando em S2 no sentido oposto.
Então, podemos escrever:
tante, pois Φ e S são constantes. Para o cilindro de base S1:
⌬x
Φ1 = ⌬t1 S1
τF=1 + τF=2 = ΔEc + ΔEp (V)
Da expressão da força em função da pressão e da
superfície (I), da definição de trabalho (II), lembrando que
em cada caso Δx = vΔt, e das expressões III e IV substituídas em V, temos:
Como ⌬x1S1 = V1 (volume do cilindro de altura ⌬x1):
V
Φ1 = ⌬t1 (I)
p1S1v1Δt cos 0° + p2S2v2Δt cos 180° =
Por raciocínio análogo, para o cilindro de base S2:
V
Φ2 = ⌬t2 (II)
1 dv
2
2
1ΔtS1(v2 – v1 ) + dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒
2
1
dv1ΔtS1(v22 – v12) +
(p1 – p2)S1v1Δt =
2
Como Φ é constante e ⌬t é o mesmo, podemos
concluir de I e II que V1 = V2. Então, aplicando de novo
a expressão do volume do cilindro e lembrando que
⌬x = v⌬t:
V1 = V2 ⇒ S1⌬x1 = S2⌬x2 ⇒ S1v1⌬t = S2v2⌬t ⇒
S1v1 = S2v2 ou v1S1 = v2S2
dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒ p1 – p2 =
= 1 d(v22 – v12) + dg(h2 – h1)
2
3a) Equação de Torricelli
Reveja a primeira figura da página 7. Vamos supor
que a área S do orifício seja muito menor que a área S0 da
superfície do tanque. Nesse caso, da Equação de Continuidade, podemos escrever:
v0S0 = vS ⇒ v0 = v S
S0
E concluir que v 0= também é muito menor que v,= ou
seja, que, em relação ao módulo de v ,= podemos supor
v0 = 0.
Vamos admitir ainda que a pressão atmosférica, p0,
é a mesma na superfície do líquido e no orifício de saída
e que por ele o escoamento seja laminar. Nessas condições, aplicando a Equação de Bernoulli à superfície
(nível 1) e ao orifício (nível 2) e colocando o referencial
para as alturas no nível do orifício, temos:
1
1
dv12 + dgh1 = p2 +
dv22 + dgh2 ⇒
p1 +
2
2
1
1
dv02 + dgh0 = p0 +
dv2 + dgh ⇒
p0 +
2
2
1
1
d(0)2 + dgh = p0 +
dv2 + dg(0) ⇒
p0 +
2
2
1
dgh =
dv2 ⇒ v = 2gh
2
2-a) Equação de Bernoulli
Para esta dedução é preciso recordar as seguintes
expressões:
m
• densidade: d =
e m = dV
V
F
• pressão: p =
e F = pS (I)
S
• trabalho: τ = FΔx cos α (II)
1
2
• energia cinética: Ec =
2 mv
• energia potencial gravitacional: Epg = mg(h – h0)
Pela dedução anterior, sabemos que os dois cilindros em cinza da primeira figura da página 5 têm o mesmo volume: V1 = V2. Como, tratando-se de um fluido
ideal, a densidade é constante, ambos têm a mesma massa m de fluido.
Ao deslocar-se pelo tubo do nível h1, com velocidade de módulo v1, para o nível h2, com velocidade de
módulo v2, podemos afirmar que a massa de fluido contida nesses cilindros sofre:
a) um acréscimo ΔEc de energia cinética:
ΔEc = 1 m(v22 – v12) ⇒ ΔEc = 1 dV(v22 – v12)
2
2
20
as falhas da antiga explicação, baseada na Equação de
Bernoulli, e justifiquem a utilização do Efeito Coanda.
Sugerimos as duas atividades ilustradas nas fotos a seguir.
Improvise o encaixe de um disco rígido — um CD,
por exemplo — na boca de um secador de cabelos, por
exemplo, para que o jato de ar passe pelo furo central.
Coloque outro disco de cartolina, de mesmo raio, sem o
furo central, no chão; aproxime o disco rígido do disco
no chão. Ele será puxado e vai prender-se ao disco rígido (três ou quatro apoios laterais, também de cartolina,
colados na extremidade do disco inferior garantem que
ele não escape lateralmente). Note que, como o disco
está no chão, não há ar sob ele que justifique a explicação baseada na diferença de pressões.
Faça um perfil de asa em isopor ou cartolina (o
perfil mostrado nas fotos abaixo é de madeira balsa e foi
montado com material adquirido em casa de aeromodelismo). Faça dois furos no perfil e duas hastes verticais paralelas fixadas em uma base plana, pelas quais o
perfil da asa possa se mover também verticalmente.
Deixe o perfil apoiado na base, com uma película de ar
de espessura desprezível sob ele, e faça incidir sobre ele
o ar de um pequeno ventilador (na montagem das fotos
utilizamos uma pequena turbina — para esse perfil o
jato de ar precisa ser bem forte — e fizemos uma leve
elevação na base para garantir que o ar não passasse
abaixo do perfil). Você verá que o perfil da asa é puxado para cima, embora só haja fluxo de ar passando por
cima dele, o que nos impede de explicar o fenômeno
pela Equação de Bernoulli.
4a) Tubo de Venturi
Reveja o esquema de um tubo de Venturi na página
8. Seja S1 a área da seção normal onde a pressão é p1 e a
velocidade do fluido é v1 e S2 a área da seção normal onde
a pressão é p2 e a velocidade do fluido é v2. Da Equação
de Continuidade e da definição de fluxo (Φ = vS):
Φ
Φ
(I) e v2 =
(II)
S1
S2
Da Equação de Bernoulli, sendo h2 = h1, podemos
escrever:
p1 – p2 = 1 d(v22 – v12) (III)
2
Substituindo I e II em III:
2(p1 – p2)
Φ = S1S2
d(S12 – S22)
ALAN RODRIGO MARRETTO
ALAN RODRIGO MARRETTO
ALAN RODRIGO MARRETTO
Atividades experimentais
A Fluidodinâmica é riquíssima em atividades
experimentais.
Uma atividade simples e muito rica em conteúdo,
sobretudo pela revisão que permite da Cinemática, é
descrita na primeira figura do exercício resolvido 3*
(página 7).
As atividades mostradas nas duas últimas figuras
da página 17 e na quarta figura e foto da página 19 também são muito fáceis e sugerimos ao professor que as
faça. Na experiência da vela atrás da garrafa, o professor
deve colocar água na garrafa pelo menos até a metade,
para que ela não caia sobre a vela. A experiência da bolinha flutuante é mais fácil de ser feita adaptando a um
secador de cabelos uma boca fina e circular e usando
uma bolinha de isopor de 2 cm a 3 cm de diâmetro, no
máximo. Bolinhas de pingue-pongue são muito pesadas
e exigem jatos de ar muito fortes, que nem todos os
secadores de cabelo produzem.
Com o advento das novas explicações, é importante que o professor também faça atividades que mostrem
ALAN RODRIGO MARRETTO
Φ = v1S1 = v2S2 ⇒ v1 =
* Essa atividade está descrita em detalhes nas páginas 82-84 do livro Experiências de ciências para o ensino fundamental, deste mesmo autor (São Paulo: Ática, 2005).
21
a) m–1 s–1.
b) m s–1.
c) m2 s.
Preparação para o ingresso no ensino superior
Testes
1 (Unifra-RS) Num salto de paraquedas, verificamos
que a velocidade do paraquedista pode ser considerada constante, ao menos depois de algum tempo
que o paraquedas tenha sido aberto. Dessa forma,
podemos considerá-lo como um movimento uniforme. Dentre os itens abaixo, qual apresenta uma explicação plausível para esse fato?
a) Com o movimento apropriado de pernas e braços, o paraquedista consegue anular o efeito da
gravidade.
b) Na baixa atmosfera, o ar menos denso impede que
a velocidade dos objetos continue aumentando.
c) O ar menos aquecido vindo da região próxima à
terra impulsiona o paraquedas para cima.
d) A força de resistência do ar, em magnitude, é
aproximadamente igual à força gravitacional da
Terra, fazendo com que o paraquedista atinja uma
velocidade terminal constante.
e) No vácuo gerado pelo paraquedas em movimento,
ele passa a se mover com velocidade constante.
d) m3 s.
e) m3 s–1.
4 (PUCC-SP) Num dado instante, se a velocidade do
fluxo sanguíneo num ponto do eixo central da aorta é
de 28 cm/s e o raio desse vaso é 1 cm, a velocidade
em um ponto que dista 0,5 cm desse eixo é, em centímetros por segundo, igual a:
a) 19.
d) 25.
b) 21.
e) 27.
c) 23.
5 (PUC-RS) Quando um fluido é incompressível (massa específica constante), sua vazão em qualquer seção reta de uma tubulação de diâmetro variável é
sempre a mesma e vale Av, em que A é a área da
seção reta e v é o valor médio da velocidade do fluido na seção. Considerando uma parte da tubulação
onde a área da seção reta é A1 e a velocidade média
do fluido é v1, e outra região onde a área da seção
reta é A2 = 3A1 e a velocidade média é v2 = xv1, o valor
de x é:
1
a) 9.
d)
.
3
b) 3.
e) 1 .
9
c) 1.
2 (Unifra-RS) Para fazer chegar água a uma população cada vez maior das cidades grandes, é preciso,
além de outras coisas, aumentar a vazão de água nas
tubulações. Sendo v a velocidade da água na tubulação e A a área de seção reta do tubo, é possível concluir que:
a) A vazão é diretamente proporcional a v e inversamente proporcional a A.
b) A vazão é inversamente proporcional a v e diretamente proporcional a A.
c) A vazão é inversamente proporcional a v e inversamente proporcional a A.
d) A vazão é diretamente proporcional a v e diretamente proporcional a A.
e) A vazão não depende de A ou v.
6 (PUC-RS) Quando a água passa numa tubulação
horizontal de uma seção de 4,0 cm de diâmetro para
outra seção de 2,0 cm de diâmetro:
a) sua velocidade diminui.
b) sua velocidade não se altera.
c) a pressão diminui.
d) a pressão aumenta.
e) a pressão não se altera.
7 (PUC-RS) Uma pequena esfera de vidro cai com velocidade constante num líquido em repouso contido
num recipiente. Com relação aos módulos das forças
que atuam sobre a esfera, peso P, empuxo E e força
de atrito viscoso Fa, é correto afirmar que:
a) P = E.
d) P = E – Fa.
b) P = Fa.
e) P = Fa – E.
c) P = E + Fa.
Para responder às questões de números 3 e 4 utilize
as informações abaixo.
De acordo com a Lei de Poiseuille, a velocidade v do
sangue, em centímetros por segundo, num ponto P à
distância d do eixo central de um vaso sanguíneo de
raio r é dada, aproximadamente, pela expressão
v = C(r2 – d2), em que C é uma constante que depende do vaso.
8 (PUC-RS) A figura abaixo representa um segmento
de cano horizontal, com diâmetro variável, por onde
flui água. Considerando as seções retas A e B, é correto afirmar que:
a) a pressão da água é meA
B
nor em A do que em B.
3 (PUCC-SP) A unidade da constante C no Sistema
Internacional é:
22
b) a velocidade da água é maior em A do que em B.
c) através das duas seções retas, A e B, a vazão de
água é a mesma.
d) a pressão da água é a mesma em A e em B.
e) a velocidade de escoamento é a mesma em A e
em B.
do trecho do rio Tuandeua, uma equipe de técnicos
fez algumas medidas e João ficou sabendo que a área
transversal ao rio, naquele trecho, media 500 m2 e a
velocidade média da água na vazante era de 1 m/s.
Como já sabia que em frente a sua casa a velocidade
média na vazante era 2 m/s, fazendo aproximações
para uma situação ideal, conclui-se que a área transversal do rio, em frente à casa de João, é igual a:
a) 250 m2.
d) 750 m2.
2
b) 300 m .
e) 1 000 m2.
2
c) 500 m .
9 (PUC-RS) A força de atrito viscoso sobre um determinado barco é diretamente proporcional à sua velocidade em relação à água. Sob outro aspecto, a potência desenvolvida pela força motriz para deslocar o
barco numa dada velocidade e em movimento retilíneo pode ser calculada pelo produto entre os módulos da força e da velocidade. Verifica-se que, para
deslocar o barco com velocidade constante de módulo 12 km/h, é necessária potência motriz de
6,0 kwatts (kW). Para deslocar o mesmo barco com
velocidade constante de módulo 24 km/h, será necessária potência motriz de:
a) 24 kW.
d) 14 kW.
b) 18 kW.
e) 10 kW.
c) 16 kW.
Questão discursiva
12 (UFBA) Um fenômeno bastante curioso associado
ao voo dos pássaros e do avião pode ser visualizado
através de um experimento simples, no qual se utiliza
um carretel de linha para empinar pipa, um prego e
um pedaço circular de cartolina.
10 (PUC-RS) Numa experiência de laboratório de Física, abandona-se uma esfera metálica no topo de um
tubo de vidro cheio de água, na vertical. A esfera cai
inicialmente em movimento acelerado, mas, após
alguns centímetros, atinge velocidade constante, por
isso chamada velocidade terminal ou velocidade-limite. Considerando a esfera com massa específica
duas vezes a da água e sabendo que os módulos das
únicas forças que agem sobre ela são o seu peso P, o
empuxo E e a força de atrito viscoso A (também chamada força de arrasto), pode-se concluir que, quando
atingida a velocidade-limite:
a) P = E.
d) P = 2A.
b) E = 2A.
e) P = A.
c) A = 2E.
2 cm
O prego é colocado no centro da cartolina e inserido
no buraco do carretel, conforme a figura. Soprando
pelo buraco superior do carretel, verifica-se que o
conjunto cartolina-prego não cai. Considere a massa
do conjunto cartolina-prego igual a 10 g, o raio do
disco igual a 2 cm e a aceleração da gravidade local
10 m/s2. A partir dessas informações, apresente a lei
física associada a esse fenômeno e calcule a diferença
de pressão média mínima entre as faces da cartolina
necessária para impedir que o conjunto caia.
11 (UFPA) Não era novidade para ninguém que a velocidade de escoamento do rio mudava ao longo de
seu curso. Para projetar uma ponte sobre determina-
23
Orientações para o Professor
e resolução dos exercícios
Comentários e sugestões
Este assunto apresenta uma rara novidade: a revisão da
explicação clássica que a maioria dos físicos e engenheiros
ainda dá em relação à sustentação da asa de um avião.
É importante, em primeiro lugar, que o professor se
convença de que ela está de fato errada e deve ser revista.
Para isso, sugerimos a leitura de alguns textos. O primeiro é o
artigo pioneiro, em português, que alerta para esse equívoco
e apresenta o Efeito Coanda: A dinâmica dos fluidos complementada e a sustentação da asa, de Klaus Weltner, Antonio
Sergio Esperidião e Paulo Miranda, professores do Instituto
de Física da Universidade Federal da Bahia, e Martin Ingelman-Sundberg, da Suécia. Foi publicado na Revista Brasileira
de Ensino de Física, volume 23, número 4, de dezembro de
2001, e pode ser acessado diretamente pela Internet na página www.sbfisica.org.br/rbef/Vol23/Num4/.
Há muitos outros, todos em inglês. Indicamos dois:
Model airplanes, the Bernoulli Equation, and the Coanda
Effect, de Jef Raskin, que pode ser acessado em http://jef.
raskincenter.org/main/published/coanda_effect.html. O
autor foi professor da Universidade da Califórnia, em San
Diego, e se tornou muito conhecido por ter criado o computador Macintosh. O outro é uma página do excelente material educativo produzido pela Nasa para explicar o voo do
avião — é um texto curto, claro e objetivo, que pode ser
encontrado em www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/
wrong1.html. Se o professor se interessar, há na Internet farto
material de boa qualidade a respeito, mas quase todo em
inglês.
Essas leituras e a realização das experiências descritas
nas atividades propostas certamente vão convencer o professor da necessidade dessa revisão. Quanto ao aluno, é
quase certo que a maioria não conhece a explicação anterior, mas nos parece importante que saibam dessa revisão,
por dois motivos pelo menos. O primeiro, para mostrar o
caráter humano da física e que as verdades nela, como em
qualquer ciência, não são definitivas e podem ser revistas
— essa é, aliás, uma das recomendações dos PCNs. O segundo, para mostrar ao aluno que a física não é mesmo fácil,
não só na sua construção conceitual, mas também na forma
como ela é empregada para explicar os fenômenos tecnológicos ou do dia-a-dia. Alguns professores gostam de dizer
que física é fácil, que tudo se resume a aplicar as fórmulas
certas, uma falácia que só angustia e desestimula os alunos.
É muito melhor para o aluno saber que não está sozinho
nas dificuldades de compreensão e nos erros que comete,
pois, como vimos, até Einstein os cometeu.
•
Investigação e compreensão
•
•
•
Estratégias para enfrentamento de situações-problema
• Frente a uma situação ou problema concreto, reconhecer a natureza dos fenômenos envolvidos, situando-os no conjunto de fenômenos da física, e identificar as grandezas relevantes em cada caso.
Interações, relações e funções; invariantes e transformações
• Reconhecer a relação entre diferentes grandezas ou
relações de causa-efeito para ser capaz de estabelecer
previsões.
• Identificar regularidades, associando fenômenos que
ocorrem em situações semelhantes para utilizar as leis
que expressam essas regularidades na análise e nas
previsões de situações do dia-a-dia.
• Reconhecer a existência de invariantes que impõem
condições sobre o que pode e o que não pode acontecer em processos naturais para fazer uso desses invariantes na análise de situações cotidianas.
Relações entre conhecimentos disciplinares, interdisciplinares e interáreas
• Construir uma visão sistematizada dos diversos tipos
de interação e das diferentes naturezas de fenômenos
da física para poder fazer uso desse conhecimento de
forma integrada e articulada.
• Identificar e compreender os diversos níveis de explicação física, microscópicos ou macroscópicos, utilizando-os apropriadamente na compreensão de fenômenos.
Contextualização sociocultural
•
Competências
Representação e comunicação
•
• Reconhecer e saber utilizar corretamente símbolos, códigos e nomenclaturas de grandezas da física.
• Ler e interpretar corretamente tabelas, gráficos, esquemas e diagramas apresentados em textos.
• Construir sentenças ou esquemas para a resolução de
problemas.
Elaboração de comunicações
• Descrever relatos de fenômenos ou acontecimentos que
envolvam conhecimentos físicos, apresentando com
clareza e objetividade suas considerações e fazendo uso
apropriado da linguagem da física.
• Elaborar relatórios analíticos, apresentando e discutindo dados e resultados, seja de experimentos ou de avaliações críticas de situações, fazendo uso, sempre que
necessário, da linguagem física apropriada.
Símbolos, códigos e nomenclaturas de ciência e tecnologia
25
Ciência e tecnologia na história
• Compreender o desenvolvimento histórico dos modelos físicos para dimensionar corretamente os modelos
atuais, sem dogmatismo ou certezas definitivas.
• Compreender o desenvolvimento histórico da tecnologia nos mais diversos campos e suas consequências
para o cotidiano e as relações sociais de cada época,
p1 + dgh1 = p2 + dgh2 ⇒ p1 – p2 = dgh2 – dgh1 ⇒
p2 – p1 = dg(h2 – h1)
identificando como seus avanços foram modificando
as condições de vida e criando novas necessidades.
• Perceber o papel desempenhado pelo conhecimento
físico no desenvolvimento da tecnologia e a complexa
relação entre ciência e tecnologia ao longo da história.
b) A diferença de pressões (p1 – p2) é responsável, em I,
só pela variação da energia cinética do líquido e, em
II, apenas pela variação da energia potencial gravitacional.
Atividades interdisciplinares e de
contextualização
4. A afirmação é correta. Basta observar que a dedução da
expressão dessa lei (página 20) tem como ponto de partida a identidade entre o trabalho realizado pelas forças
devidas às variações de pressão e as respectivas variações de energia cinética e potencial da água, consequência do Princípio da Conservação da Energia Mecânica.
O assunto abordado aqui complementa os de
Hidrostática, que tratam dos líquidos em equilíbrio (os
gases em equilíbrio são objeto da Teoria Cinética dos Gases,
apresentada com o estudo da Termodinâmica).
Ter como temas principais a água, como líquido, e o ar,
como gás, possibilita a realização de inúmeras atividades
interdisciplinares e de contextualização. Esta pode ser trabalhada a partir da sua mais importante tecnologia — a
Aerodinâmica —, destacada na foto de abertura deste artigo. Além da sustentação de aviões e helicópteros, a
Aerodinâmica estuda a aderência dos veículos terrestres ao
solo e a redução da resistência do ar sobre eles. São assuntos que motivam extraordinariamente os adolescentes,
principalmente aqueles que gostam de corridas de automóvel, área em que essa tecnologia é altamente desenvolvida — se o professor sugerir pesquisas nessa área, certamente encontrará adesões entusiásticas.
O voo das aves e o movimento dos peixes, a forma
como esses animais se sustentam ou vencem a viscosidade
do ar ou da água e a função das penas nas aves e das escamas nos peixes são também temas interessantíssimos que
podem proporcionar atividades interdisciplinares muito
motivadoras com a biologia.
5. Como mostra a equação de Torricelli, a velocidade de saída da água não depende da abertura do orifício, ou seja,
nesse caso apertar a saída da mangueirinha não aumenta
a velocidade de saída da água, o que invalida a ideia inicial do aluno. Esse resultado não contraria a Equação de
Continuidade (v1S1 = v2S2), pois ela não se aplica a essa
situação porque a velocidade de abaixamento da superfície do recipiente foi considerada nula (desprezível).
Assim, cinematicamente, a altura máxima da água será
sempre igual à profundidade h do recipiente.
6. Não faz sentido falar em coeficiente de viscosidade estático porque a viscosidade depende da existência do movimento relativo entre as diferentes camadas de um fluido. Não havendo esse movimento (v = 0), não existe visFy
cosidade e a expressão do coeficiente [η = Sv ] perde o
seu significado.
7. A adesão viscosa do líquido ao bico do recipiente dirige
o líquido e o afina, tornando-o um filete laminar, o que
facilita o seu derramamento.
Para você pensar
1. Por causa da aceleração da gravidade, a velocidade do
filete de água aumenta ao cair. Como a velocidade é inversamente proporcional à área da seção normal do tubo de corrente, à medida que a velocidade aumenta
essa área diminui e o filete afina.
8. Ao cair através do ar, a curvatura da gota faz o fluxo de
ar curvar-se para contorná-la. Pelo Princípio da Ação e
Reação, a gota é puxada lateralmente para o fluxo e, por
isso, é ligeiramente achatada.
2. Em condições ideais, pelo Princípio da Conservação da
Energia, a água só pode atingir o mesmo nível da superfície. Portanto, mesmo nessas condições, a experiência
seria impossível. Na prática, como há perdas de energia
por causa da viscosidade da água e do ar, o esguicho fica
bem abaixo do nível da superfície.
Para você resolver
12
1. a) Φ = V ⇒ ΦE =
⇒ ΦE = 0,20 L/s ⇒
60
Δt
ΦE = 2,0 10–4 m3/s
b) rE = 0,50 cm = 5,0 10–3 m ⇒ SE = πrE2 ⇒
SE = 3,1(5,0 10–3)2 ⇒ SE = 7,8 10–5 m2
3. a) Em I, sendo h1 = h2:
1
1
p1 +
dv12 = p2 +
dv22 ⇒
2
2
ΦE = vESE ⇒ 2,0 10–4 = vE 7,8 10–5 ⇒
vE = 2,6 m/s
1
1
1
p1 – p2 = dv22 – dv12 ⇒ p1 – p2 = d(v22 – v12)
2
2
2
c) rT = 2,5 ⇒ rT = 1,3 cm = 1,3 10–2 m ⇒
2
Em II, como não há variação da seção normal
(S1 = S2 ⇒ v1 = v2):
ST = πrT2 ⇒ ST = 3,1(1,3 10–2)2 ⇒ ST = 5,2 10–4 m2
26
v1S1 = v2S2 ⇒ vESE = vTST ⇒
2,6 7,8 10–5 = vT 5,2 10–4 ⇒ vE = 0,39 m/s
5. Ao atingir a velocidade-limite, o sistema passa a se mover com velocidade constante. Logo, sendo mB = 0,060 kg
(reveja as figuras da bola na página 16):
T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,060 10 ⇒ T = 0,60 N
Esse é o módulo da força viscosa. Então, sendo
y = 0,30 mm = 3,0 10–4 m, da expressão dessa força:
0,75 0,040
ηS
F=
v ⇒ 0,60 =
v ⇒
3,0 10–4
y
2. a) Φ = 5,0 L/s = 5,0 10–3 m3/s
S1 = 1,2 10–2 m2 ⇒ Φ = v1S1 ⇒
5,0 10–3 = v1 1,2 10–2 ⇒ v1 = 0,42 m/s
S2 = 2,0 10–3 m2 ⇒ Φ = v2S2 ⇒
5,0 10–3 = v2 2,0 10–3 ⇒ v2 = 2,5 m/s
b) Fazendo p2 = p0 = 1,0 105 Pa, da Equação de
Bernoulli:
1 d(v2 – v2) + dg(h – h ) ⇒
p1 – p0 =
2
1
2
1
2
p1 – 1,0 105 = 1 1,0 103(2,52 – 0,422) +
2
v = 6,0 10–3 m/s
6. a) Reveja a figura da página 14. Como a velocidade é constante, da Segunda Lei de Newton em módulo, podemos
escrever:
1,0 103 10(3,0 – 0) ⇒ p1 – 1,0 105 =
3,1 103 + 3,0 104 ⇒ p1 = 1,3 105 Pa
3. Da equação de Torricelli (v =
• para a profundidade hA = 0,080 m: vA =
vA = 2 ⋅10 ⋅0,080 ⇒ vA = 1,3 m/s
• para hB = 0,16 m: vB =
• para hC = 0,24 m: vC =
F+E=P⇒F=P–E⇒
F = dAlVesferag – dglicerinaVesferag ⇒ F = (dAl – dglicerina)Vesferag
2gh ):
2ghA ⇒
Vesfera =
4 3,1(2,0 10–3)3 ⇒
3
Vesfera = 3,3 10–8 m3
2 ⋅10 ⋅0,16 ⇒ vB = 1,8 m/s
2 ⋅10 ⋅0,24 ⇒ vC = 2,2 m/s
F = (2 700 – 1 300)3,3 10–8 10 ⇒ F = 4,6 10–4 N
b) Sendo Δx = 18 cm = 0,18 m, Δt = 20 s e a velocidade
constante:
Δx
0,18
v=
⇒v=
⇒ v = 9,0 10–3 m/s
Δt
20
Para um referencial em que a origem das alturas está fixada no nível do solo, de acordo com a figura do item b,
exercício 3 da página 7:
• para as gotas que saem de A:
yA = 0,24 + 0,72 = 0,96 m
tempo de queda: y = y0 + v0yt + 1 ⭈ gt2 ⇒
2
1
2
0 = yA + 0 ⭈ tA + (–g)tA ⇒ 0 = 0,96 – 5,0tA2 ⇒
2
Então, da Lei de Stokes:
F = 6πηrv ⇒ 4,6 10–4 =
6 3,1η 2,0 10–3 9,0 10–3 ⇒ η = 1,4 Pa s
7. Reveja a primeira figura da página 15. Como a velocidade
é constante e o empuxo é desprezível, da Segunda Lei de
Newton em módulo podemos escrever:
P – F = 0 ⇒ F = P = mgotag (I)
Como a velocidade-limite é constante e a gota é esférica,
supondo não haver turbulência, podemos aplicar a Lei
de Stokes:
F = 6πηarrgotav (II)
De I e II:
mgotag = 6πηarrgotav (III)
tA = 0,44 s
• para as gotas que saem de B:
yB = 0,16 + 0,72 = 0,88 m
0 = yB + 0 ⭈ tB + 1 (–g)tB2 ⇒ 0 = 0,88 – 5,0tB2 ⇒
2
tB = 0,42 s
• para as gotas que saem de C:
yC = 0,080 + 0,72 = 0,90 m
0 = yC + 0 ⭈ tC + 1 (–g)tC2 ⇒ 0 = 0,80 – 5,0tC2 ⇒
2
tC = 0,40 s
Sendo d =
Portanto, os alcances serão:
• para as gotas que saem de A: x = x0 + vt ⇒
xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,3 ⭈ 0,44 ⇒ xA = 0,57 m
• para as gotas que saem de B: xB = x0 + vBtB ⇒
xB = 0 + 1,8 ⭈ 0,42 ⇒ xB = 0,76 m
• para as gotas que saem de C: xC = x0 + vCtC ⇒
xC = 0 + 2,2 ⭈ 0,40 ⇒ xC = 0,88 m
m
4
e Vesfera =
πr3:
V
3
4 πr3 (IV)
gota
3
Substituindo IV em III, sendo v = 2,0 m/s a velocidade-
mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo -limite para o ar:
4 πr3 g = 6πη r v ⇒
dóleo ar gota
gota
3
4. Da expressão do tubo de Venturi:
苴
苴
苴
Φ2d(S12 – S22)
2(p苴苴
1 – p2)
⇒
⇒ p1 – p2 =
Φ = S1S2
2(S1S2)2
d(S12 – S22)
(2,0 10–2)2 1,0 103[(2,5 10–2)2 – (1,0 10–2)2]
Δp =
⇒
2(2,5 10–2 1,0 10–2)2
dóleo 冪
4 2
r gotag = 6ηarv ⇒
3
800 4 r2gota 10 = 6 1,8 10–5 2,0 ⇒
3
rgota = 1,4 10–4 m
Δp = 1,7 103 Pa
27
proporcional ao quadrado da sua velocidade – se ela
dobra (passa de 12 km/h a 24 km/h), a potência deve
tornar-se 4 (22) vezes maior e passar de 6,0 kW para
24 kW (4 6,0).
Resposta: alternativa a.
Preparação para o ingresso no ensino superior
1. Resposta: alternativa d.
2. Num escoamento laminar, a vazão é dada por Φ = vS.
Então, ela é diretamente proporcional à velocidade e à
área.
Resposta: alternativa d.
10. Como a massa específica da esfera é o dobro da massa
específica da água, podemos escrever
dágua = 1 desfera. Então, pela expressão do empuxo
2
(E = dfluidoVfluido deslocadog), podemos determinar o empuxo dessa esfera inteiramente imersa na água:
Eesfera = dáguaVesferag ⇒ Eesfera = 1 desferaVesferag ⇒
2
1 P
Eesfera =
2
3. Da expressão dada podemos obter a dimensão de
m
5 6
s
m3
C pela razão 2 . Portanto, a dimensão de C é 5 s 6 ou
[m ]
m3 ⭈ s–1.
Resposta: alternativa e.
4. Ainda dessa expressão, podemos determinar C usando a expressão da velocidade do sangue (v = 0,28 m/s)
para um ponto P localizado no eixo central (d = 0) em
um vaso de raio r = 1,0 cm = 1,0 10–2 m:
v = C(r2 – d2) ⇒ 0,28 = C[(1,0 10–2)2 – 02] ⇒
C = 2,8 103 m3 s–1
Como a velocidade é constante, a resultante sobre a
esfera é nula (reveja a figura da página 14). Da Segunda
Lei de Newton em módulo, sendo A a força viscosa:
A + Eesfera = P ⇒ A + 1 P = P ⇒ P = 2A
2
Resposta: alternativa d.
Pela mesma expressão determinamos o valor de v para
d = 0,50 cm = 5,0 10–3 m:
v = C(r2 – d2) ⇒ v = 2,8 103[(1,0 10–2)2 –
(5,0 10–3)2] ⇒ v = 0,21 m/s
Resposta: alternativa b.
11. Da Equação de Continuidade, sendo v1 = 1 m/s, onde
S1 = 500 m2, obtemos S2, onde v2 = 2 m/s:
S1v1 = S2v2 ⇒ 500 1 = S2 2 ⇒ S2 = 250 m2
Resposta: alternativa a.
12. Até há pouco tempo esse fenômeno era associado à
Equação de Bernoulli (podemos afirmar que essa era a
resposta esperada pela banca). No entanto, a resposta
correta é o Efeito Coanda (curiosamente, essa mudança
de explicação foi divulgada pela primeira vez por físicos
da UFBA).
Supondo que o conjunto cartolina-prego seja sustentado apenas pela diferença de pressão, o que não é mais
aceito como verdadeiro, a diferença de pressão média
mínima entre as faces da cartolina necessária para impedir que o conjunto caia deve ser aquela que resulte
em uma força ascendente F= igual ao módulo P do peso
desse conjunto. Sendo m = 10 g = 1,0 ⭈ 10–2 kg a massa
do conjunto cartolina-prego e g = 10 m/s2, o módulo da
força ascendente é:
5. Da Equação de Continuidade, chamando de A a área da
seção reta e sendo A2 = 3A1, podemos escrever:
1
A1v1 = A2v2 ⇒ A1v1 = 3A1v2 ⇒ v2 = [ ]v1
3
1
Logo, x = .
3
Resposta: alternativa d.
6. Da Equação de Continuidade, podemos concluir que, ao
passar de uma região de maior raio para outra de menor
raio, a velocidade da água aumenta. E, pela Equação de
Bernoulli, se a velocidade aumenta, a pressão diminui.
Resposta: alternativa c.
7. Chamando F de Fa, Fa + E = P (reveja o exercício resolvido 6).
Resposta: alternativa c.
F = P ⇒ F = mg ⇒ F = 1,0 ⭈ 10–2 ⭈ 10 ⇒ F = 0,10 N
Da definição de pressão, podemos escrever Δp =
8. Resposta: alternativa c.
A área do disco de raio r = 2,0 cm = 2,0 10–2 m é:
S = πr2 ⇒ S = 3,1(2,0 10–2)2 = 1,2 10–3 m2
Então:
0,10
Δp =
⇒ Δp = 83 Pa
1,2 10–3
9. Da expressão da força viscosa (F = cv), lembrando a relação entre a potência (P) e velocidade (v) de um móvel em MRU (P = Fv), concluímos que P = cv2. Logo, nas
condições dadas, a potência do barco é diretamente
28
F
.
S