AVAL MAT 161109_RA_Resolução

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA
– 2o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 16/11/09
PROFESSOR: MALTEZ
Uma fábrica produz dois tipos de peça, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas E1 e E2. O
lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 é de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz
abaixo fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2, no mês de
novembro.
P1 P2
E 1  20 8 
x 
.A matriz   em que x e y representam os lucros, em real, obtidos pela fábrica, no


E 2  15 12 
y 
referido mês com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:
Trata-se do produto
 20

15

8 
12 

 3   60 + 16   76 
= 
.  =
 2   45 + 24   69 
  
  
 2 3   x   1
   =   , o valor de x – 5y é:
Sendo 
5 7  y 3
2x + 3y = 1 (–5)
5x + 7y = 3 (–2)
10 x + 15 y = 5
+

− 10 x − 14 y = −6
y = –1
a
Subst. na 1 : 2x – 3 = 1
2x = 4
x=2
x – 5y = 2 – 5(–1) = 7
Assinale a alternativa falsa, onde as matrizes A, B e C são quadradas de mesma ordem:
t
t
t
(A . B) = B . A
portanto a resposta 04 é a falsa.
1 
a + 1 0


3
Seja uma matriz A =  0
1
a  . Se det A = 4a, então calcule (a + 2) .
 0
0 a + 1

A é triangular, logo (a + 1)(a + 1) = 4a
2
a + 2a + 1 = 4a
2
a – 2a + 1 = 0
a=1
3
3
3
(a+ 2) = (1 + 2) = 3 = 27
2 − 1 − 5


–1
Seja a matriz B =  1
3
4  . Se det (2 . B ) = 3x + 2, então o valor de x é:
0
1
2 

dett B = 12 – 5 – 8 + 2 = 1
3
-1
2 . det B = 3x + 2
1
8.
= 3x + 2
det B
8 = 3x + 2
3x = 6 ⇒ x = 2
x + my = 1
O sistema 
é possível e determinado para:
mx + 4 y = 3
1
m
m
≠0
4
4–m ≠ 0
2
m ≠± 2
2
m ∈ R – {–2, 2}
O sistema
(m + 1) x + 7 y = 10
é impossível se m é:

 4 x + (m − 2 ) y = 0
m +1
7
=0
4
m−2
(m + 1)(m – 2) – 28 = 0
2
m – 2m + m – 2 – 28 = 0
m=6
2
m – m – 30 = 0
m = –5
Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um
minuto do início das observações, existia um elemento da população; ao final de dois minutos, existiam
cinco e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as populações dos vírus
(representados por um circulo) o final de cada um das quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no
final de uma hora era de:
O desenvolvimento da população é 1, 5, 9, 13, ... portanto uma PA de a1 = 1 e r = 4.
Uma hora corresponde a 60 minutos, ou seja, a60 = a1 + 59r = 1 + 59 . 4 = 1 + 236 = 237
A soma de todos os números naturais que sejam múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, e que estejam
compreendidos entre 100 e 700, é:
Múltiplos de 2 e 3 simultaneamente quer dizer múltiplos de 6. Entre 100 e 700, a1 = 102 e
an = 696
an = a1 + (n – 1)r
696 = 102 + (n – 1) . 6
594 = (n – 1) . 6 ⇒ n – 1 = 99 ⇒ n = 100
sn =
(a 1 + a 100 ) . 100
2
= (102 + 696) . 50 =
= 39900
Se a sequência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma P.G. então o valor de x é:
O termo médio é a média geométrica dos extremos
2
(2x + 1) = 4x (x –1)
2
2
4x + 4x + 1 = 4x – 4x
8x = –1 ⇒ x =
−1
8
Considere uma PG de três termos, em que o produto desses termos é
é 2. Então a razão dessa PG é igual a:
x
, x, xq
q
Sejam os termos
x
1
. x . xq =
q
8
1
1
x3 = ⇒ x =
8
2
x
+x=2
q
1 1
+ =2
2q 2
1 + q = 4q
1
3q = 1 ⇒ x =
3
3 1 
 , ,...
2 2 


1
1
q= 2 =
3 3
2
Se 2 +
4
8
14
+ 2 + ... =
então o valor de m é:
m m
5
a1
1− q
=
14
⇒
5
2
1−
2
14
=
m−2
5
m
2m
14
=
m−2 5
14m – 28 = 10m
4m – 28 = 0
4m = 28 ⇒ m = 7
2
m
=
14
5
1
e a soma dos dois primeiros
8
Em virtude da procura por certo produto ser maior em determinados meses do ano e menor em outros,
πt
seu preço, durante todo o decorrer do ano de 2009, variou segundo a equação N(t) = 120 + 80 cos ,
6
em que N(t) é o preço de uma unidade do produto, em real, e t é o mês do ano, t ∈ {1, 2, 3, ..., 12}.
Então o valor máximo obtido pela venda de uma unidade do produto foi:
O valor máximo de N(t) é quando cos
πt
=1
6
logo 120 + 80 . 1 = 200
R$ 200,00
x − π
Determine o período da função f(x) = 2 – cos 
.
 3 
1

f ( x ) = 2 − cos  ( x − π)
 3

p=
2π
= 6π
1
3
Se sen x =
5 π
, < x < π, então o valor de tg x é aproximadamente:
13 2
cos x = − 1 −
cos x = −
25
144
=−
169
169
12
13
5
−5
tg x = 13 ⇒ tg x =
− 12
12
13
ou tg x = –0,42
π

O domínio da função f(x) = 3 + 2 cotg  3 x −  é:
2

3x −
x≠
π
π
≠ k π ⇒ 3 x ≠ + kπ
2
2
π kπ
+
6 3

π kπ 
D = x ∈ R; x ≠ + 
6 3 

Se y =
sen 45 º . tg135 º . tg240 º
podemos afirmar que:
tg225 º . cos135 º
2
y= 2
. ( −1) . 3

2 

1 . −

 2 


=
− 3
−1
= 3
y>0
Simplificando-se a expressão: cos (180º – x) – 5 sen (270º + x) + 4 cos (180º + x) , obtém-se:
–cos x – 5 . (–cos x) + 4 . (–cos x)
= –cos x + 5 cos x – 4 cos x = 0
Resolva a equação
1
1 + tgx
+
= 1, em R.
2 + tgx
3
Se tg x = a
1
1+ a
+
=1
2+a
3
mmc = 3(2 + a)
3 + (1 + a)(2 + a) = 3(2 + a)
2
3 + 2 + a + 2a + a = 6 + 3a
a =1⇒a=±1
2
tg x = ± 1
x=
π kπ
+
4 2
2
Quantas são as soluções reais da equação 5 cotg x – 2 cotg x = 0, se x pertence ao intervalo [0; 2π]?
cotg x (5 cotg x – 2) = 0
cotg x = 0
cot g x =
duas soluções
2
o
o
duas soluções → 1 e 3 quadrantes
5
Resp.: 4 soluções.
Os números que representam o comprimento, a largura e a altura, em centímetros, de um
paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética de razão 2. Sabendo que a diagonal desse
3
paralelepípedo mede 35 cm, o seu volume, em cm , é:
Pelo enunciado: x – 2, x, x + 2
35 =
(x − 2)
2
2
(
+ x2 + x + 2
2
)
2
2
35 = x – 4x + 4 + x + x + 4x + 4
2
3x + 8 = 35
2
2
3x = 27 ⇒ x = 9 ⇒ x = 3
As dimensões são 1, 3, 5
Logo V = 1 . 3 . 5 = 15 cm
3
Uma pirâmide quadrangular regular de 13 cm de altura, tem aresta lateral medindo 15 cm. A área da
2
base dessa pirâmide, em cm , é:
d
(metade da diagonal da base)
2
2
2
2
2
2
15 = 13 + x ⇒ x = 225 – 169 ⇒ x = 56
d 2 (2x ) 2 4 x 2
SB =
=
=
= 2x 2 = 2 . 56 = 112 cm 2
2
2
2
x=
15
13
x
A altura e a área de uma base de um cilindro circular reto são 5 m e 4 πm , respectivamente. Então a
área lateral do cilindro é igual a:
2
h = 5m
πr = 4π ⇒ r = 4 ⇒ r = 2 m
2
2
SL = 2πrh = 2π . 2 . 5 ⇒ SL = 20πm
2
2
A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e a sua área total é igual a 75π cm . Então o raio da
base é igual a:
g = 10 cm
πr(g + r) = 75π
r(10 + r) = 75
r = –15
2
r + 10r – 75 = 0
r = 5 cm
2
2
A área total de um cubo é 24 dm . A área da superfície da esfera inscrita nesse cubo, em dm , é:
2
2
6a = 24 ⇒ a = 4 ⇒ a = 2 ⇒ r = 1 dm
A = 4πr ⇒ A = 4 . π . 1 = 4π dm
2
O raio da esfera
é a metade da
aresta.
2
2