Lista de Exercício – 2º Prova

Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Lista 2
- Novembro
Disciplina: Probabilidade II
de 2013
Prof.: Tarciana Liberal
1. Seja X com densidade
f (x) =
( 41
+
1
4,
x
8 ),
se −1 < x < 0;
se
0 ≤ x < 2;
Obtenha a função característica de X e verique sua resposta, calculando ϕ(0).
2. Seja ϕ(t) a função característica de uma variável aleatória X . Prove que se K(t) = lnϕ(t) então
(a) K 0 (0) = iµ = iE(X).
(b) K 00 (0) = i2 σ 2 = i2 V ar(X).
3. Coletamos uma amostra aleatória da variável X ∼ N (µ, σ 2 ). Que distribuição terá a média
amostral X = X1 +X2n+···+Xn .
4. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Exp(λ) cada uma. Usando
funções características, mostre que X − Y é simétrica ao redor de zero.
5. Obtenha a função característica e a partir dela obtenha a esperança e a variância dos seguintes
modelos:
(a) Gama(α, β)
(b) Bin(n, p)
(c) Geo(p)
6. Mostre, via função característica, que a soma de variáveis independentes de Bernoulli é Binomial.
7. Suponha que as variáveis aleatórias X e Y tenham função densidade conjunta dada por:
f (x, y) =
c(2x + y), 2 < x < 6 0 < y < 5;
0,
c.c.;
Determine:
(a) a constante c
(b) As funções de distribuição marginal para X e Y .
(c) As funções de densidade marginal para X e Y .
(d) P (3 < X < 4, Y > 2)
(e) P (X + Y > 4).
(f) a função de distribuição conjunta.
(g) se X e Y são ou não independentes.
(h) F (x) e F (y).
8. Verique se as variáveis X e Y são independentes:
(a) f (x, y) = e−(x+y) para x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 caso contrário.
(b) f (x, y) = 8xy para 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 e 0 caso contrário.
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Lista 2
Disciplina: Probabilidade II
- Novembro
de 2013
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9. Suponha que a V.A. bidimensional (X, Y ) tenha f.d.p. conjunta
f (x, y) =
(a)
(b)
(c)
(d)
kx(x − y), 0 < x < 2 − x < y < x;
0,
c.c.;
Calcule a constante k.
Ache a f.d.p marginal de X .
Ache a f.d.p marginal de Y .
Obtenha f (y|x) e f (x|y)
10. Em um pacote com cinco transitores, dois deles são defeituosos. Os transitores devem ser testados,
um de cada vez, até que aqueles defeituosos sejam identicados. Sejam X o número de testes
necessários para que o primeiro transitor defeituoso seja identicado e Y o número de testes
adicionais necessários para se encontrar o segundo transitor defeituoso. Determine a distribuição
de probabilidade de (X, Y ).
11. Considere um par de variáveis aleatórias (X, Y ) cuja função de distribuição é F = F (x, y) =
P (X ≤ x, Y ≤ y) com x, y ∈ R. Sejam FX e FY as funções de distribuição das variáveis aleatórias
X e Y , respectivamente. Mostre que: P (X > x, Y > y) = 1 − FX (x) − FY (y) + F (x, y).
12. Verique:
(a) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X)
(b) Cov(X, X) = V ar(X)
(c) Cov(aX, Y ) = Cov(X, aY ) = aCov(X, Y )
13. Se X e Y são independentes, mostre que E[X|Y = y] = E[X], ∀y .
14. Seja X uma variável aleatória com densidade f (x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1 e suponha que a distribuição
condicional de uma variável aleatória Y , dado X = x, é exponencial com parâmetro λx. Calcule
E(Y ) e V ar(Y ).
15. Uma moeda equilibrada é lançada 2 vezes de forma independente. Ao nal dos lançamentos, duas
variáveis aleatórias são anotadas: o número total de caras (X) e o número de coroas no segundo
lançamento (Y ).
(a) Apresente a distribuição conjunta de (X, Y )
(b) Determine o valor esperado de X .
(c) Sabendo que o número total de caras foi 1, determine o valor esperado do número de coroas
no segundo lançamento.
16. Em um estudo sobre o tratamento de crises asmáticas, estabeleceu-se a seguinte função conjunta
de probabilidades entre o número de crises de asmas (A) e o número de internações hospitalares
(H).
(a) Determine as funções de probabilidade marginal das variáveis A e H .
(b) Obtenha a função de probabilidade da variável A + H .
(c) Obtenha p(h|a) e p(a|h = 1)
(d) Obtenha E(H|A = 0) e E(A|H = 0).
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A/H
0
1
2
0
1/8
3/16
1/16
1
1/16
1/8
3/16
de 2013
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2
0
1/16
3/16
(e) A e H são independentes?
(f) Calcule a covariância e a correlação entre A e H . O que você pode concluir?
17. A variável X é Bernoulli com p = 0.4 e Y é binomial com p = 0.5 e n = 3. Admita que X e Y são
independentes.
(a) Determine P (X = 0|Y = 2).
(b) Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y e do produto XY .
(c) Calcule E(X), E(Y ) e E(XY ) e verique que E(XY ) = E(X)E(Y ).
(d) Determine o valor de Cov(X, Y ) e de Cor(X, Y ).
18. Alguns cientistas sociais acreditam que a opinião sobre o aborto independe da situação familiar.
O que você diria, após estuadar a amostra?
Situação/Opinião Favoráveis Contrários
Casados
56
24
Solteiros
15
25
Divorciados
124
16
Viúvos
13
27
19. Considere a frase "Para mais saúde pratique mais esporte"'. Escolha ao acaso uma palavra dessa
frase e considere as variáveis aleatórias número de vogais (V ) e número de consoantes (C).
(a) Determine a conjuta de V e C .
(b) Obtenha as funções de probabilidade marginais.
(c) As variáveis são independentes? Justique.
(d) Se a escolha acima resultou em V = 2, qual a probabilidade da lavras "`mais"' ter sido a
escolhida?
20. Considere duas variáveis aleatórias independentes U ∼ P oisson(2) e V ∼ Geo(0.3) A partir dessas
variáveis denimos outras duas da seguinte forma:
0, se U = 0;
X=
1, se U ≥ 1;

 −1, se V = 0;
0, se V = 1;
Y =

1, se V ≥ 2;
(a) Construa a cojunta de X e Y e determine Cov(X, Y ).
(b) Determine o valor esperado e a variância de 2X − 3Y .
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21. Duas variáveis aleatórias independentes X e Y têm, respectivamete, as funções de densidade.
Determine
c1 e−2x , se x > 0;
0, se x ≤ 0;
c2 ye−3y , se y > 0;
0, se y ≤ 0;
f (x) =
g(y) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
c1 e c2
P (X + Y > 1)
P (1 < X < 2, Y ≥ 1)
P (1 < X < 2)
P (Y ≥ 1)
22. Se X e Y têm função de densidade conjunta apresentada a seguir. Determine:
f (x, y) =
(a)
(b)
(c)
(d)
8xy, 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ x;
0,
c.c.;
f (x|y)
f (y|x)
Verique se X e Y são independentes.
Obtenha E(Y |X) e E(X|Y ).
23. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta apresentada a seguir.
Determine
f (x, y) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
c(x2 + y 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1;
0,
c.c.;
a Constante c.
P (X < 1/2, Y > 1/2)
P (Y < 1/2)
Verique se X e Y são independentes.
Calcule a covariância e a correlação das variáveis. O que vc pode concluir?
Obtenha a função de distribuição conjunta.
24. Prove os seguintes teoremas:
(a) Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
(b) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes Cov(X, Y ) = 0.
25. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, cada uma com função densidade apresentada a
seguir. Calcule
f (u) =
2e−2u , u ≥ 0;
0,
c.c.;
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(a) E(X + Y ).
(b) E(XY )
26. Sejam X e Y com função densidade conjunta apresentada a seguir. Determine:
f (x, y) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
x + y, 1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1;
0,
c.c.;
E(Y |X).
E(X|Y ).
Cov(X, Y ).
Cor(X, Y ).
F (x, y)
f (x|y) e f (y|x).
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