probabilidade - Grupos.com.br

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6 PROBABILIDADE
Quando investigamos algum fenômeno, verificamos a necessidade de descrevê-lo por um
modelo matemático que permite explicá-lo, da melhor forma possível. Os fenômenos são
classificados em dois tipos: Fenômenos determinísticos e Fenômenos aleatórios.
 Fenômenos determinísticos: São aqueles que repetidos nas mesmas condições iniciais
conduzem sempre a um mesmo resultado. Exemplo: Deixar uma massa M cair em queda livre de
uma altura de 1 metro sobre uma superfície e anotar tempo t de queda livre.
 Fenômenos aleatórios: São aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais
podem conduzir a mais que um resultado. Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um
dado, o tempo de vida útil de uma lâmpada, número de clientes que vão a um banco em um
determinado dia, etc.
O objetivo da teoria das probabilidades é o estudo fenômenos aleatórios.
6.1 Conceitos Importantes
A seguir serão apresentados alguns conceitos importantíssimos relacionados a teoria das
probabilidades, que são: experimento, espaço amostral e evento.
Experimento: todo fenômeno ou ação que geralmente pode ser repetido e cujo resultado é
casual ou aleatório, representaremos por E.
Exemplos:
 Jogar um dado e observar o resultado mostrado na face superior.
 Jogar uma moeda quatro vezes e observar o número de caras obtido.
 Contar o número de peças fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas.
Espaço Amostral: conjunto  de todos os resultados possíveis de um experimento. Os
resultados devem ser definidos de maneira que sejam mutuamente exclusivos e coletivamente
exaustivos, isto é, de maneira que um, e apenas um, deles possa ser observado quando o
experimento termina.
Exemplos:
 Em um jogo de dados, o espaço amostral é   1,2,3,4,5,6.
 O espaço amostral relativo ao lançamento de duas moedas é   kk, kc, ck , cc . Se
tivermos interessados no número de caras obtidas, o espaço amostral relativo ao
lançamento de duas moedas é   0,1, 2.
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Evento: Seja  o espaço amostral do experimento. O conjunto A   será chamado de
evento. O conjunto  é o evento certo e o subconjunto vazio é o evento impossível. Denominamos
evento simples ou elementar a todo subconjunto unitário do espaço amostral.
Exemplos:
 No espaço amostral relativo ao lançamento de uma moeda, uma única vez, que é
  k, c, k e c são eventos simples.
 Seja o experimento E: lançar um dado e observar a face superior. Então
  1,2,3,4,5,6. Seja B o evento “ocorrer múltiplo de 2. Então, B  2,4,6.
Das operações entre conjuntos pode-se formar novos conjuntos:
(i) A  B é o evento “ A ou B ”, evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos
ocorrem.
(ii) A  B é o evento “ A e B ”, evento que ocorre se A e B ocorrem.
(iii) A c é o evento “não A”, ou seja, ocorre A c se, e somente se, não ocorre o evento A.
6.2 Definição Clássica de Probabilidade
Seja A um subconjunto do espaço amostral  , então se todos os resultados elementares de
 são equiprováveis1, a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por P A 
#A
#
(razão entre o número de resultados favoráveis a A e o número de resultados possíveis).
Seja A um evento do espaço amostral  , então se atribuirmos uma probabilidade ao
evento A ele será chamado de evento aleatório.
Exemplos
1) Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação ao
sexo das mesmas, segundo a ordem dos nascimentos. Descrever os eventos:
a) Ocorrência de dois filhos do sexo masculino.
b) Ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino.
c) Ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino.
2) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos abaixo ocorrerem:
a) A: sair um número ímpar.
b) B: sair um número menor que 3.
1
Mesma probabilidade de ocorrer.
3
c) C: sair um número maior que 10.
d)  : sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.
3) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho com 52 cartas.
a) Qual a probabilidade de sair a carta de espadas?
b) Qual a probabilidade de sair um rei?
6.3 Definição Axiomática de Probabilidade
Dado um experimento aleatório E e o espaço amostral  , a probabilidade de um evento A,
P A , é uma função definida em  que associa a cada evento um número real, satisfazendo os
seguintes axiomas:
(i) P A  0
(ii) P  1
(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então P A  B  P A  PB.
Genericamente temos: Se A1 , A2 , A3  forem eventos mutuamente exclusivos, então
 
P Ai  


 i 1 


 P Ai  .
i 1
6.4 Algumas Propriedades da Probabilidade
P1) Se A é um evento aleatório, então a probabilidade de A não ocorrer é dada por
 
P Ac  1  P A.
P2) Se A é um evento aleatório, então 0  P A  1 .
P3) Se A1  A2  P A1   P A2  e P A2  A1   P A2   P A1 .
P4) P A1  A2   P A1   P A2   P A1  A2  .
P5) Se  é o evento impossível, então P   0 .
P6) Se A, B e C forem eventos quaisquer, então:
P A  B  C   P A  PB  PC   P A  B  P A  C   PB  C   P A  B  C 
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Exemplos
1) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as
seguintes afirmações verbais:
a) Ao menos um dos eventos ocorre;
b) Exatamente um dos eventos ocorre;
c) Exatamente dois eventos ocorrem.
2) Suponha que A e B sejam eventos tais que P A  x , PB   y e P A  B  z. Exprima cada
uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z.

a) P Ac  B c
3)
Suponha


b) P Ac  B
que
A,
B
e
C

sejam
eventos
tais
que
P A  PB  PC   1 4 ,
P A  B  PC  B  0 e P A C   1 8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos
eventos A, B ou C ocorra.
4) Três cavalos, A, B e C, estão em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar
que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Quais são as probabilidades de
vitória de cada um. Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar?
5) Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas. Determine a probabilidade de a carta
ser (a) um ás, (b) o valete de copas, (c) três de paus ou seis de ouros, (d) uma carta de copas, (e) de
qualquer naipe exceto copas, (f) um dez ou uma carta de espadas, (g) nem quatro nem carta de paus.
6) Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.
Determine a probabilidade de a bola extraída ser (a) vermelha, (b) branca, (c) azul, (d) nãovermelha, (e) vermelha ou branca.
7) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule:
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas.
b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas.
c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.