Álgebra Linear e Geometria Anal´ıtica A álgebra de matrizes 1

Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Licenciatura em Engenharia Biomédica
2005/2006
A álgebra de matrizes
1
Generalidades
Ao longo deste capı́tulo, K designa C ou R, e m e n elementos de N.
[Definição] Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro que se obtém dispondo
mn elementos de K segundo m linhas e n colunas


a11 a12 a13 . . . a1n


 a21 a22 a23 . . . a2n 


 a

a
a
.
.
.
a
A =  31
32
33
3n  .
 .
..
..
.. 
 ..
.
.
. 


am1 am2 am3 . . . amn
Os elementos aij dizem-se os elementos ou componentes da matriz. Uma matriz diz-se
real ou complexa consoante os seus elementos sejam números reais ou complexos.
[Notação] O conjunto de todas as matrizes do tipo m×n sobre K representa-se por Mm×n (K).
Usamos a notação Mn (K) para Mn×n (K) e a notação Km para Mm×1 .
É costume usarem-se letras maiúsculas para designar matrizes. Exceptuam-se os casos das
matrizes coluna (i.e. matrizes em Mm×1 (K)) e das matrizes linha (i.e. matrizes em
M1×n (K)), para as quais se utilizam, mais frequentemente, letras minúsculas.
A matriz A da definição anterior pode também ser apresentada na forma A = [aij ]m×n , ou,
simplesmente, A = [aij ] se não houver ambiguidade. Para cada i e j, o elemento de A situado
na linha i e na coluna j, aij , é também referido como o elemento de A na posição (i, j).
[Exemplo] Sejam
"
A=
1 −2 0, 5
4 −3 0
#
"
, B=
4 −2
−3 0
#
e


5
 
v =  5 .
5
A matriz A é uma matriz real do tipo 2 × 3. Assim, A ∈ M2×3 (R). O elemento de A na
posição (2, 1) é 4 e o elemento na posição (1, 3) é 0, 5. B é uma matriz real do tipo 2 × 2 e v
é uma matriz coluna pertencente a R3 .
1
[Definição] Duas matrizes com o mesmo número de linhas (m) e de colunas (n) são matrizes
do mesmo tipo. Duas matrizes do mesmo tipo
A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n
são iguais se aij = bij , para quaisquer i ∈ {1, . . . , m} e j ∈ {1, . . . , n}.
[Exemplo] Sejam
"
−1 1
2 0
#
"
−1 a
b 0
#
A=
e
B=
.
As matrizes A e B são iguais se e somente se a = 1 e b = 2.
Apresentamos, agora, alguns tipos especiais de matrizes.
[1] Se o número de linhas de uma matriz A ∈ Mm×n (K) é igual ao número de colunas,
ou seja, se m = n, a matriz diz-se quadrada de ordem n. Se m 6= n, a matriz diz-se
rectangular.
Os elementos diagonais de A = [aij ] ∈ Mn (K) são a11 , a22 , . . . , ann . A sequência ordenada
constituı́da por estes elementos diz-se a diagonal principal de A.
[2] Seja A = [aij ] quadrada. A matriz A diz-se triangular superior se aij = 0 quando i > j,
triangular inferior se aij = 0 quando i < j, e diagonal se aij = 0 quando i 6= j.
Note-se que as matrizes diagonais são um caso particular das matrizes triangulares.
Por uma questão de simplificação de escrita, dada uma matriz diagonal de ordem n


a11 0 . . . 0


 0 a22 . . . 0 
A=
..
.. 
 ..
,
.
. 
 .
0
0
. . . ann
escrevemos A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ).
[3] Uma matriz escalar é uma matriz diagonal da forma A = diag(a, a, . . . , a), com a ∈ K.
A matriz identidade de ordem n, In , é a matriz escalar de ordem n com os elementos
diagonais iguais a 1, ou seja,


1 0 ... 0


 0 1 ... 0 

In =  . .
.. 
.
. 
 .. ..
0 0 ... 1
2
[4] A matriz nula m × n é a matriz do tipo m × n cujos elementos são todos iguais a zero.
Representa-se por 0m×n ou, simplesmente, por 0 se o tipo da matriz estiver claro no contexto.
[5] Apresentamos, de seguida, um tipo especial de matrizes: as matrizes elementares.

..






Di (a) = 








1
.
1
a
1
..
.
1













Pij = 











..







Eij (b) = 












,







1







,






.
1 ···
..
.
b
..
.
1
..
.
1

1
..












.











.
1
0
1
1
..
.
1
1
0
1
..
.
1
Às matrizes elementares da forma Pij chamamos matrizes de permutação elementares. Note-se que estas matrizes se obtêm da matriz identidade por troca de uma linha com outra. Mais
geralmente, chamamos matriz de permutação a qualquer matriz que se obtenha da matriz
identidade por trocas de linhas.
[Exemplos] Sejam




"
#
1
2 −3
1 0 0
0 1 3




A =  4 −5 6  , B =
, C =  −1 2 0  ,
0 2 4
−7 8
9
2 0 3






5 0 0
3 3 3
0 0 0






D =  0 −1 0  , E =  0 3 3  e F =  1 0 0  .
0 0 2
0 0 3
2 3 0
3
A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos diagonais são 1, −5 e 9.
A sua diagonal principal é (1, −5, 9). A matriz B é uma matriz rectangular pertencente a
M2×3 (R). As matrizes C e F são triangulares inferiores, E é triangular superior e D é uma
matriz diagonal.
2
Operações com matrizes
Nesta secção, definimos algumas operações com matrizes e apresentamos certas propriedades
que estas satisfazem.
[Definição] Sendo A = [aij ], B = [bij ] ∈ Mm×n (K) e α ∈ K, define-se:
(i) A + B como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento na posição (i, j) é aij + bij .
Assim, A + B = [aij + bij ].
(ii) αA como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento na posição (i, j) é α aij . Assim,
αA = [α aij ].
[Exemplos] Sendo




1 −2
3 2




A= 4
0  e B =  0 2 ,
−5 0, 2
2 1
tem-se




4
0
3
−6




A+B = 4
2  e 3 A =  12
0 .
−3 1, 2
−15 0.6
Vejamos, agora, algumas propriedades da adição de matrizes e da multiplicação escalar.
[Definição] Sendo A = [aij ]m×n , define-se −A = [−aij ]m×n .
[Teorema] Sejam A, B, C ∈ Mm×n (K). Então
(i) (A + B) + C = A + (B + C). [associatividade da adição]
(ii) A + B = B + A. [comutatividade da adição]
(iii) A + 0 = 0 + A. [ 0 é o elemento neutro da adição]
(iv) A + (−A) = (−A) + A = 0. [−A é o simétrico de A]
Demonstração Demonstramos, apenas, a propriedade (i), deixando as restantes como exercı́cio.
4
Sejam A = [aij ], B = [bij ] e C = [cij ] matrizes em Mm×n (K). Sejam D = (A + B) + C = [dij ]
e E = A + (B + C) = [eij ]. Note-se que D e E são matrizes do tipo m × n. Por definição,
sabemos que dij = (aij + bij ) + cij e eij = aij + (bij + cij ), para todo o i ∈ {1, . . . , m}
e todo o j ∈ {1, . . . , n}. Mas a associatividade da adição em K permite-nos afirmar que
(aij + bij ) + cij = aij + (bij + cij ), pelo que dij = eij , para quaisquer i ∈ {1, . . . , m} e
j ∈ {1, . . . , n}. Assim, D = E.
2
[Teorema] Sejam A, B ∈ Mm×n (K) e α, β ∈ K. Então
(i) α(A + B) = αA + αB.
(ii) (α + β)A = αA + βA.
(iii) (αβ)A = α(βA).
(iv) 1A = A.
Demonstração Demonstramos, apenas, a propriedade (ii), deixando as restantes como exercı́cio.
Sejam A = [aij ] ∈ Mm×n (K) e α ∈ K. Sejam C = (α + β)A = [cij ] e D = αA + βA = [dij ].
Observe-se que C e D são matrizes do tipo m × n. Por definição, temos que cij = (α + β)aij
e dij = αaij + βaij , para todo o i ∈ {1, . . . , m} e todo o j ∈ {1, . . . , n}. Atendendo às
leis distributivas em K, podemos concluir que (α + β)aij = αaij + βaij e, por conseguinte,
cij = dij , para quaisquer i ∈ {1, . . . , m} e j ∈ {1, . . . , n}. Portanto, C = D.
2
[Definição] Sendo A = [aij ] ∈ Mm×n (K) e B = [bij ] ∈ Mn×p (K), define-se AB como sendo a
matriz do tipo m × p cujo elemento na posição (i, j) é ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj . Assim,
" n
#
X
AB =
aik bkj
.
k=1
m×p
Como se pode ver da definição anterior, o produto AB da matriz A pela matriz B apenas
está definido no caso em que o número de colunas de A coincide com o número de linhas de
B.
O elemento de AB situado na linha i
coluna j de B:


 · · · b1j
··· ··· ··· ··· 

  · · · b2j
 ai1 ai2 · · · ain  
..
 ..
.
 .
··· ··· ··· ···
· · · bnj
e na coluna j obtém-se a partir da linha i de A e da
···
···
..
.
···



···
 
 =  ···


···
Vemos, assim, que
5
ai1 b1j
···
+ ai2 b2j + . . . + ain bnj
···

···

··· 
···
(i) cada entrada de AB é o produto de uma linha de A por uma coluna de B:
(AB)ij = (linha i de A)(coluna j de B)
(ii) cada coluna de AB é o produto da matriz A por uma coluna de B:
(coluna j de AB) = (matriz A)(coluna j de B)
(iii) cada linha de AB é o produto de uma linha de A pela matriz B:
(linha i de AB) = (linha i de A)(matriz B)
[Exemplo] Sendo


"
#
1 −2
3 2 1


A= 4
,
0  e B=
0 2 −1
−5 3
tem-se


AB = 


= 

1 × 3 + (−2) × 0 1 × 2 + (−2) × 2 1 × 1 + (−2) × (−1)

4×3+0×0
4×2+0×2
4 × 1 + 0 × (−1) 
−5 × 3 + 3 × 0
−5 × 2 + 3 × 2
−5 × 1 + 3 × (−1)

3
−2 3

12
8
4 
−15 −4 −8
e
"
3 × 1 + 2 × 4 + 1 × (−5)
3 × (−2) + 2 × 0 + 1 × 3
BA =
0 × 1 + 2 × 4 + (−1) × (−5) 0 × (−2) + 2 × 0 + (−1) × 3
"
#
6
3
=
.
13 −3
#
Apresentamos, de seguida, algumas propriedades da multiplicação de matrizes.
[Teorema] Sejam A, B ∈ Mm×n (K), C, D ∈ Mn×p (K), E ∈ Mp×q (K) e α ∈ K. Então
(i) AIn = Im A = A.
(ii) A0 = 0, 0A = 0.
(iii) (AC)E = A(CE). [associatividade da multiplicação]
(iv) A(C + D) = AC + AD, (A + B)C = AC + BC. [distributividade da multiplicação em
relação à adição]
6
(v) α(AC) = (αA)C = A(αC).
(vi) AC = 0 ; (A = 0 ou C = 0).
(vii) (AC = AD e A 6= 0) ; (C = D).
(viii) a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Demonstração Demonstraremos, apenas, as propriedades (iii), (vi) e (viii), deixando as restantes como exercı́cio.
Sejam A = [aij ] ∈ Mm×n (K), C = [cij ] ∈ Mn×p (K) e E = [eij ] ∈ Mp×q (K). Então (AC)E e
A(CE) são ambas matrizes do tipo m × q. Por definição, sabemos que o elemento na posição
(i, j) de AC é
n
X
aik ckj ,
k=1
pelo que o elemento na posição (i, l) de (AC)E será
!
p
n
X
X
aik ckt etl .
t=1
k=1
De modo análogo, o elemento na posição (i, l) de A(CE) é
!
p
n
X
X
ckt etl .
aik
k=1
t=1
Utilizando as propriedades distributiva da multiplicação em relação à adição, associativa da
multiplicação e da adição e comutativa da adição em K, tem-se
!
!
p
p
p
p X
n X
n
n
n
X
X
X
X
X
X
aik (ckt etl ) =
(aik ckt ) etl =
aik ckt etl .
aik
ckt etl =
k=1
t=1
k=1 t=1
t=1
t=1 k=1
k=1
Podemos, pois, concluir que (AC)E = A(CE) e, consequentemente, que a propriedade (iii.)
é válida.
Consideremos as matrizes
"
A=
2 −1
−2 1
#
"
e C=
1 2
2 4
#
.
Temos que AC = 0, mas A 6= 0 e C 6= 0. Além disso,
"
#
−2 1
CA =
,
−4 2
pelo que AC 6= CA. Provámos, deste modo, as propriedades (vi) e (viii).
7
2
3
Inversa de uma matriz quadrada
Dado um número não nulo, real ou complexo, podemos falar do seu inverso multiplicativo.
Vejamos o que se passa relativamente às matrizes.
[Definição] Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é invertı́vel se existir
uma matriz X, quadrada de ordem n, para a qual AX = XA = In . Se não existir uma tal
matriz X, A diz-se não invertı́vel ou singular.
[Teorema] Seja A ∈ Mn (K). Então existe no máximo uma matriz X ∈ Mn (K) tal que
AX = XA = In . (Nestas condições, X diz-se a inversa de A e representa-se por A−1 .)
Demonstração Sejam X, Y matrizes quadradas de ordem n tais que AX = XA = In = AY =
Y A. Então Y = Y In = Y (AX) = (Y A)X = In X = X. Logo, existe no máximo uma matriz
X nas condições referidas.
2
[Exemplo] Sendo
"
1 1
−1 1
A=
#
,
temos que
"
1/2 −1/2
1/2 1/2
A−1 =
#
,
uma vez que
"
A
1/2 −1/2
1/2 1/2
#
"
1/2 + 1/2 −1/2 + 1/2
=
−1/2 + 1/2 1/2 + 1/2
"
#
1/2 −1/2
=
A = I2
1/2 1/2
#
[Exemplo] A matriz
"
A=
2 2
2 2
#
não admite inversa: suponhamos que existe X ∈ M2 (R) tal que AX = XA = I2 . Sendo
"
#
a b
X=
,
c d
temos que
"
AX =
2a + 2c 2b + 2d
2a + 2c 2b + 2d
#
"
=
1 0
0 1
#
,
pelo que 1 = 2a + 2c = 0, o que é impossı́vel. Logo, não existe uma tal matrix X e A não é
invertı́vel.
[Teorema] Sejam A, B ∈ Mn (K) invertı́veis. Então
8
(i) A−1 é invertı́vel e A−1
−1
= A.
(ii) AB é invertı́vel e (AB)−1 = B −1 A−1 .
Demonstração A propriedade (i) é trivial. Mostremos, de seguida, a propriedade (ii). Como
(AB) B −1 A−1 = A BB −1 A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In
e
B −1 A−1 (AB) = B −1 A−1 A B = B −1 In B = B −1 B = In ,
podemos concluir que AB é invertı́vel e que a sua inversa é B −1 A−1 .
4
2
Transposição de matrizes
[Definição] Dada uma matriz A = [aij ] ∈ Mm×n (K), define-se a transposta de A como sendo
a matriz AT = [bij ] ∈ Mn×m (K) onde bij = aji , para i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. A matriz A
diz-se simétrica se AT = A.
[Exemplo] Se
"
A=
1 −3 2
−1 4 5
#
,
então


1 −1


AT =  −3 4  .
2
5
A matriz


1 2 5


 2 4 3 
5 3 0
é simétrica, mas a matriz


1 2 5


 2 4 3 
5 1 0
já não o é, dado que os elementos nas posições (2, 3) e (3, 2) são distintos.
Note-se que os elementos da coluna i de AT são precisamente os da linha i de A, para
i = 1, . . . , m, e uma matriz é simétrica se e só se for quadrada e forem iguais os elementos
situados em posições simétricas relativamente à diagonal principal.
[Proposição] A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:
T
(i) AT = A.
9
(ii) (A + B)T = AT + B T .
(iii) (αA)T = αAT .
(iv) (AB)T = B T AT .
(v) Ak
T
= AT
k
, sendo k um número natural.
(vi) Se A for invertı́vel, então AT também é invertı́vel e AT
−1
= A−1
T
.
Demonstração Demonstraremos, apenas, a propriedade (iv). As restantes ficam como exercı́cio.
Sejam m, n, p ∈ N e A = [aij ]m×p e B = [bij ]p×n . Por um lado, AB = [cij ]m×n onde, para
cada i ∈ {1, 2, ..., m} e para cada j ∈ {1, 2, ..., n},
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + .... + aip−1 bp−1j + aip bpj .
Logo, (AB)T = [dij ]n×m onde, para cada i ∈ {1, 2, ..., n} e para cada j ∈ {1, 2, ..., m},
dij = cji = aj1 b1i + aj2 b2i + .... + ajp−1 bp−1i + ajp bpi .
Por outro lado, como AT = [eij ]p×m e B T = [fij ]n×p , onde
eij = aji
e
fij = bji ,
temos que B T AT = [xij ]n×m onde, para cada i ∈ {1, 2, ..., n} e para cada j ∈ {1, 2, ..., m},
xij
= fi1 e1j + fi2 e2j + ... + fip−1 ep−1j + fip epj
= b1i aj1 + b2i aj2 + .... + bp−1i ajp−1 + bpi ajp
= aj1 b1i + aj2 b2i + .... + ajp−1 bp−1i + ajp bpi ,
pelo que
dij = xij ,
para cada i ∈ {1, 2, ..., n} e para cada j ∈ {1, 2, ..., m}.
Logo, (AB)T = B T AT .
2
[Definição] Uma matriz quadrada A diz-se ortogonal se for invertı́vel e A−1 = AT .
[Exemplo] A matriz
#
" √
√
2/2 − 2/2
√
A= √
2/2
2/2
é ortogonal.
10
[Proposição] O produto de matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal.
Demonstração Sejam A, B matrizes ortogonais. Em particular, A e B são matrizes invertı́veis,
pelo que AB é invertı́vel. Mais, (AB)−1 = B −1 A−1 = B T AT = (AB)T .
2
[Proposição] A inversa de uma matriz ortogonal é também uma matriz ortogonal.
Demonstração Seja A uma matriz ortogonal. Então A−1 = AT . Assim,
A−1
−1
= AT
−1
= A−1
T
.
Temos, então, que a inversa de A−1 é igual à transposta de A−1 , donde A−1 é ortogonal. 2
[Definição] Sendo A = [aij ] ∈ Mm×n (C), define-se a conjugada de A como sendo Ā = [aij ] ∈
Mm×n (C). Escrevemos A∗ = ĀT . A matriz A diz-se hermı́tica se A = A∗ .
[Teorema] As matrizes complexas gozam das seguintes propriedades:
(i) (A∗ )∗ = A.
(ii) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ .
(iii) (αA)∗ = ᾱA∗ , sendo α um número complexo.
(iv) (AB)∗ = B ∗ A∗ .
(v) Ak
∗
= (A∗ )k , onde k ∈ N.
∗
(vi) se A for invertı́vel, então A∗ também é invertı́vel e (A∗ )−1 = A−1 .
2
Demonstração Exercı́cio.
11