. Respostas: E(X|Y ) = de E(Y ) e E(Y 2). Resposta: aE(Y 2) + bE(Y

Probabilidade II
Lista 3 - Esperança Condicional
Exercício 1. Suponha que o vetor (X, Y ) seja uniformemente distribuído sobre o semicírculo denido por
A = {(x, y) √
: x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. Determine E(X|Y ) e E(Y |X). Respostas: E(X|Y ) = 0 e
E(Y |X) = 12 1 − X 2 .
Suponha que o vetor (X, Y ) seja uniformemente distribuído sobre o triângulo de vértices (0, 0),
(1, 2) e (1, 0). Determine E(X|Y ) e E(Y |X). Respostas: E(X|Y ) = Y4 + 12 e E(Y |X) = X .
Exercício 2.
Exercício 3.
Se Y ∼ Bernoulli(p), E(X|Y = 0) = 1 e E(X|Y = 1) = 2, mostre que E(X) = 1 + p.
Suponha que E(X|Y ) = aY + b, para constantes a e b. Obtenha o valor de E(XY ) em função
de E(Y ) e E(Y 2 ). Resposta: aE(Y 2 ) + bE(Y ).
Exercício 4.
Exercício 5.
Prove ou dê um contra-exemplo para: E(X|aY + b) = E(X|aY ) + E(X|b).
A densidade conjunta de X e Y é dada por f (x, y) = (x+y)I(0,1) (x)I(0,1) (y). Obtenha E(X|Y )
2+3Y
2+3X
e E(Y |X). Respostas: E(X|Y ) = 3(2Y
+1) e E(Y |X) = 3(2X+1) .
Exercício 6.
A função conjunta de X e Y é dada por f (x, y) = 4e−2y I(0,y) (x)I(0,∞) (y). Obtenha E(2X|Y ),
3
E(X 2 |Y ) e E[E(Y |Y )]. Respostas: E(2X|Y ) = Y , E(X 2 |Y ) = Y3 e E[E(Y |Y )] = 1.
Exercício 7.
Exercício 8. Sejam X e Y v.a's denidas no mesmo espaço de probabilidade. A variância condicional de
X , dado que Y = y , é o valor esperado dos desvios da variável em relação à esperança condicional, ou seja,
V ar(X|Y = y) = E{[X − E(X|Y = y)]2 |Y = y} = E(X 2 |Y = y) − E 2 (X|Y = y);
supondo a existência das esperanças envolvidas.
Posto isso, mostre que V ar(X) = E[V ar(X|Y )] + V ar[E(X|Y )], admitindo que sejam nitas as esperanças e variâncias envolvidas.
Exercício 9.
Sejam X e Y v.a's contínuas com densidade conjunta dada por:
1
f (x, y) = (6 − x − y)I(0,2) (x)I(2,4) (y).
8
a) Obtenha E(Y |X = x) e V ar(Y |X = x).
3x2 +26
V ar(Y |X = x) = (9−3x)
2 , para x ∈ (0, 2).
Respostas:
E(Y |X = x) =
26−9x
9−3x ,
para x ∈ (0, 2) e
b) Verique que E(Y ) = E[E(Y |X)].
c) Calcule E(XY |X = x).
Resposta:
E(XY |X = x) =
26x−9x2
9−3x ,
para x ∈ (0, 2).
Seja X uma v.a. com densidade fX (x) = 3x2 I(0,1) (x). A densidade condicional de Y dado
[X = x] é fY |X (y|x) = (3y 2 /x3 )I(0,x) (y). Determine E(X|Y ).
Exercício 10.
Sejam X e Y v.a's com variâncias nitas e positivas. Mostre que se E(X|Y ) é constante para
todos os valores de Y , então X e Y são não correlacionadas.
Exercício 11.
Exercício 12. Sejam X e Y v.a's independentes com distribuição Poisson de parâmetros λ1 e λ2 , respectivamente. Para a v.a. S = X + Y , obtenha a distribuição, a esperança e a variância condicional de X dado
Sλ1 λ2
1
S . Respostas: E(X|S) = λ1Sλ
+λ2 e V ar(X|S) = (λ1 +λ2 )2 .
Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que E(X|Y ) = aY + b. Obtenha o valor das constantes
a e b, em função de E(X), E(Y ), V ar(X) e Cov(X, Y ), desde que essas quantidades existam e V ar(X) seja
positiva e nita.
Exercício 13.
1
Escolhendo um valor x de acordo com X ∼ Exp(λ), a variável aleatória Y |(X = x) será
2
uniforme contínua em [0, x]. Determine E(Y |X) e V ar(Y |X). Respostas: E(Y |X) = X2 e V ar(Y |X) = X12 .
Exercício 14.
DISTRIBUIÇÃO
Os exercícios foram distribuídos de acordo com a tabela abaixo. Os exercícios são individuais e a entrega
deverá ser feita até 07 de maio.
Allan Rogger Pereira Elizário - 5 e 10
Brunna Maria de Oliveira Lorenzon - 6 e 9
Daniela Gomes Fagundes - 1 e 4
Daniella Guimarães de Almeida Bueno - 2 e 13
Diego da Silva Morais - 3 e 11
Diego Ribeiro Silva Toledo - 3 e 6
Diogo Bruno Ribeiro Silva - 6 e 9
Elaine de Moura Macedo - 4 e 10
Herberth Duarte dos Santos - 10 e 13
João Pedro Pires Gonçalves - 5 e 9
José Francisco Arruda e Silva - 4 e 11
José Humberto de Araújo Ferraz - 11 e 14
Karollyna Barbosa Bie - 4 e 7
Laís Franco - 1 e 14
Lucas Santos Bicalho - 1 e 12
Ludmilla Pereira Pimenta - 5 e 8
Patrick Mandela Ferreira Barbosa - 2 e 13
Paulo Henrique Isecke Neto - 6 e 8
Pedro Leonardo Longhin Silva - 3 e 12
Rodrigo de Queiróz Barbosa - 7 e 10
Walef Pacíco da Lima - 2 e 5
Wennerkeinny Wendley Stalschus de Oliveira - 7 e 8
2