solução analítica em problema de condução de calor com

POSMEC 2014 - Simpósio do Programa de Pós - Graduação em Engenharia Mecânica
Faculdade de Engenharia Mecânica - Universidade Federal de Uberlândia
26 a 28 de Novembro de 2014, Uberlândia - MG
SOLUÇÃO ANALÍTICA EM PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR
COM MULTICAMADA
Gabriela Costa de Oliveira,Universidade Federal de Uberlândia, [email protected]
Ana Paula Fernandes, Universidade Federal de Uberlândia1 , [email protected]
Sidney Ribeiro, Universidade Federal de Uberlândia, [email protected]
Gilmar Guimarães, Universidade Federal de Uberlândia, [email protected]
Resumo. Este trabalho apresenta o método de obtenção da solução analítica da temperatura para problema de transferência de calor multicamada, ou seja a geometria analisada é composta por materiais de propriedades termofísicas
distintas. A obtenção da solução analítica para problema de condução de calor multicamada requer procedimentos mais
elaborados que a solução de problemas de uma única camada, tanto para adequar a equação-solução em termos de
funções de Green (FG) quanto para o cálculo dos autovalores. Portanto, objetiva-se, apresentar de uma forma didática
todos os cálculos necessários, desde as autofunções até os autovalores para obtenção da solução multicamada.
Palavras chave: Funções de Green, Solução Analítica, Multicamada.
1. INTRODUÇÃO
Especificamente, no ramo da engenharia mecânica dentre os fenômenos estudados estuda-se a transfêrencia de calor
por condução que se dá devido ao gradiente de temperatura em meio sólido e que pode ser modelado matemáticamente
pela equação da difusão.
As soluções analíticas representam uma importante ferramenta para a solução de problemas de engenharia, uma vez
que podem ser usadas para a validação de soluções aproximadas, facilitam a análise e o entendimento de problemas
físicos Fernandes (2009), possibilitando fornecer informações precisas e rápidas sobre o comportamento das distribuições
de temperatura e fluxo de calor que podem ser difíceis de perceber a partir das soluções numéricas.
2. SOLUÇÃO ANALÍTICA
O problema de condução de calor 1D mostrado na Fig. 1, com duas camadas, é referenciado como X2C12 por (HajiSheikh, 2014) e descrito pelas Eqs. (1a)-(1d)
camada
camada
1
2
q(t)
x=0
x=b
x
x=L
Figure 1. Problema térmico X2C12
∂ 2 T1
1 ∂T1
∂ 2 T2
1 ∂T2
+
g(x,
t)
=
0
≤
x
≤
b
e
=
b≤x≤L
∂x2
α1 ∂t
∂x2
α2 ∂t
(1a)
Sujeita as condições de contorno
−k1
∂T1 = 0;
∂x x=0
−k2
∂T2 =0
∂x x=L
(1b)
Gabriela Costa, Ana Paula Fernandes, Sidney Ribeiro, Gilmar Guimarães
Solução analítica em problemas de condução de calor com multicamada
condições de continuidade
∂T2 ∂T1 = −k2
−k1
∂x x=b
∂x x=b
T1 |x=b = T2 |x=b ;
(1c)
e condição inicial
T1 (x, 0) = T2 (x, 0) = F (x) = T0
(1d)
A solução para temperatura em cada região i é dada por
Ti (x, t) =
(Z
M
X
xj+1
0
0
0
Z tZ
Gij (x, t|x , 0)Fj (x )dx + αj
xj
j=1
xj+1
0
xj
gj (x0 , τ ) 0
Gij (x, t|x , τ )
dx dτ
kj
)
0
(2)
onde xj ≤ x ≤ xj+1 , para j = 1, 2, ..., M , são os limites de cada camada, e, Gij (x, t|x0 , τ ) é a função de Green para
problemas multicamadas.
Para M = 2, define-se duas camadas dadas pelos seguintes intervalos 0 ≤ x ≤ b e b ≤ x ≤ L, sendo x1 = 0, x2 = b
e x3 = L. Assim, tem as soluções T1 e T2 definidas respectivamente pelas Eqs. (3) e (4).
Z tZ
x2
T1 (x, t) = α1
0
G11 (x, t|x0 , τ )
x1
Z tZ
x2
T2 (x, t) = α1
0
G21 (x, t|x0 , τ )
x1
g1 (x0 , τ ) 0
dx dτ + α2
k1
Z tZ
g1 (x0 , τ ) 0
dx dτ + α2
k1
Z tZ
0
0
x3
G12 (x, t|x0 , τ )
g2 (x0 , τ ) 0
dx dτ
k2
(3)
G22 (x, t|x0 , τ )
g2 (x0 , τ ) 0
dx dτ
k2
(4)
x2
x3
x2
Como a geração de calor é dada em um volume de espessura infinitesinal, g(x, t) = q(t)δ(x − 0), isto implica que ela
ocorre em x = 0, assim, g1 (x, t) = g(x, t) e g2 (x, t) = 0, portanto a segunda parte das (3) e (4) são nulas.
A função de Green Gij é dada por Haji-Sheikh and Beck (2002)
Gij (x, t|x0 , τ )
=
∞
X
2
e−λn (t−τ )
n=1
1
Xin (x)Xjn (x0 ),
Nx
(5)
onde Xin e Xjn são as autofunções e λn os autovalores.
E a norma Nx é definida por
Nx
=
M Z
X
j=1
xj+1
Xjn(x0 )
2
dx0
(6)
xj
Portanto, considerando o problema com geração de calor em um volume de espessura infinitesimal, ou seja, em x = 0
e fluxo de calor nulo em x = 0, a solução para a temperatura se reduz para o intervalo [x1 , x2 ]:
Z
Z
∞
α1 X X1n t −λ2n (t−τ ) x2
e
X1n (x0 )q(t)δ(x0 − 0)dx0 dτ
k1 n=1 Nx 0
x1
Z
∞
2
α1 X X1n (x)X1n (0) t
q(t)e−λn (t−τ ) dτ
=
k1 n=1
Nx
0
T1 (x, t) =
(7)
Gabriela Costa, Ana Paula Fernandes, Sidney Ribeiro, Gilmar Guimarães
Solução analítica em problemas de condução de calor com multicamada
e para o intervalo [x2 , x3 ]:
Z
Z
∞
α1 X X2n t −λ2n (t−τ ) x2
X1n (x0 )q(t)δ(x0 − 0)dx0 dτ
e
k1 n=1 Nx 0
x1
Z t
∞
X
2
α1
X2n (x)X1n (0)
=
q(t)e−λn (t−τ ) dτ
k1 n=1
Nx
0
T2 (x, t) =
(8)
As autofunções X1 = X1n (x) e X2 = X2n (x) são obtidas utilizando o método de separação de variáveis. Assim:
T1 (x, t) = X1 (x)Γ1 (t) e T2 (x, t) = X2 (x)Γ2 (t)
(9a)
Substituindo a Eqs. (9a) em Eqs. (1a) respectivamente tem-se
∂ 2 X2
λ2
∂ 2 X1
λ2
2
2
2
2
+
γ
X
=
0
e
+
η
X
=
0
onde
γ
=
e
η
=
1
2
∂x2
∂x2
α1
α2
(10)
As soluções para essas EDO’S são as autofunções que deseja-se obter:
X1 = Acos(γx) + Bsen(γx) e X2 = Ccos(ηx) + Dsen(ηx)
(11a)
A Eqs. (11a) deve satisfazer a condição de contorno em x = 0, isto é
−k1
∂X1 =0
∂x x=0
(12)
Substituindo a autofunções X1 Eq (11a) na Eq (12) e resolvendo a expressão, obtem-se B = 0 e sem perda de
generalidade conclui-se que A = 1 (Özişik, 1993). Em seguida, deve-se satisfazer as condições de contorno em x = b
X1 |x=b = X2 |x=b ;
∂X1 ∂X2 −k1
= −k2
∂x x=b
∂x x=b
(13)
Substituindo X1 e X2 na equação (13) segue-se
cos(γb) − Ccos(ηb) − Dsen(ηb) = 0 e −
k1
k2
γ
sen(γb) + Csen(ηb) − Dcos(ηb) = 0
η
(14)
A condição de contorno em x = L é definida como
∂X2 =0
−k2
∂x x=L
(15)
Sustituindo X2 na equação Eq. (15) as Eqs., (14), (15) em forma matricial é definida por:

cos(γb)
cos(ηb)
sen(ηb)

1


sen(ηb)
−cos(ηb)   C
 −Ksen(γb)
0
−ηsen(ηL) ηcos(ηL)
D


0
 
= 0
0


 ; ondeK =
k1
k2
γ
η
(16)
Resolvendo o sistema linear dado pela equação (16) os coeficientes C e D são determinados e as autofunções é dada pela
Eq.(18)
C = cos(ηb)cos(γb) +
k1
k2
γ
k1
γ
sen(γb)sen(ηb) e D = cos(γb)sen(ηb) −
sen(γb)cos(ηb) (17)
η
k2
η
Gabriela Costa, Ana Paula Fernandes, Sidney Ribeiro, Gilmar Guimarães
Solução analítica em problemas de condução de calor com multicamada
X1 = cos(γx)
k1
γ
X2 = cos(ηb)cos(γb) +
sen(γb)sen(ηb) cos(ηx)
k2
η
k1
γ
+ cos(γb)sen(ηb) −
sen(γb)cos(ηb) sen(ηx)
k2
η
(18)
Portanto, para obtenção da solução de temperatura basta substituir as autofunções nas equações Eq. (7) e Eq. (4)
Para obtenção dos autovalores utiliza-se a equação Eq. (16). Nesse caso, os autovalores são obtidos numericamente,
pois trata-se de uma equação transcendental.
cos(γb)
cos(ηb)
sen(ηb)
sen(ηb)
−cos(ηb)
−Ksen(γb)
0
−ηsen(ηL) ηcos(ηL)
= 0 e tan(γb) = −Ktan[η(b − L)]
(19)
A solução da equação Eq. (19) é obtida por aproximações assíntoticas.
A solução das Eqs. (7)-(4) pode ser representada graficamente como mostra a Fig. 2 considerando fluxo de calor
prescrito igual 4 × 105 [W/m2 ], T0 = 0 [o C], L = 5 × 10−2 [m], b = L/2 [m], α1 = 18, 8 × 10−6 , α2 = 117 × 10−6 ,
k1 = 64 [W/mk] e k2 = 401 [W/mk].
400
t=0s
t=50s
t=100s
T [T1 T2]: temperatura (ºC)
350
camada 1 ←
→ camada 2
300
250
200
150
100
50
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02 0.025 0.03
x, comprimento L (m)
0.035
0.04
0.045
0.05
Figure 2. Comprimento versus Temperatura considerando três tempos constantes.
3. CONCLUSÃO
Todos os procedimentos necessários para obtenção dos autovalores e das autofunções foram apresentados e assim
obteve a solução de temperatura com duas camadas.
4. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Fernandes, A.P., 2009. Funções de Green: soluções analíticas aplicadas a problemas inversos em condução de calor.
Master’s thesis.
Haji-Sheikh, A., 2014. “Two-layer slab with perfect contact between layers; with zero in heat flux at one boundary, zero
heat flux at other boundary”. URL http://exact.unl.edu/.
Haji-Sheikh, A. and Beck, J., 2002.
“Temperature solution in multi-dimensional multi-layer bodies”.
Interna-
tional Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, No. 9, pp. 1865 – 1877. ISSN 0017-9310. doi:http://dx.
doi.org/10.1016/S0017-9310(01)00279-4. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/
pii/S0017931001002794.
Özişik, M.N., 1993. Heat Conduction. Wiley interscience, New York.
5. RESPONSABILIDADE PELAS INFORMAÇÕES
Os autores são os únicos responsáveis pelas informações incluídas neste trabalho.