Indicadores para dados univariados Dados agrupados em c classes

Indicadores para dados univariados
Regressão linear simples
x1 , x2 , · · · , xn
ybi = b0 + b1 xi
o
F ∗ (x) = n de nxi ≤ x
f.d. empírica
amostra ordenada
x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n)


n ímpar
 x( n+1
2 )
mediana x̃ =

 1 x( n ) + x( n +1)
n par
2
2
2
Quantil de ordem θ (0 < θ < 1)

 1 x
se nθ inteiro
(nθ) + x(nθ+1)
∗
2
Qθ =

x([nθ]+1)
se nθ não inteiro
[nθ] designa a parte inteira de nθ
barreira inferior
barreira superior
Q1 =
s2x =
Q∗0.25 ;
BI = Q1 − 1.5(Q3 − Q1 )
2
n
i=1 (xi − x)
=
n−1
se x0i = a + bxi
yi = b0 + b1 xi + ei

 b = cov(x, y) = r sy ,
sx 6= 0
1
s2x
sx

b0 = y − b1 x
Pn
Pn
Pn
2
2
2
i=1 (yi − y) =
i=1 (yi − yˆi ) +
i=1 (ŷi − y)
⇔ SQT = SQE + SQR
R2 =
SQR
cov 2 (x, y)
= r2
=
SQT
s2x s2y
Estimação e Inferência
b
Erro quadrático
de
hmédio
i
2 Θ, estimador de um parâmetro θ
b = E Θ
b − θ + V ar[Θ]
b
EQM [Θ]
BS = Q3 + 1.5(Q3 − Q1 )
Q2 = Q∗0.5 ;
Pn
ybi − y = b1 (xi − x)
Q3 = Q∗0.75
Pn
Pn
2
2
i=1 xi − (
i=1 xi )
n(n − 1)
então x0 = a + bx,
s2x0 = b2 s2x
Dados agrupados em c classes
ni , fi , x0i frequência absoluta, frequência relativa e
ponto médio da classe i, respectivamente
Pc
Pc
n x0
x ' i=1n i i = i=1 fi x0i
Pc
Pc
ni (x0i − x)2
ni x02
i
= i=1
− x2
s2x ' i=1
n
n
Seja k a primeira classe tal que Fk ≥ θ
θ − Fk−1
Q∗θ ' xmin
+ xmax
− xmin
k
k
k
fk
(X1 , X2 , ..., Xn ) amostra aleatória retirada de uma população N (µ, σ)
Pn
Xi
X −µ
√ _ N (0, 1)
X = i=1
e
n
σ/ n
2
Pn
Xi − X
(n − 1)S 2
S 2 = i=1
e
_ χ2(n−1)
n−1
σ2
X −µ
√ _ t(n−1)
S/ n
X1 _ N (µ1 , σ1 )
e X2 _ N (µ2 , σ2 )
e tendo duas amostras aleatórias independentes, uma de
cada população, com dimensões n1 e n2 , respectivamente.
q 2
σ
σ2
X1 − X2 _ N µ1 − µ2 , n11 + n22
σ22 S12
_ F(n1 −1,n2 −1)
σ12 S22
Indicadores para dados bivariados
Testes de hipóteses
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn )
Pn
(xi − x) (yi − y)
cov(x, y) = i=1
Pn
Pn n − 1 Pn
n i=1 xi yi − i=1 xi i=1 yi
=
n(n − 1)
cov(x, y)
se sx 6= 0, sy 6= 0
r = rx,y =
sx sy
H0
hipótese nula
H1
hipótese alternativa
se x0i = a + bxi e yi0 = c + dyi
cov(x0 , y 0 ) = bd cov(x, y)
(
rx,y
se bd > 0
rx0 ,y0 =
−rx,y se bd < 0
P(erro de 1a espécie)=P(Rejeitar H0 | H0 verdadeira)= α
P(erro de 2a espécie)=P(Não rejeitar H0 | H0 falsa) =β
regra de decisão:
rejeitar H0 se
p-value
≤α
b, d 6= 0
O Teste de Shapiro Wilk
H0 : X tem distribuição normal
H1: X não tem distribuição normal
Probabilidade de acontecimentos
Cov[a + bX, c + dY ] = bd Cov[X, Y ] a, b, c, d ∈ IR
Cov[X, Y ]
ρ = ρX,Y =
σX , σY 6= 0
σX σY
ρa+bX,c+dY = ρX,Y se bd > 0
a, b, c, d ∈ IR
P (A − B) = P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B)
P (A|B) = 1 − P (A|B)
se P (B) 6= 0
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B)
−P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
Distribuição binomial
X _ B(n, p) ⇔ n − X _ B(n, q) com q = 1 − p
Variáveis aleatórias
X v.a. contínua com função densidade fX (x) e
Aproximações das distribuições
Y = ϕ(X), estritamente
monótona e derivável, então
dx fY (y) = fX (x) com x = ϕ−1 (y)
dy
X _ H(N, n, k) e
Parâmetros (de funções) de uma v.a. X
 X

ϕ(xi )pi ,
se X discreta
E[ϕ(X)] =
i
 R +∞
ϕ(x)f (x)dx, se X contínua
−∞
σ 2 = V ar[X] = E[(X − µ)2 ] = E[X 2 ] − µ2
(µ = E[X])
V ar[a + bX] = b2 V ar[X]
Função geradora de momentos
> 10 ⇒ X ∼ B (n, p) com p =
N
n
X _ B(n, p), n ≥ 20 e p ≤ 0.05 ⇒ X ∼ P (λ) com λ = np
X _ B(n, p), np > 5 e nq > 5 ⇒ X ∼ N (µ, σ)
√
com µ = np, σ = npq
X _ P(λ) e λ > 12 ⇒ X ∼ N (µ, σ) com µ = λ, σ =
√
λ
Teorema Limite Central
Sejam X1 , . . . , Xn , v.a.'s independentes e identicamente
distribuídas com valor médio µ e variância σ 2 (nita).
n
n
P
P
Sn =
Xi e X n = n1
Xi tem-se, c/ n grande
i=1
i=1
Sn − nµ
√
∼ N (0, 1)
σ n
MX (t) = E[etX ]
k
N
Xn − µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
e
Ma+bX (t) = eat MX (bt)
Se X e Y v.a.'s independentes MX+Y (t) = MX (t)MY (t)
Construção de modelos (distribuições)
Se MX (t) está denida numa vizinhança de zero
n v.a.'s Zi _ N (0, 1) independentes ⇒
d(r) MX (t)
= E[X r ],
dtr
|t=0
Z _ N (0, 1) e Y _ χ2(n) independentes ⇒ p
Zi2 _ χ2(n)
i=1
r = 1, 2, ...
Par aleatório (X, Y ) discreto com função massa de
probabilidade conjunta P [X = xi , Y = yj ] = pij
P
P
marginais
pi· = j pij
p·j = i pij
pij
condicional
P [X = xi |Y = yj ] =
p·j
Par aleatório (X, Y ) contínuo com função densidade
conjunta f (x, y)
R +∞
fX (x) = −∞ f (x, y)dy
f (x, y)
fX|Y =y (x) =
fY (y)
n
P
fY (y) =
R +∞
−∞
f (x, y)dx
Parâmetros de funções de um par aleatório (X, Y ).
 PP

g(xi , yj )pij

i j
E[g(X, Y )] =
RR

g(x, y)f (x, y)dxdy

(X, Y ) discreto
(X, Y ) contínuo
R2
σX,Y = Cov[X, Y ] = E[(X − µX )(Y − µY )]
= E[XY ] − E[X]E[Y ]
(µX = E[X], µY = E[Y ])
V ar[X ± Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] ± 2 Cov[X, Y ]
X _ χ2(m) e Y _ χ2(n)
X _ F(m,n) ) ⇒
Z
_ t(n)
Y /n
X/m
independentes ⇒
_ F(m,n)
Y /n
1
_ F(n,m)
X
Expressões úteis
Combinações de n elementos k a k , n, k ∈ IN0
n!
n
n
=
k≤n
Ck =
k
k!(n − k)!
R +∞ n −x
x e dx = n!, n ∈ IN0
0
∞
P
2
3
xn
ex = 1 + x + x2! + x3! + · · · =
n!
n=0
a(1 − rn+1 )
ar =
1−r
k=0
n
P
k
∞
P
ark =
k=0
a
,
1−r
se |r| < 1
Algumas regras de primitivas
Uma primitiva de xe−x
0
P (f g) = F g − P (F g )
0 α
P (f f ) =
0 f
f α+1
α+1
f
+C
P (f e ) = e + C
é
−e−x (x + 1)
F = Pf
α ∈ IR \ {−1}
0
P ff = log|f | + C