Espaço amostral - Rede Linux IME-USP

EXPERIMENTO ALEATÓRIO : Experimento que pode fornecer diferentes
resultados, embora seja repetido toda vez da mesma maneira.
ESPAÇO AMOSTRAL : O conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório, é chamado de ESPAÇO AMOSTRAL do experimento. O
espaço amostral é denotado por S. Um espaço amostral é discreto se ele
consiste de um conjunto infinito ou finito de resultados contáveis. Um espaço
amostral é contínuo se ele contém um intervalo (finito ou infinito) de números
reais.
EVENTO : Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um
experimento aleatório. Como eventos são subconjuntos do espaço amostral,
podemos usar a operação básica da teoria de conjuntos para gerar NOVOS
eventos.
EXEMPLOS
Experimento : Dois dados são lançados aleatoriamente.
Espaço amostral :
Evento 1 : Dados com o mesmo valor de face
E1 = { 11,22,33,44,55,66}
Evento 2 : Dados soma dos valores maior que 10
E2 = { 56, 65,66}
EXEMPLOS
Experimento : Valor da resistência medida em um fio de cobre.
Espaço amostral : S = R+ = { x | x > 0}
Experimento : Valor da resistência medida em um fio de cobre, sabido que a
resistência medida não será menor que 10K ohms e não será maior que 100 K
ohms.
Espaço amostral : S = { x | 10.000 < x < 100.000}
EXEMPLOS
Experimento : Valor da resistência medida em 2 fios de cobre.
Espaço amostral : S = R+ x R+
Experimento : Verificar se o valor da resistência (R) medida nos dois fios de cobre está
ou não dentro da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior
que 100 K ohms.
Espaço amostral : S = { ss, sn, ns, nn }
Experimento : Verificar do total de dois fios de cobre, o número de fios de cobre que
estão ou não dentro da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será
maior que 100 K ohms.
Espaço amostral : S = { 0, 1, 2}
Experimento : Medir a resistência (R) de fios de cobre até encontrar um fio de cobre fora
da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior que 100 K
ohms.
Espaço amostral : S = { s,sn,ssn,sssn,ssssn ... }
Espaço amostral discreto e infinito contável.
Em experimentos que envolvem a seleção de itens de um lote, é importante
compreendermos as definições de amostragem com reposição ou sem
reposição e com ordenamento ou sem ordenamento, que influenciam na
descrição do espaço amostral.
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
Por exemplo, se tivermos um lote de 3 fios de cobre a, b, e c. Ao selecionarmos
2 itens SEM REPOSIÇÃO, nosso espaço amostral possível será :
Ssem/ord = { ab, ac, ba, bc, ca, cb }, caso o ordenamento dos itens seja relevante
ou
Ssem/nord= { {a,b}, {a,c}, {b,c} } se o ordenamento não é relevante.
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO
Por outro lado em um lote de 3 fios de cobre a, b, e c ao selecionarmos 2 itens
COM REPOSIÇÃO, nosso espaço amostral possível será :
Ssem/ord = { ab, aa, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc }, caso o ordenamento dos itens seja
relevante
ou
Ssem/nord = { {a,a}, {a,b}, {a,c}, {b,b}, {b,c}, {c,c} } se o ordenamento não é
relevante.
Alguma vezes não é necessário descrever exatamente o item selecionado, mas
somente uma de suas propriedades, como por exemplo atender uma determinada
especificação (bom) ou não (defeito). Em um determinado lote, encontramos 5
peças com defeito e 95 peças boas, se selecionarmos uma amostra de 2 itens
sem reposição e ordenados, o espaço amostral seria :
S = { bb,bd,db,dd }
Agora, se nesse mesmo lote, existisse somente uma peça com defeito, qual
seria o novo espaço amostral ? Dado o espaço amostral original, qual seria
o novo espaço amostral se a amostra não fosse ordenada ?
DESCRIÇÃO GRÁFICA DE ESPAÇOS AMOSTRAIS
DIAGRAMAS DE ÁRVORES
DIAGRAMA DE VENN
Os diagramas de Venn são usados para retratar relações entre conjuntos, logo podem ser usados
também para descrever relações entre eventos.
EXERCÍCIO
(1)
(2)
(3)
TÉCNICAS DE CONTAGEM
Muitas vezes a determinação dos resultados que compreendem um espaço
amostral ou evento não são simples, por isso os métodos de técnicas de
contagem são utilizados.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO
Se uma operação puder ser descrita em k etapas e se o número de maneiras de
completar a etapa 1 for n1, o número de maneiras de completar a etapa 2 for n2,
para cada maneira de completar a etapa n1 e se o número de maneiras de
completar a etapa 3 for n3 para cada maneira de completar a etapa 2 e assim por
diante, temos que o número total de completar a operação será :
n1 x n2 x n3 x....x nk
EXEMPLO
Número possível de placas de automóveis :
AAA 9999
26
26
10
10 10
10
26
N = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000
TÉCNICAS DE CONTAGEM
PERMUTAÇÃO
Para calcularmos o número de sequências ordenadas sem reposição dos
elementos de um conjunto, utilizamos a permutação. O número de permutações
de n elementos diferentes é PN , sendo
PN = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2x1 = n!
Exemplo : Considere o conjunto S = { a, b, c } a sequência ordenada
abc,acb,bac,cba e cba. São todas permutações dos elementos de S. Esse
resultado é decorrente da regra da multiplicação.
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TÉCNICAS DE CONTAGEM
PERMUTAÇÃO DE OBJETOS SIMILARES
Quando precisamos contar o número de permutações (sequências ordenadas)
para objetos que não são todos diferente, o número de permutações n =
n1+n2+...+nr objetos dos quais n1 são de um tipo, n2 são de um segundo tipo e
assim por diante
PN
=
n!
n1 ! x n2 ! x...x nr!
Ex.: Considere uma operação de usinagem em que dois orifícios com mesmo diametro, e
dois encaixes de mesmo tamanho precisam ser feitos em determinada peça. Seja p a
operação de perfuração e e a operação de encaixe, qual o número de possíveis sequencias
para estas operações ? Faça o diagrama de árvore do espaço amostral.
R:
P4 =
4!
2! x 2!
TÉCNICAS DE CONTAGEM
PERMUTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS - ARRANJO
Em alguns casos estamos interessados no número de sequências ou arranjos de
alguns elementos de um conjunto. Dessa forma para calcularmos o número de
permutações de subconjuntos de n elementos, sem reposição, selecionados de
um conjunto de N elementos diferentes temos que :
AN,n =
N!
(N-n)!
Exemplo : Uma placa de circuito impresso tem 8 localizações diferentes em que
um componente pode ser colocado, se 4 componentes diferentes podem ser
colocados na placa, quantos projetos diferentes são possíveis ?
R : Cada projeto consiste em selecionar uma localização para o 1º componente,
uma localização das setes restantes para o 2º componente, um localização das
seis restantes para o terceiro componente e assim por diante.
TÉCNICAS DE CONTAGEM
PERMUTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS - ARRANJO
C1 C2 C3 C 4
8
7
6
5
A8,4 = 8! = 8 x7 x 6 x 5 = 1680
(8-4)!