Probabilidades

Probabilidades
Capítulo 9
Prof. Marcelo Lorio
UCAM - Ipanema
Experimentos Aleatórios
São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes
sob
condições
semelhantes,
apresentam
resultados imprevisíveis.
Exemplo: O resultado de um jogo de futebol
Espaço Amostral
Ao conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório chamamos Espaço
Amostral e representamos por S.
Exemplo:
i) Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}
ii) Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}
Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral S de um experimento aleatório.
Exemplo:
Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}
Evento A: “Obter um número par na face
superior” A = {2,4,6}
Classificação dos Eventos
1. Evento Certo: Quando E = S
2. Evento Elementar: Quando E é unitário
3. Evento Impossível: Quando E = ∅
Exemplo
Experimento: Lançamento de um dado
1. “Obter um número menor ou igual a 6 na face
superior”
E = S = {1,2,3,4,5,6}
Evento Certo
2. “Obter o número 4 na face superior” E = {4}
Evento Elementar
3. “Obter um número maior que 6 na face superior”
E = ∅ Evento Impossível
Probabilidade
Dado S o espaço amostral equiprovável de um
experimento aleatório.
Chamamos de probabilidade de um evento A
(A⊂ 𝑆) o número real P(A), tal que:
𝒏(𝑨)
P(A)=
𝒏(𝑺)
, onde:
n(A) é o número de elementos de A
n(S) é o número de elementos de S
Probabilidade
Exemplo:
Experimento: Lançamento de um dado
Qual a probabilidade de obtermos um número
par?
Solução:
S = {1,2,3,4,5,6} ⇒ n(S) = 6
A = {2,4,6} ⇒ n(E) = 3
Logo,
3
p(A) =
6
1
2
= = 0,5 = 50%
Observações
Considerando n(S) = n, sendo S o espaço
amostral de um experimento aleatório, temos:
1. P(S) = 1 (Probabilidade do evento certo)
2. P(∅) = 0 (Probabilidade do evento impossível)
3. 𝟎 ≤ p(E) ≤ 𝟏 (Probabilidade de um evento qualquer)
4.
𝟏
P(E)= (Probabilidade do evento elementar, n(E) = 1)
𝒏
Eventos complementares
Sejam:
p: A probabilidade do evento A ocorrer
q: A probabilidade do evento A não ocorrer
Existe sempre a relação:
p+q=1
Exemplo: A probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado
𝟏
𝟔
𝟏
𝟔
é 𝒑 = . Logo, a probabilidade de não tirar 4 é q = 1 - =
𝟓
𝟔
Adição de Probabilidades
Sendo A e B eventos de um espaço amostral
equiprovável S, finito e não vazio, temos:
Probabilidade de ocorrer A ou B
𝑷 𝑨𝑼𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
S
A
B
Exemplo
Uma urna contém 50 fichas, numeradas de 1 a 50.
Sorteando uma ficha dessa urna, qual é a probabilidade de
obter um número menor que 20 ou um múltiplo de 5.
Solução:
S = {1,2,3,...,50} ⇒ n(S) = 50
A = {1,2,3,...,19} ⇒ n(A) = 19
B = {5,10,15,20,25,30,35,40,45,50} ⇒ n(B) =10.
A∩B ={5,10,15} ⇒ n(A∩B)=3
Assim, p(AUB) =
𝟏𝟗
𝟓𝟎
+
𝟏𝟎
𝟓𝟎
−
𝟑
𝟓𝟎
=
𝟐𝟔
𝟓𝟎
= 𝟓𝟐%
Evento mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos se, e
somente se, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, então teremos:
𝑃 𝐴𝑈𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
Exemplo
No lançamento de dois dados qual a probabilidade
de que a soma dos pontos das faces voltadas para
cima seja maior que 9 ou menor que 6?
Solução:
n(S) = 36 ( 6 x 6 = 36)
A = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} ⇒ n(A)=6
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),
(3,2),(4,1)} ⇒ n(B) = 10
P(AUB) =
6
10
+
36
36
=
16
36
4
9
= = 0,444 = 44,4%
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de ocorrer um evento
condicionado à ocorrência de outro evento.
Exemplos:
1) Sorteio de bolas numeradas de 1 a 10. Sabendo
que a bola sorteada é a de número par, qual a
probabilidade dela ser maior que 4?
2) No lançamento de um dado, qual a probabilidade
de ocorrer um número maior que 2, sabendo que
ocorreu um número menor que 5?
Exemplos: Solução
1) Sabemos que a bola sorteada foi a de
número par, que poderá ser 2,4,6,8 ou 10.
Além disso, deverá ser a que apresente um
número maior do que 4, portanto, 6,8 ou 10.
Assim, a probabilidade será:
n(casos favoráveis) 3
𝑝=
=
5
n(casos possíveis)
Exemplos - Solução
2) Sabemos que no lançamento do dado ocorreu
um número menor do que 5. Ou seja, 1,2,3 ou 4.
Desses, os resultados que nos interessam devem
ser maiores do que 2, ou seja, 3 ou 4. Portanto a
probabilidade será :
𝑛(casos favoráveis) 2 1
𝑝=
= =
n(casos possíveis)
4 2
NOTAÇÃO
Em ambos os casos poderíamos escrever:
p(A ∩ 𝑩)
p(A/B)=
p(B)
Onde:
p(A/𝑩) é a probabilidade de A ocorrer,
sabendo que B ocorreu.
Lê-se: “Probabilidade de A dado B”.
Eventos Independentes
Quando a probabilidade de ocorrer um evento
não depende da probabilidade de ocorrência de
algum outro evento anterior ou posterior a ele.
Exemplo:
Considere o experimento aleatório que consiste
em dois lançamentos consecutivos de uma
moeda. Qual a probabilidade de ocorrer a face
cara no 2º lançamento, sabendo que ocorreu a
face cara no 1º lançamento ?
Exemplo: Solução
a) Sabendo que ocorreu a face cara no 1º
lançamento?
Solução:
S = {(Ca,Ca); (Ca,Co); (Co,Ca);(Ca,Co)} ⇒ 𝑛 𝑆 = 4
B = {(Ca,Ca);(Co,Ca)} “Ocorre Ca no 2º lançamento”
𝟐
𝟒
⇒ n(B) = 2 ⇒ 𝒑 𝑩 = =
𝟏
𝟐
Exemplo: Solução
Vamos considerar o evento A, ou seja, que tenha
ocorrido Ca no primeiro lançamento:
A = {(Ca,Ca);(Ca,Co)}
Calculemos agora p(B/A) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐴)
=
1
2
CONCLUSÃO:
Vemos que p(B/A) = p(B) (Verifique que P(A/B) = P(A) !!!)
Dizemos que A e B são eventos independentes.
Exemplo: Observação
Dizer que dois eventos A e B são independentes
não significa dizer que eles sejam mutuamente
exclusivos (A∩ 𝑩) = ∅
Note que no exemplo A∩ 𝑩 = {(Ca,Ca)}
Multiplicação de Probabilidades
Se A e B forem dois eventos independentes, então
podemos escrever:
𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑 𝑨 . 𝑷(𝑩)
Justificativa:
p(A∩B)
Sabemos que p =(A/B)=
⇒
p(B)
p(A ∩ 𝐵) = p(A/𝐵). 𝑝(𝐵) = p(A).P(B).
Exemplos
1) No lançamento de dois dados, qual a
probabilidade de se obter a face 6 nos dois?
Solução:
Sejam os eventos:
A: ocorrer o número 6 em um dado
B: ocorrer o número 6 no outro dado
Como A e B são eventos independentes, temos:
P(A∩B) =
1 1
p(A).p(B) = .
6 6
=
1
36
Exemplos
2)