A noção de integral generalizada - VI HTEM 2013

Anais do VI Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática (VI HTEM)
15-19 de julho de 2013, UFSCar, São Carlos, SP, Brasil
A NOÇÃO DE INTEGRAL GENERALIZADA: SUA EXPLORAÇÃO
APOIADA NA TECNOLOGIA E NO CONTEXTO HISTÓRICO
Francisco Regis Vieira Alves
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará - IFCE
[email protected]
A noção de integral generalizada ou de integral imprópria surgiu diretamente, a partir
da investigação e busca pela solução de problemas vinculados à noção de integral, nas
concepções iniciais de Riemann e Cauchy. Essa noção permitiu o ataque de outros
problemas, atinentes a uma classe mais ampla (e geral) de funções, envolvendo
comportamentos patológicos, quando comparadas aos casos particulares de integração
tomados por Riemann. Assim, a partir desse contexto, extraímos implicações para sua
ressiginificação e descrição heurística da noção de convergência e divergência, com o
recurso aos softwares Geogebra e do CAS Maple. Nesse minicurso, a visualização e a
percepção de propriedades gráfico-geométricas assumem papel fundamental para o
entendimento das situações, posição que se coaduna com o pensamento heurístico
inicial, imprimido por figuras emblemáticas no passado.
Palavras-chaves: Integral generalizada, Softwares, Ensino, Visualização.
1. INTRODUÇÃO
A noção de integral constitui pedra fundante no Cálculo Diferencial e Integral. No rol dos
matemáticos que contribuíram, direta ou indiretamente para a gênese e sisetmatização da noção
de integral, vale assinalar: Newton, Lebesgue, Cauchy, Riemann, Du Bois Raymond, Dirichlet,
Lebesgue (BOYER, 1949; CAVAILLÉS, 1962, GRATTAN-GUINESS, 1970).
A integral segundo Cauchy1 e Riemann, desconsiderava uma série de comportamentos e
propriedades patológicas de uma função, sobretudo, quando nos referimos ao seu conjunto de
pontos de descontinuidade (e domínio ilimitado). A História da Matemática registra a evolução
da noção de integral que passou a considerar um modelo matemático que permitiu o trato e
extração de conclusões relativas a uma classe maior de funções.
Nesse minicurso, na medida em que pontuamos aspectos históricos que marcaram a evolução da
noção de integral de Riemann, apresentamos alguns critérios que decidem e descrevem as
importantes noções de convergência e da divergência de integrais impróprias ou integrais
generalizadas. Os exemplos e situações serão ressiginificados e estruturados a partir da
exploração dos softwares Geogebra e do CAS Maple. A visualização e percepção de
propriedades são fundamentais para a aquisição de um entendimento que extrapola a simples
manipulação algébrico-manipulatória, tradicionalmente enfatizada pelos autores de livros de
Cálculo (ALVES, 2012, p. 7).
2. Um pouco do contexto histórico
A noção de integral de Riemann, nos livros de Cálculo Diferencial e Integral, no Brasil, assume
determinadas restrições (como a continuidade) da função f :[a, b]  IR , que garantem a
1
Dugac (2003, p. 101)recorda que Cauchy foi o primeiro a fornecer a noção de integral para a classe de
funções contínuas num intervalo [a.b].
1
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existência/significado de

b
a
f ( x)dx . Daí, podemos falar sobre a integral generalizada, que
passa a considerar uma classe maior de funções, tais como: (i) funções definidas em intervalos
abertos ou semi-abertos do tipo (a, b], [a,b), (a,b), (  ,) ; (ii) funções com imagem
ilimitada. E não necessariamente contínuas em todos os pontos do seu domínio.
Patenteamos autores como Bloch (2011, p. 342) que evidencia o caráter heurístico inerente à
noção de integral imprópria, ao afirmar que “podemos pensar numa aproximação deste
intervalo, por meio de intervalos do tipo [a, t ] , onde t  (a, b) e t é pensado como cada vez
mais próximo do ponto x  b ”. Neste caso, o autor considera funções do tipo f :[a, b)  IR e
sua descrição possibilita a interpretação gráfico-geométrica dinâmica associada às noções de
convergência e divergência.
De modo preciso, tal descrição permite descrever o símbolo

b
a
t
f ( x)dx  lim  f ( x)dx , como
t b
a
as aproximações sucessivas de contribuições de área, segundo a definição da integração clássica
de Riemann, entretanto, retirando a condição de continuidade em x  b .
No século XIX, observamos que a segunda parte do curso de Cauchy, intitulada Leçons sur les
applications du Calcul infinitesimal à la Geometrie, inclui aplicações de sua teoria da integral à
Geometria. Algumas das aplicações envolvem o comprimento de arco e a determinação de áreas
e volumes específicos. “Uma das motivações para a teoria das integrais de Cauchy foi devido à
sua percepção da necessidade de uma teoria para o estudo de integrais mais complexas.”
(GRABINER, 1981, p. 160).
Nesse sentido, vale assinalar que em 1823, Cauchy aplicou sua definição de integral como
limites de somas e usou, também, teoremas envolvendo integrais por meio do cálculo de
resíduos. Na introdução da obra intitulada “Memoires sur les íntegrales définies prises entre des
limites imaginaires”, em 1825, ele enfatizou a noção de valor principal (V.P.) de integrais
impróprias, antes que a integral vista como limites de somas envolvendo funções contínuas.
Edwards (1979, p. 322) recorda, por exemplo, que “Cauchy considerou integrais de funções
possuindo infinitos pontos isolados de descontinuidade. Por exemplo, se lim f ( x)   ,
x X
todavia,

X
x0
contínua
f ( x)dx  lim 
em
X 
 0 x0
[ x0 , X ]
e,
para
 0,
cada
ele
definiu
a
integral
f ( x)dx .”. Por outro lado, outros matemáticos imprimiram sua
contribuição relativa à mesma noção. Com efeito, de acordo com Hairer & Wanner (2008, p.
260) a seguinte definição é devida é Gauss (1812): se a função f : (a, b]  IR é integrável em
todo intervalo da forma [a   , b] , então definimos

b
a
f ( x)dx : lim 
 0
b
a 
f ( x)dx se tal limite
existe. Bottazzini (1986, p. 132) descreve o seguinte contexto histórico:
“A noção de integral imprópria foi objeto de discussão entre os matemáticos desde Euler. O próprio Euler, e Laplace, de modo próximo em
sua investigação, de modo próximo à teoria da probsbilidade. Poisson
e Legendre, em seu Exercices de Calcul Integral (1811), todos usaram
o tipo de passagem indutiva da parte real à imaginária.”
Concluímos essa seção, pontuando a integral particular


0
x  cos(a  x) dx

foi motivo de
sen(b  x) 1  x 2
interesse de Cauchy (em 1827), por possuir uma série de descontinuidades. Legendre acresceu
determinadas condições que permitiram simplificar tal integral, ao considerar as condições:
2
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a  b e b<a e incorreta no caso de a  b . Por meio de substituições, Legendre chegou na
 m  cot(a  x)

seguinte integral 
Numa contenda posterior com Legendre,
dx  2 am
2
2
0
m x
e 1
a  b  
Cauchy apresentou ainda, por intermédio da substituição 
a seguinte formulação
  0

xdx  
0 sen( x)  1  x2  2  e . Na fig. 1, assinalamos um quadro histórico de evolução da noção
de integral. Nela observamos a contribuição de vários matemáticos profissionais.
Figura 1. Medeiros (2002, p. 29) fornece um quadro esquemático para a evolução da noção de
integral
Com o uso de notação moderna, passaremos, pois, a apresentação de algumas definições e
critérios de convergência presentes nos compêndios de Análise Real (LIMA, 2009;
SACARCHI, 1998; STRICHARTZ, 2000; TRENCH, 2012). Vejamos, pois, nossa primeira
definição.
Definição 1: Dizemos que a função f é localmente integrável em um intervalo I  IR se f
está definida em I e é Riemann integrável em qualquer subintervalo fechado [a, b]  I .
Com o intuito de definir, de acordo com os compêndios modernos de Análise Real, observamos
que a integral imprópria

b
a
f ( x)dx , de uma função definida num intervalo do tipo
(a, b], (a,b) ou [a,b) , a função f deve ser localmente integrável nesses intervalos. Então,
estabelecemos

b
a
c
f ( x)dx  lim  f ( x)dx quando tal limite existe. Notamos que a integral de
c a
a
3
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
Riemann
c
a
f ( x)dx existe, pois f é localmente integrável em [a, c]  [a, b) . Para funções do
tipo f :[a, )  IR definiremos


a
t
f ( x)dx  lim  f ( x)dx (com a  0 ).
t  a
Definição 2: seja uma função f : IR  IR contínua. Dado qualquer a  IR , definiremos



f ( x)dx : 
a
f ( x)dx  


f ( x)dx .
a
Teorema 1(A fórmula de Newton-Leibniz para integrais impróprias) Dada uma função contínua
em [a, b) , onde   a  b   e com f localmente integrável. Daí, sendo F uma
primitiva nesse intervalo. Então, a integral imprópria
limite lim F ( x) existe e vale
x b
Dem.

b
a
De
b
b
a
f ( x)dx existe se, e somente se, o
f ( x)dx  lim F ( x)  F (a) .
x b
a
acordo
com
c
localmente
a
int egrável c a
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
c a



a
definição
1,
escrevemos
lim  F (c)  F (a)  lim  F (c)   F (a) . Por fim, a tese
c a
segue em virtude da igualdade estabelecida

b
a
f ( x)dx  lim  F (c)  F (a) . Vamos ver alguns
c a
exemplos de uso dessa fórmula.
Exemplo: Avaliar as integrais

1
0
dx
,
x


1
x 2  ln( x)dx, 

dx
de acordo com a fórmula
x  ln 3 ( x)
e
de Newton-Leibniz.
Sol.

1
0
1 dx
dx
 lim 
x c0 c x
2
 x  ln( x)dx
estabelecemos


F ( x )  2 x
F (1)  lim  F (c)  2  lim 2  c   2 . No segundo caso
c 0
c 0
t
1
1 1


ln(
x
)


 dx  ,


u=ln(x)
x
x x
1
dv=d1 x  
Por partes

1
Pr imitiva

quando
t   .
 1
ln( x)

 Pr imitiva
x 2  ln( x)dx   lim (
)   2 dx   1 0  (1)  1 .
1 x
t  x
 F ( x ) x
Portanto,
Por
fim,

 d (ln( x)) subst
 dy
 y 2 
dx
1
usando por partes 




 . Mas, o que


3
3
3


e
e
1
x  ln ( x)
ln ( x) y ln( x )
y
 2 1 2
1
representam os números 2,1 e ? Qual o significado geométrico da convergência?
2

Definição 3: Chamamos de Valor Principal de Cauchy de
c 
lim  
 a
 0 
f ( x)dx  
b
c 

b
a
f ( x)dx é o valor do limite
f ( x)dx  quando ele existe. Denotamos por VP  f ( x)dx .
a

b
1
Vale observar que uma integral por possui VP e, entretanto, divergir. Basta observar que
dx
 0 dx 1 dx 
 lim  

0.
0  x 
 0  1
x
x

1
1
diverge, enquanto que VP

4
dx
x
1

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f :[a, )  IR com f ( x)  0 . E se x [a, ) , então
Proposição 1: Consideremos


a

f ( x)dx converge se, e somente se,
Dem.
x
f ( x)dx  K , x [a,) .
a
x
g ( x)   f ( x)dx .
Definiremos
Reparemos
a
x
y
x
a
a
y
que
se
x  y  g ( x)  g ( y)   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  0 . Ou seja, g ( x)  g ( y) isto
mostra que a função g é não decrescente.
(superiormente) o limite lim g ( x) 
x 



se ocorrer desta função ser limitada
f ( x)dx deve existir.    Mas se o limite existe,
a

lim g ( x)   f ( x)dx , consequentemente, deverá ser limitada superiormente.
x 
a
Teorema 2 (critério da comparação): Sejam
f , g :[a, )  IR contínuas. Se k  0 e

0  f ( x)  k  g ( x) , para x  a . Tem-se que: se

converge; se
Dem. (i) se

f ( x)dx diverge, então
a


a

a

a


a

a

a

a

a


a
f ( x)dx
g ( x)dx diverge.

x
a
f ( x)dx  K1 , x [a,) , para


a
a
f ( x)dx   k  g ( x)dx  k  g ( x)dx  k  K1  K 2 . Assim,
f ( x)dx é limitada superiormente, pela proposição, converge.
Enquanto que no caso de (ii), assumiremos que




a
g ( x)dx converge, então
g ( x)dx converge, pela proposição anterior,
algum K1  IR . Segue que





f ( x)dx diverge. Mas isto quer dizer que
a
f ( x)dx é ilimitada superiormente (pois as funções são não negativas). Ademais,
f ( x)dx assume valor maior do que qualquer outro valor constante. Reparemos, ainda, que
f ( x)dx é não decrescente. Depreendemos que tenderá ao infinito. Mas pelo fato de

f ( x)dx  k  g ( x)dx , o mesmo comportamento esperado de
a


a
g ( x)dx . Portanto, deve
divergir.
Definição 4: (convergência absoluta). A integral
convergente se

Teorema 3: Se

a


a
f ( x)dx é chamada de absolutamente
f ( x) dx converge.
f : (a, b]  IR é contínua e

b
a
f ( x) dx converge. Então

b
a
f ( x)dx
convergirá. Para demonstrar este teorema precisaremos das seguintes definições.
Definição 5: seja f : (a, b]  IR é contínua, definamos sua parte positiva e sua parte negativa
f  , f  : (a, b]  IR ,
pondo,
para
5
a xb:
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f

( x)  max  f ( x),0 f  ( x)  max  f ( x),0 . Assim, podemos verificar que valem as
igualdades
 f ( x)  1 2  f ( x)  f ( x) e f ( x)  1 2  f ( x)  f ( x)  .


Deste modo, extraímos que sua parte positiva e sua parte negativa devem ser contínuas.
Ademais,
teremos
Outrossim,
se
verifica
que
f  ( x )  0 e f  ( x)  0 .
 f   f
. Segue, com base nas hipóteses
f  f   f   f  e f  f   f   f  . Segue que 
 f   f

do teorema, se
b
a
negativa
f ( x) dx converge, então, pelo critério da comparação, suas partes positiva e
devem
convergir.
Assim,
desde
b
b
b
b
a
a
a
a
que
f  f   f    f ( x)dx   [ f  ( x)  f  ( x)]dx   f  ( x)dx   f  ( x)dx será, igualmente,
convergente.
Teorema 4 (Critério de Cauchy): Seja f :[a, )  IR em que f |[ a ,r ] é integrável para
r  a . Nessas condições

tem
B
A


f ( x)dx converge    0 , existe M  0 e B  A  M se
a
f ( x)dx   .
Dem.    suponhamos que


a
f ( x)dx converge, digamos para L  IR . Dado agora   0 ,
usando a definição de convergência, podemos tomar M  a , suficientemente grande tal que se
A M ,

B
A
f ( x)dx 
 

escrevemos:

B
a
A
a
f ( x)dx  L 
A
f ( x)dx   f ( x)dx  L  L 

a
m, n  M , escreveremos: am  an 

m
a
2
.
Agora,
B  A M ,
para
escrevemos:
A
 
f ( x)dx  L   f ( x)dx  L     .
a
2 2
B
a
Dado n  IN , definiremos an :


n
a
f ( x)dx . Para   0 , existe m  a tal que se
n
f ( x)dx   f ( x)dx 
a

n
f ( x)dx   . Segue que a
m
sequência an nIN é de Cauchy. Portanto, convergente.
Exemplo: Decidir sobre a convergência da integral I 


1
arctan( x)dx x 2 .
Solução. Reparemos que para usar o teorema de Cauchy, devemos verificar que o limite de
G( x ', x '') 

x ''
x'
x '
arctan( x)dx x 2  0 é zero. Reparemos que, pelo Teorema do Valor Médio
x ''
para

x ''
x'
arctan( x)dx
 arct g ( x)
x2
integrais,

x ''
x'
dx

 arct g ( x) 
2
x
2
escrevemos:

x ''
x'
dx  1 1


 0 . Na figura
x2
2 x ' x '' x ''
abaixo, divisamos o comportamento de convergência da integral I 
6
x '


1
arctan( x)dx x 2 .
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
convergência absoluta. De fato, basta ver que
x ''
x'

sen( x)dx
, usando a noção de
1
x2
x '' dx
sen( x) dx
1 1 x '


0.
x ' x2 x '  x '' 
x ''
x2
Podemos usar o critério de Cauchy na seguinte integral I 2 

Assim, esta integral converge absolutamente e, por teorema, I 2 
Exemplo: Vamos usar o Critério de Cauchy II no seguinte caso


2
1

1
sen( x)dx
convergirá.
x2
sen( x)dx
.
x 1
sen( x)
é descontínua em (1, 2] . Usando o Teorema do
x 1
Valor Médio para integrais, dado   0 e x ', x '' [a, b) , existe c [a, b) , tal que:
x '' sen( x)dx
x ''
dx
x ' x  1  sen(c)x ' x  1 .
Sol. Reparemos que a função f ( x) 
Segue

que:
x ''
x'
x '' dx
sen( x)dx
 sen(c)
 sen(c)
x'
x 1
x 1

x ''
x'
dx
 2 x '' 1  2 x ' 1   ,
x 1
se
x ', x ''  (1,1   ) .
O próximo teorema é uma contribuição de Lejeune Dirichlet (1805-1959).
Teorema 5 (teste de Dirichlet para integrais impróprias): Sejam f , g :[a, )  IR , com f
monótona, lim f ( x)  0 , f ' integrável em [a, x] , x  a . Tem-se também que g contínua e
x 
x
G( x)   g (t )dt
a


a
limitada, em que
G :[a, )  IR . Nestas condições, a integral
f ( x)  g ( x)dx converge.
Demonstração 1: Vamos considerar a integral

c
f ( x)  g ( x)dx , onde c  IR é qualquer que
a
c  a . Assim, tomando o fechado [a, c] , pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe
b [a, c] , de modo que:

c
a
b
c
a
b
f ( x)  g ( x)dx  f (a)  g ( x)dx  f (b)  g ( x)dx . Mas, desde que
x
G( x)   g (t )dt limitada, escrevemos:
a

c
a
b
c
c
a
b
a
f ( x)  g ( x)dx  f (a)  g ( x)dx  f (b)  g ( x)dx   f ( x)  g ( x)dx  f (a)  M  f (b)  M
Segue que

c
a
f ( x)  g ( x)dx  [ f (a)  f (b)]  M e, recordando que lim f ( x)  0 , podemos
x 
escolher [ f (a)  f (b)] 

M
e, concluímos que

c
a
f ( x)  g ( x)dx   .
Demonstração 2: Aplicaremos, nesta segunda demonstração, o critério de Cauchy. Assim, dado
  0,

x ''
x'
existe
x ''
 ( )  0 ,
f ( x) g ( x)dx   F '( x) g ( x)dx
x'
e
int egração
x ', x '' [ , )
tal
 F ( x)  g ( x)x x '  x ' F ( x) g '( x)dx 
por partes
x  x ''

7
x ''
que
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  F ( x '')  g ( x '')  F ( x ')  g ( x ')   F ( x) g '( x)dx . Mas na expressão
x ''
x'
usaremos


x ''
x'
x ''
Teorema
do
Valor
Médio.
Assim,
x ''
x'
F ( x) g '( x)dx ,
cx ' x '' [ x '', x ']
existe
tal
que
F ( x) g '( x)dx  F (cx ' x '' )  g '( x)dx  F (cx ' x '' )  g ( x '')  g ( x ')  . Substituindo, teremos que:
x'
x ''
x'
f ( x) g ( x)dx   F ( x '')  g ( x '')  F ( x ')  g ( x ')   F (cx ' x '' )  g ( x '')  g ( x ')  . Passando o módulo:
x ''

o

f ( x) g ( x)dx  F ( x '')  g ( x '')  F ( x ')  g ( x ')  F (cx ' x '' ) g ( x ')  F (cx ' x '' ) g ( x '') 
x'
 F ( x '')  g ( x '')  F ( x ')  g ( x ')  F (cx ' x '' ) g ( x ')  g ( x '') 
 F ( x '')  g ( x '')  F ( x ')  g ( x ')  F (cx ' x '' )  [ g ( x ')  g ( x '') ] . Por outro lado, recordamos
que lim g ( x)  0 e F ( x) limitada, se tem ainda que:
x 
 F ( x '')  g ( x '')  F ( x ')  g ( x ')  F (cx ' x '' )  [ g ( x ')  g ( x '') ]
 M  g ( x '')  g ( x ')   M  [ g ( x ')  g ( x '') ]  2M  [ g ( x ')  g ( x '') ]
Mas
x ''

x'
dado
  0 , existe
este
 ( )  0 , tal que


f ( x) g ( x)dx  2M  [ g ( x ')  g ( x '') ]  2M  [
4M

4M
g ( x)   4M . Segue que:
]   , para x ', x '' [ , ) .
O teorema 6 é uma contribuição de Niels Henrik Abel (1802-1829).
Teorema 6 (Teste de Abel): Assumindo que as funções f e g definidas em [a, ) e satisfaz as
seguintes condições: (i) g é monótona e limitada em [a, ) ; (ii) a integral imprópria


a

f ( x)dx é convergente. Então  f ( x) g ( x)dx converge.
a
Usaremos o teste anterior para verificar o enunciado acima. Com efeito, dado   0 , desde que
g é limitada (i), existe M  0 tal que g ( x)  M , x [a, ) . Desde que
t2
t1
t2
t1
f ( x)dx cone temos
f ( x)dx   2M . Agora, usando o teorema do Valor Médio para integrais e quaisquer
t1 , t2  A ,

a
A  0 , tal que t1 , t2  A
verge (ii), pelo critério de Cauchy, existe



existe
c  IR
um
t1
entre
c
t2
t1
c
e
f ( x) g ( x)dx  g (t1 )  f ( x)dx  g (t2 )  f ( x)dx . Segue que
 g (t1 )

c
t1
f ( x)dx  g (t2 )

t2
c
f ( x)dx  g (t1 ) 

2M
t2 ,

t2
t1
de
modo
que:
f ( x) g ( x)dx 
 g (t2 )   2M   .
Nosso último teorema realiza a importante ligação conceitual entre séries de números reais e a
integral generalizada.
Teorema 7 (Colin Maclaurin/1698-1746): Seja f ( x)  0 não crescente em [1, ) então

 f ( n)    
n 1

1
f ( x)dx   .
8
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Dem. Desde que f ( x)  0 e assumindo que f é localmente integrável, podemos assegurar que
estão definidos os seguintes objetos


1

f ( x)dx e  f(k) . Precisamos, pois, mostrar que um
k=1
termo é finito se, e somente se, o outro também é. Desde que f ( x)  0 não crescente em
0  f (k )  inf f  
[n  1, n] escrevemos

n
1
n
f ( x)dx   
k 2
k
k 1
[ k 1, k ]
f ( x)dx  sup f  f (k  1) . Segue que
[ k 1, k ]
n
k
k 1
f ( x)dx   f (k  1)  f (1)  f (2) 

temos ainda que
f (n  1) (*). Por outro lado,
k 2
n
1
n
n
n
f ( x)dx    f ( x)dx   inf f   f (k )  f (2)  f (3) 
k
k 2
k 1
k 2
[ k 1, k ]

 f(k)  f (1)  
Passando agora n   de (*) e (**) estabelecemos:
 f ( n)    
Por fim, de (***), afirmamos que

1
n 1

1
k=1

 f (n) (**).
k 2

f ( x)dx   f (k ) .
k 1
f ( x)dx   .
Teorema 8 (teorema do Sanduíche para integrais impróprias). Sejam h( x)  f ( x)  g ( x) ,
x [a, ) e f , g , h localmente integráveis. Se as integrais
gem, então




a
h( x)dx e


a
g ( x)dx conver-
f ( x)dx convergirá.
a
Dem. Dem. Neste caso, quando admitimos h( x)  f ( x)  g ( x)  0  f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x) . Mas
desigualdade




a
a


0
daí, supondo que
a

a
h( x)dx e


a
g ( x)dx convergem, então, poderemos lidar com a seguinte

[ f ( x)  h( x)]dx   [ g ( x)  h( x)]dx . Pelo critério da comparação I,
a
[ f ( x)  h( x)]dx converge. Outrossim, escrevemos:


a
a

f ( x)dx   [ f ( x)  h( x)  h( x)]dx   [ f ( x)  h( x)]dx  h( x)dx .
a
converge!
Finalmente,


a
hipótese
f ( x)dx convergirá também.
1 sen( x) 1

 2 . Daí, poderemos inferir o
x2
x2
x
 sen( x )
 dx
 1
dx

comportamento da integral 
,
sabendo
que
as
integrais
e
a x 2 a x2 dx convera
x2
Exemplo: Vamos considerar 1  sen( x)  1
gem. Diferentemente do teorema do sanduíche, versão para limites, no caso do teorema 7, depreendemos que a integral converge, todavia, nada se sabe o valor e nem muito menos precisa
ser o mesmo valor das outras duas.
No próximo segmento, proporcionamos a visualização e a descrição de caracteres qualitativos
concernente ao conceito de integral generalizada.
3. Situações envolvendo o uso do Software Geogebra
9
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O software Geogebra possibilita uma análise diferenciada de muitos problemas envolvendo a
noção de integral imprópria. Por exemplo, quando consideramos a seguinte integral
ln( x)dx
 (1  x)
2
e, de acordo com uma inspeção da região do plano, identificamos a necessidade do emprego da
noção de integral imprópria.
Figura 2. Interpretação gráfico-geométrica com o Software Geogebra
Assim, com base na figura acima, depreendemos que lidamos com a possibilidade do uso de
1 ln( x) dx
ln( x)dx
e 
. Do ponto de vista analítico, de modo standard, escre2
0 (1  x)
0 (1  x) 2
ln( x)dx int egração ln( x)
dx
ln( x)
1 
1
 


  
vemos: 
dx . No caso de
2 por partes
(1  x)
1 x
x(1  x)
1 x
 x 1 x 
1 ln( x)dx
 x  ln( x)

 ln(1  x)    ln(2)  0   ln(2) .
0 (1  x)2   ln(2)  xlim
 
0  1  x

duas integrais

1
Vamos tomar as seguintes funções f ( x)  e x e g ( x)   ln( x) . Assinalamos que para
2
x  0  y  e x  ln y  ln e x   x 2  ln e   ln y  x 2   ln y  x . Do ponto de
2
2
vista analítico, inferimos que x  0  y  e x   ln y  x . Agora podemos comparar as
2
integrais


0
e x dx  
2
1
0
 ln( x)dx . Com o software Geogebra, inferimos seu comportamento
numérico.
10
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Figura 3. Indicações de limitação do software Geogebra
Vamos considerar a seguinte integral


0

xn  e x dx   xn  e x |0 n   x n1  e x dx (*). Tal igualdade
0
n 1


u ( x)  x
u '( x)  nx dx
. Usando a


x
x
v
'(
x
)

e
v
(
x
)


e




n
por ser obtida por meio da seguinte substituição: 
substituição

por
partes,
 x  e dx  uv   vdu  x
 e x dx  x  (e )  n e
x
n
0
x
n
x
n
n
escrevemos
 (e x )  n e x x n1dx .
x
ainda
Ou
ainda,
que
teremos
x n1dx . Daí, de acordo com a definição, escrevemos (*). Tal
integral foi objeto estudada por Euler, e surge em sua obra intitulada De Differentiatione Functionum Inexplicabilium, em 1755.
Vamos definir I n :


0
x n  e x dx 2 e, notando que as funções integrandas são positivas. Defini-
mos, pois, as seguintes funções Fn ( ) 
Fn ( )nIN


0
x n  e x dx . Podemos inferir que a sequência
é crescente, isto é, se 1   2  Fn (1 )  Fn ( 2 ) . Daí, podemos esperar que
 . Ora, usando que
lim  e x dx  lim x  (e )  n  lim  e x dx  0  n  lim  e x x n1dx . Portanto, estabe-
tenhamos
x
x 
2
um
limite
n
n
x 
finito
ou
x
diverge
x
para
n 1
x 
x 
No livro de Shacarchi (1998, p. 219) encontramos um critério que generaliza o modelo em torno da
integral de Euler. O autor descreve a convergência absoluta de integrais do tipo
11


0
P( x)  e ax dx .
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

lecemos que lim e x x n dx  n  lim e x x n1dx  I n  n  I n1 . Reparemos, todavia, que usax 
x 
x
mos o fato de que lim x  (e )  0 .
n
x 

De outro modo, consideremos a seguinte integral

0
e x  x p 1dx, p  0 . Reparemos que pode-
mos obter uma desigualdade da seguinte maneira e x  x p 1 

x
que lim x  e  x
x 
2
p 1

 x p 1 
 lim  x   0 . Assim, dado   0 , existem um número real
x 
 e 

M  0 tal que x  M  x 2  e x  x p 1    e x  x p 1 

ração, sabendo que


x
1
c
, com r  1 . De fato, vejamos
xr
podemos definir ( p) :
2

dx converge, então

0


0
x2
. Portanto, pelo critério da Compa-
e x  x p 1dx, p  0 deverá convergir. Daí,
e x  x p 1dx (função de p  0) chamada de função Gama.
Por partes
Facilmente verificamos a propriedade:
estabelecemos

b

b
0
que ( p)  lim
b 0
x
p 1
x
p 1
x
p 2
 e  x dx p1  e  x  ( p 1) e  x dx . Portanto,
u  x

x
dv e dx
b 
b
e x  x p 1dx  (e x  x p 1 ) |b0  ( p  1)   e x  x p 2 dx . Daí, escrevemos ainda
0
  b p1 
 b  0
 e 
b
e x  x p 1dx  lim( p  1)   e x  x p 2dx  ( p  1) ( p  1) .
b
0
Prosseguindo, indutivamente, que vale ( p)  ( p  1)!
Com


1
de
base
nessa
ultima
relação,
e x x1dx  (2)  1!  1 e também que
que

I 0   e x dx  1 .
0
I n  n(n  1)(n  2)
inferimos


1
se

1
e x x 4 dx  (5)  4!  24
e
e x x0 dx  (1)  0!  1 . Usando, por fim, o fato
Concluímos,
pois,
que
In
converge
e
vale
2 1  n! . Temos aqui uma definição sofisticada para o símbolo n!
Vamos considerar a integral de Bertrand, descrita por
mente

que
n 2.
Com
efeito,


1
dx
que converge se, e sox  (ln( x)) 1
n
vamos
tomar
a
integral
u( x)  ln( x) u '( x)  1 x
ln( x)dx x n1
x n1 1
x n1
x n1


ln(
x
)


dx


ln(
x
)

,
onde
.


 x n n  1
 n  1 x n  1
n
 n 1
(n  1)2
v '( x)  x
v '( x)  x n  1
Por fim, obtemos que


1
t
 x  n1
dx
x  n1 
1
 lim 
 ln( x) 

.
n
1
2
t

x  (ln( x))
(n  1) 1 (n  1)2
 n  1
12
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
Vamos descrever o comportamento da integral de Dirichlet

sen( x)dx
. Veremos que a
x
0
mesma converge, mas não converge absolutamente. Usando integração por partes, estabelecex
x sen(t )dt
sen(t )dt
cos(t )
0 t   t 1  0 t 2 . No que segue, analisamos o comportamento de
 cos(t ) x
x sen(t ) dt 
lim  

.
x 
t 1 0
t2


mos
x
Todavia, por intermédio do software Geogebra, prevemos que o limite de cada termo converge,
quando x   .
Por outro lado, vejamos que

sen( x) dx


 
x
2
n 1

escrevemos:

2( n 1)
2 n
2( n 1)
sen( x) dx

sen( x) dx
x
não converge. Com efeito, verificamos que
x
0
x
sen( x) dx
2 n
n 1

. Agora, notamos que x   ( x  1) 

2( n 1)
sen( x) dx
2 n
2 (n  1)
 
n 1
1
 1 . Daí,
x
.
Agora, observando que em cada intervalo  2n , 2(n  1)  cada integral terá valor constante,
pois a função em questão é periódica, de período  . Por fim, assumindo que seu valor é C ,


escrevemos:
n 1
2( n 1)
sen( x) dx
2 n
x

2( n 1)
sen( x) dx
2 n
2 (n  1)
sen( x) dx
 
n 1
série harmônica (divergente). Concluímos que


x
0
Para concluir, vamos considerar a astróide descrita por
3

C
. Mas, sendo a
n 1 2 ( n  1)

não poderá convergir!
x2  3 y 2  3 a2
 a>0 . De imedia-
to, com base em seu comportamento, divisamos as quinas em que não contamos com a diferenciabilidade.
Assim, escrevemos:
3
 3
x  y  a  y '   3  1   y '  1    3

x

2
3
2
3
2
3
y
2
2
y
 
x 
3
x2  3 y 2
3

x2
3
a2
3
x2

3
a
.
3
x
Por fim, calculamos seu comprimento:
L  4  3 1
1
0
1 dx
1 1
dx

4

lim

4

lim
x 3  6.
3
 0  3 x
 0 
x
A Cissoide em termos de coordenadas cartesianas é descrita por y  x
(1979, p. 177) apresenta a seguinte integral A 

1
0
x 2  1  x 
3
1
2
3
2
 1  x 
2
. Edwards
dx . Na ocasião, o autor em-
prega o método da Quadratura da Cissóide, empregado por Wallis, em 1659.
13
1
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Figura 4. Edwards (1979, p. 177) aplica a noção de integral imprópria para determinar se a integral converge
Na figura 4, trazemos a Astróide descrita pelo Geogebra e a Cissoide. No caso da integral indicada por A 

1
0
x 2  1  x 
3
1
2
dx podemos obtê-la, por intermédio de algum método analítico
apropriado. Não obstante, no caso da equação 3 x 2  3 y 2  1 , temos uma equação descrita de
modo implícito nas variáveis ‘x’ e ‘y’. Daí, como indicamos há pouco e, tendo em vista a simetria da figura (lado direito, fig. 4), efetuamos a multiplicação por 4.
Na próxima seção, sublinharemos possíveis interpretações gráfico-geométricas com o CAS Maple. Não pretendemos o domínio de sua sintaxe ao decorrer do minicurso, embora, os comandos
envolvidos sejam de plotagem de gráficos e que não requerem grande conhecimento de programação por parte de aluno ou professor.
4. Situações envolvendo o uso do CAS Maple
Gonzalez-Martín (2005, p. 82) acentua o embate filosófico entre o matemático John Wallis e o
filósofo Thomas Hobbes em torno de determinada questões filosóficas. Dentre elas, se destaca o
caso da trombeta do anjo Grabriel. Tal trombeta se constrói a partir da hipérbole f ( x)  1 x .
Gonzalez-Martín (2005, p. 82) explica que “é fácil compreender que a área superficial da trombeta é infinita; todavia, seu volume interior é finito.” A parte destas características, a trombeta
do anjo Gabriel possui ainda outras propriedades surpreendentes e imponderáveis.
14
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Figura 5. Descrição com o uso do CAS Maple da trombeta do anjo Gabriel
Nesse sentido, tal trombeta não possui embocadura e também não possui centro de gravidade.
Propriedades como essas parecerem irrita o filósofo Thomas Hobbes. Nesse contexto, Imaz
(2001, p. 307, APUD, GONZALEZ-MARTIN, 2004, p. 82) declarou que:
Um sólido, ou superfície, pode ser supostamente constituído, de tal
maneira que, é infinitamente larga, todavia, finitamente grande, sem
possui centro de gravidade...como sucede com as descobertas de Wallis, Fermat e outros. Todavia, exige mais conhecimentos de Geometria
e Lógica que dispõe o sr. Hobbes.
Historicamente, registramos muitas discussões sobre o entendimento em torno da noção de integrais impróprias. Hodiernamente, “não é de estranhar a dificuldade dos estudantes com respeito
a esta noção” (GONZALEZ-MATÍN, 2005, p. 82). Na figura 5 destacamos a descrição/interpretação gráfico-geométrica da integral
derar funções do tipo


0
sen( xy )
dx . Nesse caso, passamos a consixy
F ( y)   f ( x, y)dx  c  y  d  , com
b
a
[a, b]  [c, d ] . Portanto, a função F será contínua em [c, d ] .
15
f ( x, y) contínua em
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Figura 6. Descrição e interpretação da integral de Dirichlet no espaço IR3
Na figura 5, comparamos, de modo qualitativo, o comportamento das integrais




0
sen( xy )
dx e
xy
sen( xy )
dx . O caráter que assinalamos é a relação conceitual que estabelecemos no contexxy
2
3
to do IR com o IR . Com efeito, pontuamos que a integral de Dirichlet converge, mas não
3
converge absolutamente. O comportamento é semelhante no caso do espaço IR . Aqui, as con sen( xy )
dx tendem a diminuir, além de alternarem seu sinal. Todatribuições de volume de 
0
xy
 sen( xy )
dx de volume de diminuem, mas com sinal apenas positivo.
via, as contribuições 
0
xy
0
Seu decrescimento é lento, quando se afastamos da origem.
Trench (2012, p. 9) considera a seguinte função F ( y ) 


0
x
1
2
 e xy dx e conclui que a inte-
gral diverge em y  0 e converge em y  0 . Na figura 7, divisamos que as contribuições de
volume tendem a diminuir, para y  0 . Enquanto que as contribuições de volume tendem a
crescer, na medida em que y   . No plano ressaltamos o comportamento similar correspondente às áreas.
16
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Figura 7. Discriminação da região do plano na qual a integral converge e diverge no espaço
Outro fator a ser compreendido diz respeito ao do resultado obtido por intermédio do uso dos
critérios de convergência que apresentamos na seção 2. Tais critérios de convergência/divergência indicam o comportamento das integrais, entretanto, não indicam os valores numéricos assumidos por cada integral, nos intervalos considerados. Vejamos alguns valores numéricos assumidos pela integral


0
e x dx e
2


0
e x dx . Ver tabela 1.
Tabela 1: Valores numéricos fornecidos pelo software
Valores de ‘x’


0
e x dx
2


0
e x dx
0-5
0.8862269255
0.9932620530
0 - 10
0.8862269255
0.9999546001
0 - 20
0.8862269255
0.9999999979
0 - 20000
Fonte: Elaboração do autor.
0.8862269255
1.
5. Considerações finais
Nesse mini-curso trazemos o uso dos softwares Geogebra e do CAS Maple no sentido de ressignificar determinados problemas históricos e critérios de convergência e divergência, sob a ótica
da tecnologia, no que concerne ao conceito de integral generalizada ou integral imprópria. Demarcamos, do ponto de vista histórico e epistemológico, determinados aspectos heurísticos e
formais inerentes ao mesmo conceito. Alguns deles, sobretudo os que permitem uma interpreta17
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ção heurístico-intuitiva, podem proporcionar entraves aos estudantes (GONZALEZ-MARTÍN,
2005). Por outro lado, buscamos evidenciar ao longo das atividades discutidas que, o uso de
modo complementar, de ambos os softwares, viabiliza o entendimento que supera os condicionantes do formalismo estrutural, característico do pensamento bourbakiano.
Por fim, quando permitimos a tecnologia afetar nossa mediação, vislumbramos a exploração de
determinados aspectos qualitativos, que podem atuar de modo produtivo no processo de aprendizagem e que, todavia, se mostram inexequiveis de serem promovidos, quando negligenciamos
o uso de softwares para o ensino de Matemática e, de modo particular, do Cálculo (ALVES,
2012, p. 18).
6. REFERÊNCIAS
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do Cálculo a várias variáveis. In: Revista do Instituto Geogebra Internacional de São Paulo. v. 1,
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Copyright © 2013 Francisco Regis Vieira Alves. O Autor concede licença não exclusiva, aos
organizadores do VI HTEM, para publicar este documento no CD de trabalhos completos do
evento. Qualquer outro uso é proibido sem o consentimento do autor.
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