Equação de Schrödinger e Suas Aplicações

1
Equação de Schrödinger e
Suas Aplicações
André Luis Bonfim Bathista e Silva
Instituto de Física de São Carlos – Universidade de São Paulo
São Carlos – 2003
2
1 Introdução
Em 1926, o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) publicou quatro trabalhos
nos Annales de Physique Leipzig (1) nos quais desenvolveu a sua famosa Mecânica Quântica
Ondulatória, cujo resultado principal é a equação para as órbitas estacionárias dos elétrons
atômicos, a igualmente famosa equação de Schrödinger:
[
]
h2
∇ Ψ( x, y, z ) +
E − V( x, y, z ) Ψ( x, y, z ) = 0
2m
2
[1]
Em relação ao trabalho de Bohr, o trabalho de Schrödinger foi bem mais completo. Uma
vez que prevê também o seguinte:
•
As autofunções são correspondentes a cada autovalor.
•
Prevê o cálculo da probabilidade de um determinado estado.
•
Prevê o cálculo da probabilidade de transição de um estado para outro.
•
Calcula os momentos angulares orbitais.
A equação de Schrödinger nada mais é que uma equação diferencial de segunda ordem,a
qual podemos aplicar para um sistema como o átomo de 1H e calcularmos os seus níveis de
energias correspondentes. Historicamente foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou, onde os
autovalores de energia são os mesmos que previstos por Bohr.
3
2 Construção da Equação de Schrödinger
Primeiramente temos que resolver um problema de dois corpos. Neste caso, podemos
reduzir o sistema de dois corpos a um sistema de um corpo (2), considerando a massa reduzida
do sistema:
µ=
m1m2
m1 + m2
[2]
Este é o termo que é introduzido na equação Schrödinger e podemos adquiri-lo através do
cálculo do centro de massa e para acharmos o centro de massa temos que fazer a seguinte
igualdade m1r1=m2r2 e se variarmos r logo teremos o centro de massa. Considerando m2>>m1
m1r1 = m2 r2
[3]
r = r1 + r2
[4]
r1 = r − r2 ; r2 = r − r1
[4.1]
Substituindo [4.1] em [3] obtemos,
r1 =
m2
m1
r e r2 =
r
m2 + m1
m1 + m2
[5]
Como o próton e o elétron estão translacionando e girando com velocidades próprias. Podemos
obter a expressão da energia cinética total do sistema e a velocidade angular.
EK =
ω=
m1v12 m2v22
+
2
2
[6]
v1
v
eω= 2
r1
r2
(
EK =
1
m1r12ω 2 + m2 r22ω 2
2
EK =
1
m1r12 + m2 r22 ω 2
2
(
)
)
[7]
4
I=
sendo
(
)
1
m1r12 + m2 r22
2
[8]
Substituindo [5] em [8]
1 mm 
I =  1 2 r 2
2  m1 + m2 
µ=
m1m2
m1 + m2
EK =
[9]
[10]
1 2 2
µr ω
2
[11]
No átomo de 1H o núcleo é massivo e o elétron tem massa reduzida µ dada pela eq. [10]
de tal maneira que gira em torno do núcleo estacionário.
elétron
Figura 1: representação do átomo de hidrogênio
O potencial de interação (coulombiano) do elétron-próton é dado pela relação
Z .e 2
V( x , y , z ) = −
4πε 0 ( x 2 + y 2 + z 2 )1/ 2
[12]
Onde e- = carga do elétron, Z = carga do núcleo ( para o 1H, Z = 1)
A eq. de Schroedinger dependente do tempo para este sistema é a seguinte relação,
conforme mostrado abaixo:
5
−
∂Ψ( x, y, z,t )
h2  ∂2 ∂2 ∂2 
 2 + 2 + 2 Ψ( x, y, z,t ) + V( x, y, z) Ψ( x, y, z,t ) = ih
∂t
2µ  x
y z 
[13]
ou numa notação mais compacta: onde se consideramos o operador laplaciano
∇2 =
∂2 ∂2 ∂2
+
+
x2 y2 z2
[14]
Assim a eq. de Schroedinger pode ser reescrita assim:
h2 2
∂Ψ
∇ Ψ + VΨ = ih
2µ
∂t
[15]
Cuja solução é dada:
Ψ(x, y, z, t) = ϕ (x, y,z) e -iEt/h
[16]
Onde ψ(x,y,z) é a função onda independente do tempo dada pela resolução da eq. de Schroedinger
independente do tempo a seguir:
h2 2
−
∇ Ψ( x , y , z ) + V( x , y , z ) Ψ( x , y , z ) = EΨ( x , y , z )
2µ
[17]
ou
−
h2
2µ
∂2 ∂2 ∂2 
 2 + 2 + 2  Ψ( x , y , z , ) + V( x , y , z ) Ψ( x , y , z , ) = E Ψ (x,y,z)
y
z 
x
[18]
Para resolvermos a equação acima é melhor escreve-la em coordenadas esféricas e usar o
método de separação de variáveis
6
z
elétron
θ
Próton
y
φ
x
Figura 2: representação da interação coulômbiana entre o próton e o elétron,
aplicando as notações de coordenadas esféricas para resolver a equação de
Schrödinger.
De acordo com a Figura 2, r é o raio vetor posição do elétron,
r = x2 + y 2 + z 2
[19]
θ é o angulo polar, o qual cresce a partir do eixo z para o plano xy
θ = arccos
z
x 2 + y2 + z 2
[20]
e φ é o ângulo azimutal, o qual cresce de x para y.
ϕ = arctg
onde temos
y
x
[21]
 x = r sen θ cos φ

 y = rsenθsenφ
z = rcosθ

E o laplaciano em coordenadas esféricas é dado assim:
∇2 =
1 ∂ 2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
(
r
)
+
(sen
θ
)
+
∂r
∂θ
r 2 ∂r
r 2 sen θ ∂θ
r 2 sen 2 θ ∂ϕ 2
[22]
A equação de Schroedinger em coordenadas esféricas fica assim após aplicarmos o operador
laplaciano esférico: eq. [18]
7
−
h 2  1 ∂  2 ∂Ψ 
1
1
∂ 
∂Ψ 
∂ 2Ψ 
sen
θ
r
+
+





 + V( r ,θ ,ϕ ) Ψ( r ,θ ,φ ) = EΨ( r ,θ ,φ ) [23
2µ  r 2 ∂r  ∂r  r 2 sen θ ∂θ 
∂θ  r 2 sen 2 θ ∂ϕ 2 
]
Nota importante: Podemos escrever a função de onda Ψ( r ,θ ,φ ) Como um produto de três funções
(3) tal que
Ψ (r , φ , θ ) = R(r )Φ (φ )Θ(θ )
1. A primeira R(r) = dependência em r ( radial afastamento do elétron)
2. A segunda Θ(θ) = dependência em θ (mostra a posição polar do elétron)
3. A outra função Φ(ϕ) = mede a posição azimutal do elétron na sua trajetória
Podemos realizar esta representação porque há um campo de força central na equação.
Aplicando agora a separação de variáveis. A equação [23] pode ser reescrita (veja notação da
derivada e o que deriva parte constante fica fora da derivada)
−
−
h 2 1ΘΦ d  2 dR 
1RΦ d 
dΘ 
1RΘ d 2 Φ 
r
+
sen
θ
+





 + V( r ,θ ,ϕ ) RΘΦ = ERΘΦ
2 µ  r 2 dr  dr  r 2 sen θ dθ 
dθ  r 2 sen 2 θ dϕ 2 
h 2 1ΘΦ d  2 dR 
1RΦ d 
dΘ 
1RΘ d 2Φ 
r
+
θ
+
sen





 + V (r ) RΘΦ = ERΘΦ
2 µ  r 2 dr  dr  r 2 sen θ dθ 
dθ  r 2 sen 2 θ dϕ 2 
[24]
Substituindo o potencial V(r )=-
e2
4πε 0 r
e divindo por RΘΦ a equação [23] fica:
 sen 2 θ d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ   2 µ 2
e2 
1 d 2Φ
2 


θ
r
+
sen
+
r
sen
θ
E
+
=
−
= − m 2 [25]






2
2


Θ dθ 
dθ   h
4πε 0 r 
Φ dϕ
 R dr  dr 

−
1 d 2Φ
= − m 2 (constante)
Φ dϕ 2
8
 sen 2 θ d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ   2 µ 2
e2 
2 

 = −m 2
r
+
sen
θ
+
r
sen
θ
E
+






2

Θ dθ 
dθ  h
4πε 0 r 
 R dr  dr 

[26]
Multiplicando por r2sen2 θ todos os membros fica
 sen 2 θ 1 d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ  1 d 2Φ  2 µ 2
e2 
2 

=0
+ 2 r sen θ  E +
r
+
 sen θ
+

2 

R
dr
dr
Θ
d
θ
d
θ
Φ
4
πε
r
d
ϕ
h




0 



Ou
 r 2 sen 2 θ d  2 dR  r 2 sen 2 θ d 
dΘ 
r 2 sen 2 θ d 2Φ  2µ 2
e2 
2 

=0
r
+
sen
θ
+
+
r
sen
θ
E
+






2

dr  dr  Θ r 2 sen θ dθ 
dθ  Φ r 2 sen 2 θ dϕ 2  h 2
4πε 0 r 
 Rr

Isolando os termos em ϕ (passando ao segundo membro)
 sen 2 θ 1 d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ  2 µ 2
e2 
1 d 2Φ
2 


+
+
=
−
+
sen
sen
r
r
E
θ
θ






Φ dϕ 2
Θ dθ 
4πε 0 r 
dθ  h 2
 R dr  dr 

Note : do lado direito a equação depende só de ϕ e do lado esquerdo a dependência é em θ e r.
Como temos uma igualdade a constante de separação (-m2) deve ser a mesma para ambas as
equações.
 sen 2 θ d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ  2µ 2
e2 
1 d 2Φ
2 
=−
= −m 2
r
+
 sen θ
 + 2 r sen θ  E +

2

θ
θ
πε
R
dr
dr
Θ
d
d
4
r
Φ
h
d
ϕ




0 


−
1 d 2Φ
= −m 2 (constante)
Φ dϕ 2
 sen 2 θ d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ   2 µ 2
e2 
2 

 = −m 2 [27]
r
+
sen
θ
+
r
sen
θ
E
+





2

Θ dθ 
dθ  h
4πε 0 r 
 R dr  dr 

9
1 d 2Φ
= −m 2
2
Φ dϕ
ou
d 2Φ
dϕ
2
+ m 2 = 0 cujas raizesλ = ±im
logo a solução é
Φ (ϕ ) = Ne ± imϕ
[28]
que é a solução particular, sendo m número quântico magnético. Φ(ϕ) é a função onda átomo de
1
H que contém toda a dependência em função do Potencial ϕ. Onde ϕ varia de 0 a 2π.
Normalizando a função Φ(ϕ)
Φ Φ =1
2π
ΦΦ =
∫ N *e
imϕ
Ne -imϕ dϕ = 1
0
2π
Φ Φ = N 2 ∫ e imϕ e -imϕ dϕ = 1
[29]
0
N 2 [2π ] = 1
ou
⇒ N=
1
2π
logo a função vale
Φ (ϕ ) =
1
2π
e imϕ
[30]
como Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ) ⇒ ela é única
e imϕ = e imϕ e im 2π ⇒ 1 = e 2πim ⇒ 1 = cos 2πm + i sen 2πm
veja que satisfaz se m = 0 ± 1 ± 2 ± 3...
m = inteiro ( número quântico magnético)
escolhe a
solução λ = im (movimento de giro elétron sentido horário).
Assim temos até o momento
Ψ ( r ,θ , ϕ ) =
1
2π
eimϕ R(r )Φ(ϕ )
[31]
10
Tomando a equação [27] (5.15),
 sen 2 θ d  2 dR  sen 2 θ d 
dΘ  2µ 2
e2 
2 

 = −m 2
r
+
sen
θ
+
r
sen
θ
E
+





2

Θ dθ 
dθ  h
4πε 0 r 
 R dr  dr 

Dividindo por sen 2θ fica
 1 d  2 dR  1 d 
dΘ  2µ 2 
e2 
m2


sen
+
r
E
+
r
+
θ
=
−




 R dr
dθ  h 2 
4πε 0 r 
sen 2 θ
 dr  Θ dθ 

[32]
Separando os termos da R(r ) da função Θ(θ) fica
1 d  2 dR  2µ 2 
e2 
m2
1 d 
dΘ 


=−
−
r
 + 2 r E +
 sen θ

2

R dr  dr  h
4πε 0 r 
dθ 
sen θ Θ dθ 

[33]
devido a igualdade a constante de separação é a mesma
1 d  2 dR  2µ 2 
1 d 
e2 
m2
dΘ 
=−
−
θ
sen
r
 + 2 r  E +

 = l (l + 1)
2

4
R dr  dr  h
πε
r
Θ
d
θ
d
θ
sen
θ


0


1 d  2 dR  2µ 2 
e2 
 = l (l + 1)
r
 + 2 r  E +
R dr  dr  h
4πε 0 r 

[34]
[35]
Ou
−
m2
sen θ
2
−
1 d 
dΘ 
 sen θ
 = l (l + 1)
Θ dθ 
dθ 
Divide a [35] (5.19) por r2 e arrumando fica
[36]
11
1 d  2 dR  2 µ
r
+
r 2 dr  dr  h 2
2

e2 
E +
 R = l (l + 1) R

4πε 0 r 

ou
[37]
2

1 d  2 dR   2µ 
e2 

 + l (l + 1) R = 0
r
+
E
+



4πε 0 r 
r 2 dr  dr   h 2 

Esta é a equação Radial – cujas soluções são as funções de Laguerre. Apresentaremos a solução
que é: Solução particular:
 2 
Rn (r ) = − 
 na 
2 l +1
n +l
Sendo L
Com ξ =
 (n − l − 1)!
(ξ ) = 
3
 2n[(n + l )!]
1/ 2



n − l −1
3/ 2
. ∑ (−1)
p =0
− 1 ξ l 2l +1
e 2 ξ Ln+1 (ξ )
[38]
[(n + l )!]2 ξ p
p +1
(n − l − 1 − p )!(2l + 1 + p)! p!
2r
na
n = 1,2,3...,
l = 0,1,2,3..., m = l,-l+1,...l-1,l
1
Se n=1, l=0, R10 (r ) =  
a
3/ 2
2e − r / a
Veja que se n=2, l=1 temos dois l=o e l=1, Nota a =
 1 
R20 (r ) =  
 2a 
3/ 2
h2
mq 2
r
 1 
( 2 − )e − r / 2 a e R 2 l ( r ) =  
a
 2a 
3/ 2
r
a 3
A outra equação:
1 d 
dΘ  
me 2 
 sen θ
 + l (l + 1) −
Θ = 0
sen θ dθ 
dθ  
sen 2 θ 
e −r / 2a
12
As soluções desta equação são as funções associadas de Legendre. Os harmônicos esféricos –
são soluções das equações diferenciais: Φ (ϕ ).Θ(θ ) representadas por
 2l + 1(l − m )!
Ylm (θ , ϕ ) = 

 4π (l + m )! 
onde
Pl (θ ) = sen
m
θ
Pl m (θ )e imϕ
d
m
Pl (ξ )
d (cos θ )
[
1 d l (ξ 2 − 1) l
Pl (ξ ) =
onde
m
1/ 2
2 l l!
m
]
dξ l
ξ = cos θ
A solução geral para o átomo de Hidrogênio é : Ψnlm (r ,θ , ϕ ) = Rn (r )Ylm (θ , ϕ ) e-(i/h)Et
Que pode ser escrita assim:
− 1ξ
 (n − l − 1)! 
2
2l +1
Ψnlm (r , θ , ϕ ) = −( ) 3 / 2 e 2 ξ l Ln + l
(ξ )

na
 2n[n + l ] ! 
Com ξ =
1 / 2 n − l −1
. ∑ (−1) p +1
p =0
2r
na
n =1,2,3...
número quântico principal
l =0,1,2,3...
número quântico de momento angular
m = l,-l+1,...l-1,l
número quântico magnético
[(n + l )!]2 ξ p
.Ylm (θ , ϕ )e − (i / h ) Ent
(n − l − 1 − p)! (2l + 1 + p)! p!
13
3 Números Quânticos
Cada conjunto de n, l, m define uma função de onda – que é um estado eletrônico do
átomo.
n=1
camada k
n=2
camada l
n=3
camada m
n=4
camada n
n=5
camada o
As funções de onda de cada camada são chamadas de orbitais.
a) para cada valor de n, há n-1 valor de l
n=1
l=0
n=2
l=1
n=3
l=2
n define o estado de energia
b) para cada valor de l há (2l+1) valor de m. -l< m < l
l =0
m=0
l=1
m = −1

m = 0
m = 1

c) para cada valor de n há n2 autofunções. Exemplo, se n = 3, há 9 autofunções
14
-l<m<l
m = −2
m = −1

m = 0
m = 1

m = 2
l=1
-l<m<l
m = −1

m = 0
m = 1

l=0
m=0
l=2
Concluindo, quando resolvemos a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio,
obtemos as energias para os níveis energéticos (En) e os orbitais atômicos (Ψn,l,m). Temos então
um diagrama de níveis energéticos no interior do átomo, i. e., dizemos que um átomo se constitui
de um sistema energético quantizado.
Foi no Annales 80, que Schrödinger estudou o efeito Stark através de sua Mecânica Quântica
Ondulatória (1).
15
4 Função de Onda na Concepção de Max Born
Born (1928) deu um passo a esta dificuldade propondo uma interpretação estatística das
funções de ondas do elétron, à qual, devido às inúmeras vantagens apresentadas, tem sido
amplamente aceita. Born supôs que as ondas não têm existência real, e assim, as define como
ondas de probabilidade.
2
O produto Ψ*Ψ ou Ψ em um ponto representa a densidade de probabilidade de
encontrar o elétron, ou um outro corpúsculo qualquer, em um ponto x, y, z, num dado instante t e
igualdade
2
2
Ψ dxdydz = Ψ dv
Representando a densidade de probabilidade de encontrar o mesmo elétron em um
elemento de volume dv, e também o número de elétrons dentro do mesmo volume. Esta
interpretação teve um pleno acordo com as condições de Schrödinger (5).
Em processos vibratórios o conhecimento da amplitude é importante como o
conhecimento da freqüência própria; analogamente, é de se esperar que, em mecânica
ondulatória, esteja ligado um importante significado físico à função de onda Ψ ou antes, ao
quadrado do seu módulo, visto ser evidente que o valor instantâneo da própria função oscilatória
não pode desempenhar qualquer papel em virtude da sua alta freqüência. O motivo por que se
toma o quadrado do módulo é que a própria função de onda (devido ao coeficiente imaginário da
derivada em ordem ao tempo da equação diferencial) é uma quantidade complexa, enquanto as
grandezas suscetíveis de interpretação física devem evidentemente ser reais (6).
Suponhamos que no estado caracterizado pela função de onda Ψ1 se efetua uma medição
que conduz com certeza a um determinado resultado, e que o mesmo fazendo o estado no estado
Ψ2, conduz ao resultado 2. Admite-se então a combinação linear de Ψ1 e Ψ2, o que significa que
toda função de forma CΨ1 + CΨ2 (C1 e C2 , constantes) representa um estado em que a mesma
medição pode dar um resultado 1 ou o resultado 2. Podendo afirmar, que se conhecemos a
dependência dos estados com respeito ao tempo, dependência a qual é dada pela função Ψ1 (x,t)
e em outro, por Ψ2 (x,t), pode-se notar que qualquer combinação linear destas dá também a
possível dependência de um estado do tempo. Estas afirmações constituem o conteúdo do
princípio de superposição dos estados – um princípio positivo fundamental de mecânica quântica
(7).
16
5 Valor Esperado da Função de Onda
Consideramos uma partícula e onda associada, a função Ψ(r,t) e se essa função não se
anula num intervalo entre r e r + dr, na medida de sua posição há uma probabilidade finita dessa
partícula ser encontrada. Não podemos, atribuir a coordenada um valor bem definido, no entanto,
é possível especificarmos uma posição média da partícula.
Imaginemos a medida da posição da partícula no instante t, a probabilidade de encontrála entre r e r + dr é dada pela equação.
P( r ,t ) = ψ ∗( r ,t )ψ ( r ,t )
(16)
onde P(r,t) é a probabilidade de encontramos a partícula. Repetindo essa experiência a uma certa
freqüência no mesmo instante e registrando os valores de P(r,t), podemos usar a média dos valores
observados para caracterizar a posição da partícula no instante t.
Este valor é representado por <r>, valor esperado da coordenada r. Veja abaixo como
podemos demonstrar matematicamente este cálculo.
+∞
< r >=
∫ rP(r ,t )dr
(17)
−∞
como: P( r ,t ) = ψ ∗( r ,t )ψ ( r ,t ) ,
+∞
substituímos (16) em (17) temos que: < r >=
∫ rψ
−∞
∗
( r ,t )ψ ( r ,t ) dr
(18)
17
6 Aplicação da Equação de Schrödinger
Tabela 1: Exemplos do operador Hamiltoniano para o movimento de uma partícula de massa m em
diferentes campos de força definidos pela função (operador) potencial V.
Operador
(a) Partícula livre
h2 d 2
Hˆ = −
2m dx 2
V=0
x
(b)
barreira
de
h2 d 2
Hˆ = −
(x<0; x>0)
2m dx 2
V=V0
potencial
0
(c)
Oscilador
a
x
h2 d 2
+ V0 (0<x<a)
Hˆ = −
2m dx 2
h2 d 2 1 2
+ Kx
Hˆ = −
2m dx 2 2
V=(1/2)Kx2
K
harmônico
x
Tabela 3: Exemplos do operador para átomos e moléculas.[4.A]
Operador H
(a) Átomos de
um elétron
(b) Átomos de
muitos elétrons
(c) moléculas
h 2 2 Ze 2
∇ −
Hˆ = −
2m
r
h2
Hˆ = −
2m
2
h
Hˆ = −
2
n
∑
i =1
n
∑
i =1
∇2 −
n
Ze 2
+
rj
j =1
∑
1 2 h2
∇α −
mα
2m
e2
∑∑ r
n
∑
i =1
i
j >i
∇ i2 −
ij
∑∑
β
i
Zα e 2
+
riα
∑∑
i
j >i
e2
+
rij
Zα Zα e 2
rαβ
β >α
∑
∑
α
18
6.1 Poço de Potencial não relativístico
Considerando um potencial degrau unidimensional definido por
V ( x ) = 0, x < 0
V ( x ) = V0 , x > 0
ΨΙ
V0
x (0)= 0
ΨΙΙ
x
Supor que uma energia incidente da esquerda para a direita tem energia E = 4V0. Neste exemplo
podemos calcular a probabilidade de que a onda será refletida (coeficiente de reflexão).
Analisando o contorno do problema, para V ( x) = 0 quando x<0, o potencial na região I é nulo e
consideramos a partícula livre. A equação de Schrödinger se reduz à.
h 2 ∂ 2 ΨI
−
= EΨI
2m ∂x 2
−
∂ 2 ΨI
∂x 2
∂ 2 ΨI
∂x
sendo k12 =
2
+
=
2m
h2
2m
h2
EΨI
EΨI = 0
2mE
h2
∂ 2 ΨI
∂x
As raízes da equação:
2
+ k12 EΨI = 0
19
λ 2 + k12 = 0 , λ 2 = −k12 , λ = ±ik1
Ψ
I
= Ae
ik 1 x
+ Be
− ik 1 x
 ik1x
→ onda incidente
 Ae
sendo 
 Be −ik1x → onda refletida

Solução geral
(
ΨI = ΨI e −iEt / h
)
ΨI = Ae ik1x + Be −ik1x ΨI e −iEt / h
ΨI = Ae i (k1x − Et / h ) + Be −ii (k1x + Et / h )
Na região II há um potencial V (x) , sendo assim a partícula sofre uma ação do potencial.
−
h2 2
∇ ΨII + V0 ΨII = EΨII
2m
−
h2 2
∇ ΨII = [E − V0 ]ΨII
2m
∇ 2 Ψ II +
Considerando k II2 =
2m
h2
2m
h2
[E − V0 ]ΨII
[E − V0 ]
∇ 2 ΨII + k II2 ΨII = 0
Achando as raízes da equação
λ 2 + k 22 = 0 , λ 2 = −k 22 , λ = ±ik 2
(
ΨII = Ce ik 2 x + De −ik2 x
A solução aceitável é
ΨII = Ce ik2 x
)
=0
20
Solução geral
ΨII = ΨII e iEt / h
ΨII = Ce ik2 x e iEt / h
ΨII = Ce i (k2 x − Et / h )
logo temos as duas funções para as duas regiões I e II
Ψ
I
= Ae
ik 1 x
+ Be
− ik 1 x
para x ≤ 0
Ψ II = Ce ik2 x para x ≥ 0
Analisando as condições de contorno
a)
Ae ik1x + Be −ik1x = Ce ik2 x
ΨI | x =0 = ΨII | x =0
A+B=C deve ser contínua no ponto x=0
b) A sua derivada também
∂ΨI
∂ΨII
| x=0 =
| x =0
∂x
∂x
ik 1Ae ik1x − ik1 Be −ik1x = ik 2 Ce ik2 x
ik1 ( A − B ) = ik 2 C
(A − B) =
Montando o sistema
k2
C
k1
21
A + B = C

+
k2
A − B = k C
1

2A =
A=
k2
C+C
k1
Achando B
Achando C
A + B = C

+
k2
 A − B = k C ⋅ (−1)
1

C  k1 + k 2

2  k1

k 
2 B = C 1 − 2 
k1 

k 
C
1 + 2 
2
k1 
B=
C  k1 − k 2

2  k1




 + B = C

B 1  k1 + k 2
+ 
C 2  k1

 = 0

 k + k2
C = −2 B 1
 k1



Substituindo os valores de A, B e C em ΨI e ΨII
ΨI =
C  k1 + k 2

2  k1
 i (k1x − Et / h ) C  k1 − k 2
e
+ 
2  k1

 −i (k1x − Et / h )
e
x<0

ΨI =
C  k1 + k2  i (k1x − Et / h )  k1 − k2  − i (k1x − Et / h ) 
e
e
+ 

 x<0
2  k1 
k

1


k −k 
ΨII = −2 B 1 2 ei (k 2 x − Et / h )
 k1 
Obedecendo ao princípio da complementaridade temos a combinação linear do dois estados da
função de onda
ΨTotal = ΨI + ΨII
ΨTotal =
C  k1 + k 2

2  k1
 i (k1x − Et / h )  k1 − k 2
e
+ 

 k1
 −i (k1x − Et / h ) 
 k1 − k 2
e
 − 2 B

 k1

 i (k2 x − Et / h )
e

22
BIBLIOGRAFIA:
(1) Bassalo, J. M. F. Nascimentos da Física (1901-1950), Belém: EDUFPA, 2000. 503 p
(2) Peixoto, E.M.A. Química Nova, (1978)
(3) Eisberg, R. Resnick, R. Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. 15ª Edição.
(4) Bathista, A.L.B.S., Nogueira, J. S. Uma Breve Discussão da Mecânica Quântica IX Encontro
de Iniciação Científica, Cuiabá, UFMT. 2001.
(5) Rey, A.B. Mecânica Quântica e Ondulatória, In: Fisica/Química Modernas. V. 3, SP, Ed.
Fortaleza, 1970.
(6) Born, M., Física Atômica, 1962, 4ª Edição. Ed: Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
(7) Landau, L. Lifshitz, E. Mecânica Quântica, Teoria não relativista, 1985. Mir, Moscou. Vol.1.