3.80 (T21.09) Separaç˜ao de cargas

3.80. (T21.09) SEPARAÇÃO DE CARGAS
3.80
119
(T21.09) Separação de cargas
Duas esferas neutras condutoras estão em contato e estão presas em bastões isolantes sobre uma
grande mesa de madeira. Um bastão carregado positivamente é aproximado da superfı́cie de
uma das esferas no lado oposto ao ponto de contato com a outra esfera.
a. Descreva as cargas induzidas nas duas esferas condutoras e represente a distribuição de de
cargas em ambas.
b. As duas esferas são separadas e, então, o bastão carregado é afastado. A seguir, as esferas
são afastadas por uma grande distância. Represente as distribuições da carga nas esferas depois
de separadas.
Gabarite:
120
3.81
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T21.25) Efeito fotoelétrico
Durante o processo descrito pelo efeito fotoelétrico, luz ultravioleta pode ser usada para carregar
eletricamente um pedaço de metal.
a. Se esta luz incide em uma barra de material condutor e elétrons são ejetados com energia
suficiente para escapar da superfı́cie do metal, quanto tempo depois o metal terá uma carga
resultante de de +1.5 nC se 1.0 · 106 elétrons são ejetados por segundo?
b. Se 1.3 eV é necessário para ejetar um elétron da superfı́cie, qual é a potência do feixe de luz?
(considere que o processo seja 100% eficiente.)
Gabarite: (T21.25)
a. 2.6h.
b. 2.1 · 10−13 W.
3.82. (T21.29) LEI DE COULOMB
3.82
121
(T21.29) Lei de Coulomb
Uma carga puntiforme de −2.0 µC e uma carga puntiforme de 4.0 µC estão separadas por uma
distância L. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a força elétrica
nesta terceira carga fosso igual a zero?
Gabarite: (T21.29)
A uma distância igual a 0.41L da carga de −2.0 µC e no lado oposto ao da carga de 4.0 µC.
122
3.83
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T21.33) Lei de Coulomb
Uma partı́cula puntiforme que tem uma carga de −1.0 µC está localizada na origem; uma
segunda partı́cula puntiforme que tem carga de 2.0 µC está localizada em x = 0, y = 0.1 m;
e uma terceira partı́cula puntiforme tem uma carga de 4.0 µC está localizada em x = 0.2 m,
y = 0. Determine a força elétrica em cada uma das três cargas puntiformes.
Gabarite: (T21.33)
F~1 = (0.9 N)êx + (1.8 N)êy , F~2 = (−1.3 N)êx − (1.2 N)êy , F~3 = (0.4 N)êx − (6.4 N)êy .
3.84. (T21.43) LEI DE COULOMB
3.84
123
(T21.43) Lei de Coulomb
Uma carga puntiforme de −5.0 µC está localizada em x = 4.0 m, y = −2.0 m, e uma segunda
carga puntiforme de 12.0 µC está localizada em x = 1.0 m, y = 2.0 m.
a. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em x = −1.0 m, y = 0.
b. Calcule o módulo, a direção e o sentido da força elétrica em um elétron colocado em campo
elétrico em x = −1.0 m, y = 0.
Gabarite: (T21.43)
a. 13 kN/C em 230◦ .
b. 2.1 · 10−15 N em 51◦ .
124
3.85
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T21.53) Aceleração de cargas
Um elétron tem uma velocidade inicial de v0 = 2 · 106 m/s no sentido de +x. Ele entra em uma
~ = (300 N/C) êx .
região que tem campo elétrico uniforme E
a. Determine a aceleração do elétron.
b. Quanto tempo leva par que o elétron percorra s = 10.0 cm ao longo do eixo x no sentido +x
na região que tem campo.
c. Em que ângulo e em que direção o movimento do elétron é defletido enquanto ele percorre os
10.0 cm na direção x?
Gabarite: (T21.53)
a. ~a = (−5.28 · 1013 m/s2 )êx .
b. 50 ns.
c. 33.4◦ na direção −y.
3.86. (T21.55) ACELERAÇÃO DE CARGAS
3.86
125
(T21.55) Aceleração de cargas
Uma partı́cula carregada de 2.0 g é liberada a partir do repouso em uma região que tem um
~ = (300 kN/C)êx . Depois de percorrer uma distância de 0.5 m nesta
campo elétrico uniforme E
região, a partı́cula tem uma energia cinética de 0.12 J. Determine a carga da partı́cula.
Gabarite: (T21.55)
800 µC
126
3.87
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T22.35) Fluxo atravessando um cone
Um cone circular reto imaginário com ângulo de base θ e raio de base R está em uma região
~ (linhas de campo são verticais ao eixo
livre de cargas que tem um campo elétrico uniforme E
do cone). Qual é a razão entre o numero de linhas de campo por unidade de área entrando na
base e o número de linhas por unidade de área entrando na superfı́cie cônica do cone. Use a lei
de Gauss em sua resposta.
Gabarite: (T22.35)
cos θ
3.88. (T22.41) ESFERA CARREGADA
3.88
127
(T22.41) Esfera carregada
Uma esfera sólida não condutora de raio R = 1.0 cm tem uma densidade volumétrica uniforme
de carga. A magnitude do campo elétrico a r = 2.0 cm do centro da esfera é Er = 1.88·103 N/C.
a. Qual é a densidade volumétrica de carga da esfera?
b. Determine a magnitude do campo elétrico a uma distância de d = 5.0 cm do centro da esfera.
Gabarite: (T22.41)
a. 2.0 µC/m3 .
b. 470 N/C.
128
3.89
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T22.53) Guia de onda
A figura mostra uma porção da seção transversal de um cabo concêntrico infinitamente longo.
O condutor interno tem uma densidade linear de carga de 6.0 nC/m e o condutor externo não
tem carga resultante.
a. Determine o campo elétrico para todos os valores de R, onde R é a distância perpendicular
ao eixo comum no sistema cilı́ndrico.
b. Quais são as densidades superficiais de carga nas superfı́cies do lado de dentro e do lado de
fora do condutor externo?
Figura 3.15:
Gabarite: (T22.53)
para 1.5 cm < R < 4.5 cm, ER = 0 para
a. ER = 0 para R < 1.5 cm, ER = 108 Nm/C
R
156 Nm/C
para 6.5 cm < R.
4.5 cm < R < 6.5 cm, ER =
R
b. σdentro = −21.2 nC/m2 e σf ora = 14.7 nC/m2 .
3.90. (T22.65) DISTRIBUIÇÃO DE CARGA
3.90
129
(T22.65) Distribuição de carga
Uma fina lâmina quadrada e condutora tem bordas com d = 5.0 m de comprimento e uma carga
resultante de Q = 80 µC. Considere que a carga esteja uniformemente distribuı́da nas faces da
lâmina.
a. Determine a densidade de carga em cada face da lâmina e o campo elétrico nas proximidades
de uma das faces.
b. A lâmina está colocada à direita de um plano infinito, não condutor e carregado, com densidade
de carga igual a σinf = 2.0 µC/m2 , com as faces da lâmina paralelas ao plano. Determine o
campo elétrico em cada face da lâmina e determine a densidade de carga em cada face.
Gabarite: (T22.65)
a. Qesq = 15 µC e Qdir = 65 µC.
b. Eesq,x = −68 kN/C e Edir,x = 294 kN/C, σesq = 0.6 µC/m2 , σdir = 2.6 µC/m2 .
130
3.91
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T22.67) Distribuição de carga
Uma superfı́cie grande, plana, não-condutora e não uniformemente carregada está ao longo do
plano x = 0. Na origem, a densidade de carga é de σ = 3.1 µC/m2 . A uma pequena distância da
superfı́cie no sentido positivo do eixo x, a componente x do campo elétrico é Edir = 4.65·105 N/C.
Qual é o valor de Ex a uma pequena distância da superfı́cie no sentido negativo do eixo x.
Gabarite: (T22.67)
-115 kN/C.
131
3.92. (T22.69) FLUXO
3.92
(T22.69) Fluxo
Uma fina casca esférica não-condutora, uniformemente carregada, com raio R, tem uma carga
total positiva igual a Q. Um pequeno pedaço é removido da superfı́cie.
a. Quais são o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do buraco?
b. O pedaço é colocado de volta no buraco. Determine a força elétrica exercida no pedaço.
c. Usando a magnitude da força, calcule a pressão eletrostática que tende a expandir a esfera.
Gabarite: (T22.69)
a. E = 8πεQ0 R2 , radialmente para fora.
b. F =
c. P =
Q2 a2
, radialmente
32πε0 R4
2
Q
.
32π 2 ε0 R4
para fora.
132
3.93
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T22.77) Distribuição de carga
Uma lâmina plana infinita não-condutora tem uma densidade superficial de carga de σ1 =
+3.0 µC/m2 e está no plano y0 = −0.6 m. Uma segunda lâmina plana infinita tem densidade
superficial de carga de σ2 = −2.0 µC/m2 e está no plano x0 = 1.0 m. Finalmente, uma fina casca
esférica não-condutora com raio de R = 1.0 m e como centro no plano z0 = 0 na interseção dos
dois planos carregados, tem uma densidade densidade superficial de carga de σ3 = −3.0 µC/m2 .
Determine a magnitude, a direção e o sentido do campo elétrico no eixo x em
a. x1 = 0.4 m e
b. x2 = 2.5 m.
Gabarite: (T22.77)
a. E = 204 kN/C a 56.3◦ .
b. E = 263 kN/C a 153◦
3.94. (T22.79) PARTÍCULA GIRANDO EM TORNO DE UM FIO CARREGADO
3.94
133
(T22.79) Partı́cula girando em torno de um fio carregado
Uma linha infinitamente longa uniformemente carregada com carga negativa, tem densidade de
carga igual a λ e está localizada no eixo z. Uma pequena partı́cula carregada positivamente tem
massa m e uma carga q, e está em órbita circular de raio R no plano xy centrada na linha de
cargas.
a. Deduza uma expressão para a rapidez da partı́cula.
b. Obtenha uma expressão para o perı́odo da órbita da partı́cula.
Gabarite:
q (T22.79)
1 λq
a. v = 2πε
.
0 m
q
b. T = 2πr 2πελq0 m .
134
3.95
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.19) Potencial elétrico entre cargas puntiformes
Uma partı́cula puntiforme tem uma carga igual a +2.0 µC e está fixa na origem.
a. Qual é o potencial elétrico V em um ponto a 4.0 m da origem, considerando que V = 0 no
infinito?
b. Quanto trabalho deve ser realizado para trazer uma segunda carga puntiforme que tem uma
carga de +3.0 µC do infinito até uma distância de 4.0 m da carga de +2.0µC?
Gabarite: (T23.19)
a. 4.49 kV
b. 13.5 J
3.96. (T23.23) ACELERADOR DE VAN DE GRAAFF
3.96
135
(T23.23) Acelerador de Van de Graaff
Prótons são liberados a partir do repouso em um sistema acelerador de Van de Graaff. Os
prótons estão inicialmente localizados onde o potencial elétrico tem um valor de 5.0 MV, e
então, eles viajem através do vácuo até uma região onde o potencial é zero.
a. Determine a rapidez final destes elétrons.
b. Determine a magnitude do campo elétrico acelerador se o potencial mudar uniformemente
sobre uma distância de 2.0 m.
Gabarite: (T23.23)
a. 3.09 · 107 m/s.
b. 2.5 MV/m.
136
3.97
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.29) Potencial elétrico entre cargas puntiformes
Três partı́culas puntiformes idênticas de carga q estão nos vértices de um triângulo equilátero
que está circunscrito em um cı́rculo de raio a contido no plano z = 0 e centrado na origem. Os
valores de q e a são +3.0 µC e 60 cm, respectivamente. (Considere que o potencial seja zero
bem distante de todas as cargas.)
a. Qual é o potencial elétrico na origem?
b. Qual é o potencial elétrico no ponto do eixo z que está em z = a?
c. Como mudariam suas respostas para as Partes a. e b. se as cargas ainda estivessem mais em
um dos vértices do triângulo? Explique sua resposta.
Gabarite: (T23.29)
a. 135 kV.
b. 95.3 kV.
3.98. (T23.31) POTENCIAL ELÉTRICO ENTRE CARGAS PUNTIFORMES
3.98
137
(T23.31) Potencial elétrico entre cargas puntiformes
Duas partı́culas puntiformes idênticas, carregadas positivamente, estão fixas no eixo x em x = +a
e x = −a.
a. Escreva uma expressão para o potencial elétrico V (x) como uma função de x para todos os
pontos no eixo x.
b. Represente V (x) versus x para todos os pontos no eixo x.
Gabarite: (T23.31)
1
1
a. V (x) = 4πε
|x−a| +
0
1
|x+a|
.
138
3.99
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.37) Potencial elétrico entre cargas puntiformes
~ =
O campo elétrico no eixo x devido a uma carga puntiforme fixa na origem é dado por E
2
(b/x )êx , onde b = 6.0 kV · m e x 6= 0.
a. Determine a amplitude e o sinal da carga puntiforme.
b. Determine a diferencia de potencial entre os pontos no eixo x em x = 1.0 m e x = 2.0 m.
Qual destes pontos esta num potencial maior?
Gabarite: (T23.37)
a. +668 nC.
b. 3.0 kV.
c. O plano em x = 2.0 m está no potencial mais elevado.
3.100. (T23.43) RUPTURA DIELÉTRICA DO AR
3.100
139
(T23.43) Ruptura dielétrica do ar
Determine a densidade superficial máxima de carga σmax que pode existir na superfı́cie de
qualquer condutor antes que ocorra a ruptura dielétrica do ar.
Gabarite: (T23.43)
≈ 3 · 10−5 C/m2 .
140
3.101
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.47) Potencial de cascas esféricas
Duas cascas esféricas condutoras concêntricas têm cargas iguais com sinais opostos. A casca
interna tem raio externo a e a carga +q; a casca externa tem raio interno b e a carga −q.
Determine a diferença de potencial Va − Vb entre as cascas.
Gabarite: (T23.47) q
1
1
Va − Vb = 4π
a − b .
0
3.102. (T23.53) POTENCIAL ELÉTRICO DE UM DISCO
3.102
141
(T23.53) Potencial elétrico de um disco
Um disco de raio R tem uma distribuição superficial de carga dada por σ = σ0 r2 /R2 , onde σ0
é uma constante e R é a distância ao centro do disco.
a. Determine a carga total no disco.
b. Determine a expressão para o potencial elétrico a uma distância z do centro do disco no eixo
que passo pelo centro do disco e é perpendicular ao seu plano.
Gabarite: (T23.53)
a. Q = 21 πσ0 R2 ,
√
b. V = 6σ00R2 [(R2 − 2z 2 ) z 2 + R2 + 2z 3 ] .
142
3.103
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.55) Potencial elétrico de um bastão
Um bastão de comprimento L tem uma carga total Q uniformemente distribuı́da ao longo de
seu comprimento. O bastão está ao longo do eixo x com seu centro na origem.
a. Qual é o potencial elétrico como função da posição ao longo do eixo x para x > L/2?
b. Mostre, que para x L/2, seu resultado se reduz ao devido a uma carga puntiforme Q.
Gabarite: (T23.55)
x+L/2
a. V (x) = 4πQ0 L ln x−L/2
.
3.104. (T23.67) ENERGIA POTENCIAL DE UMA ESFERA CARREGADA
3.104
143
(T23.67) Energia potencial de uma esfera carregada
a. Quanta carga está na superfı́cie de um condutor esférico isolado que tem um raio de R =
10.0 cm e está carregado com 2.0 kV?
b. Qual é a energia potencial eletrostática deste condutor? (Considere que o potencial é zero
distante da esfera.)
Gabarite: (T23.67)
a. 22.3 nC,
b. 22.3 µJ.
144
3.105
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.69) Energia de uma partı́cula num potencial
Quatro cargas puntiformes estão fixas nos vértices de um quadrado centrado na origem. O comprimento de cada lado do quadrado é 2a. As cargas estão localizadas em: +q está em (−a, +a),
+2q está em (+a, +a), −3q está em (+a, −a) e +6q está em (−a, −a). Uma quinta partı́cula
com massa m e carga +q é colocada na origem e liberada a partir do repouso. Determine sua
rapidez quando ela estiver bem distante da origem.
Gabarite:
q √ (T23.69)q
k
v = q 6ma2k = 2.91q ma
.
3.106. (T23.81) ENERGIA DE UMA PARTÍCULA NUM POTENCIAL
3.106
145
(T23.81) Energia de uma partı́cula num potencial
Duas esferas metálicas têm raio de 10 cm cada uma. Os centros das duas esferas estão separados
por 50 cm. As esferas estão inicialmente neutras, mas uma carga Q é transferida de uma esfera
para outra, criando uma diferença de potencial entre elas de 100 V. Um próton é liberado
do repouso na superfı́cie da esfera carregada positivamente e viaja para a esfera carregada
negativamente.
a. Qual é a energia cinética assim que ele chega na esfera carregada negativamente?
b. Com que rapidez ele colide na esfera?
Gabarite: (T23.81)
a. 100 V.
b. 1.38 · 105 m/s.
146
3.107
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA
(T23.83) Potencial de esferas conectadas
Um condutor esférico de raio R1 esta carregado com 20 kV. Quando ele é conectado através de
um fio condutor muito fino e longo, à um segundo condutor esférico bem distante, seu potencial
cai para 12 kV. Qual é o raio da segunda esfera?
Gabarite: (T23.83)
R2 = 32 R1 .
3.108. (T23.85) POTENCIAL DE UM DISCO CARREGADO
3.108
147
(T23.85) Potencial de um disco carregado
Ao longo do eixo central de um disco carregado uniformemente, em um ponto à 0.6 m do centro
do disco, o potencial é 80 V e a intensidade do campo e 80 V/m. A uma distância de 1.5 m, o
potencial é 40 V e a intensidade do campo elétrico é 23.5 V/m. (Considere que o potencial seja
muito distante do disco). Determine a carga total do disco.
Gabarite: (T23.85)
7.1 nC.
4.22. (T24.11) ENERGIA EM COMBINAÇÕES DE CAPACITORES
4.22
171
(T24.11) Energia em combinações de capacitores
a. Dois capacitores idênticos estão conectados em paralelo. Esta combinação é, então, conectada
aos terminais de uma bateria. Como a energia total armazenada na combinação em paralelo
destes dois capacitores se compara à energia total armazenada se apenas um dos capacitores
estivesse conectado aos terminais da mesma bateria?
b. Dois capacitores idênticos, descarregados, estão conectados em série. Esta combinação é,
então, conectada aos terminais de uma bateria. Como a energia total armazenada na combinação em série destes dois capacitores se compara à energia total armazenada se apenas um
dos capacitores estivesse conectado aos terminais da mesma bateria?
Gabarite: (T24.11)
a. Uparalelo = 2Uunico .
b. Userie = 12 Uunico
172
4.23
CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE
(T24.23) Capacitor de placas
Um capacitor de placas contendo ar tem placas com área de 2.0 m2 separadas por 1 mm e está
carregada com 100 V.
a. Qual é o campo elétrico entre as placas?
b. Qual é a densidade de energia elétrica entre as placas?
c. Determine a energia total multiplicando sua resposta para a parte (b) pelo volume entre as
placas.
d. Determine a capacitância deste arranjo.
e. Calcule a energia total usando U = 21 CV 2 e compare sua resposta com com o resultado da
parte (c).
Gabarite: (T24.23)
a. 100 kV/m.
b. 44.3 mJ/m3 .
c. 88.5 µJ.
d. 17.7 nF.
e. 88.5 µJ
4.24. (T24.29) COMBINAÇÃO DE CAPACITORES
4.24
173
(T24.29) Combinação de capacitores
Um capacitor de 10.0 µF e um capacitor de 20.0 µF estão conectados em paralelo aos terminais
de uma bateria de 6.0 V.
a. Qual é a capacitância equivalente desta combinação?
b. Qual é a diferença de potencial em cada capacitor?
c. Determine a carga em cada capacitor.
d. Determine a energia armazenada em cada capacitor.
Gabarite: (T24.29)
a. 30.0 µF.
b. 6.0 V.
c. Q10 = 60 µC, Q20 = 120.0 µC.
d. U10 = 180 µJ, U20 = 360 µJ.
174
4.25
CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE
(T24.38) Serie infinita de capacitores
Qual é a capacitância equivalente (em termos de C, que é a capacitância de um dos capacitores)
da escada infinita mostrada na figura.
C
C
C
C
C
C
C
Figura 4.13:
Gabarite: (T24.38)
√
Ceq = C2 (1 + 5).
C
...
4.26. (T24.53) RECONEXÃO DE CAPACITORES
4.26
175
(T24.53) Reconexão de capacitores
Um capacitor de 100 pF e um capacitor de 400 pF são, ambos, carregados a 2.0 kV. Eles são,
então, desconectados da fonte de tensão e conectados juntos, placa positiva à placa positiva e
placa negativa à placa negativa.
a. Determine a diferença de potencial resultante em cada capacitor.
b. Determine a energia dissipada quando as conexões são feitas.
Gabarite: (T24.53)
a. V100 = V400 = 1.2 kV.
b. 640 µJ.
176
4.27
CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE
(T24.55) Reconexão de capacitores
Um capacitor de 1.2 µF é carregado a 30 V. Depois da carga o capacitor é desconectado da fonte
de tensão e é conectado aos terminais de um segunda capacitor que havia sido previamente
descarregado. A tensão final no capacitor de 1.2 µF é 10 V.
a. Qual é a capacitância do segundo capacitor?
b. Quanta energia foi dissipada quando a conexão foi feita?
Gabarite: (T24.55)
a. 2.4 µF.
b. 0.4 mJ.
182
4.33
CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE
(T25.102) Circuito com bateria e capacitor
A chave mostrada na figura é fechada depois de ter permanecida aberta por um longo tempo.
a. Qual é o valor inicial da corrente na bateria logo após a chave S ter sido fechada? b. Qual é
a corrente na bateria depois de um longo tempo após a chave ter sido fechada?
c. Quais são as cargas nas placas dos capacitores depois de um longo tempo após a chave ter
sido fechada? d. A chave S é reaberta. Quais são as cargas nas placas dos capacitores depois de
um longo tempo após a chave ter sido reaberta?
Figura 4.17:
Gabarite: (T25.102)
a. .
4.34. (T25.105) CIRCUITO COM BATERIA E CAPACITOR
4.34
183
(T25.105) Circuito com bateria e capacitor
No circuito mostrado na figura, o capacitor tem capacitância de 2.5 µF e o resistor tem resistência
de 0.5 MΩ. Antes de a chave ser fechada, a queda de potencial no capacitor é 12 V, como
mostrado. A chave S é fechada em t = 0.
a. Qual é a corrente imediatamente depois de a chave ter sido fechada?
b. Em que instante t a tensão no capacitor é 24 V?
Figura 4.18:
Gabarite: (T25.105)
a. 48.0 µA.
b. 0.866 s.
184
4.35
CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE
(T26.21) Força de Lorentz
Um fio linear, firme e horizontal de 25 cm de comprimento, tem massa igual a 5 g e está conectado
a uma fonte de fem através de fios leves e flexı́veis. Um campo magnético de 1.33 T é horizontal
e perpendicular ao fio. Determine a corrente necessária para fazer o fio flutuar, isto é, quando
o fio é liberado a partir do repouso, ele permanece em repouso.
Gabarite: (T26.21)
1.5 A.
185
4.36. (T26.25) FORÇA DE LORENTZ
4.36
(T26.25) Força de Lorentz
Um fio conduzindo corrente é curvado em um semicı́rculo fechado de raio R que está no plano
xy. O fio está em um campo magnético uniforme que está na direção +z, como mostra a figura.
Verifique que a força exercida no anel é zero.
Figura 4.19:
Gabarite: (T26.25)
186
4.37
CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE
(T26.39) Espectrômetro de massa
Em um espectrômetro de massa, um ı́on de 24 M g monovalente tem massa igual a 3.983·10−26 kg
e é acelerado através de uma diferença de potencial de 2.5 kV. Ele entra, então, em uma região
onde é defletido por uma campo magnético de 557 G.
a. Determine o raio de curvatura das órbitas do ı́on.
b. Qual é a diferença entre os raios das órbitas dos ı́ons 26 M g e 24 M g? Considere que a razão
entre as massas seja 26 : 24.
Gabarite: (T26.39)
a. 63.3 cm.
b. 2.58 cm.
218
5.33
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTATICA
(T27.17) Força de Coulomb e de Lorentz
Duas cargas puntiformes iguais estão, em algum instante, localizadas em (0, 0, 0, ) e em (0, b, 0).
Ambas estão se movendo com rapidez v na direção +x (considere v c). Determine a razão
entre a magnitude da força magnética e a amplitude da força elétrica em cada carga.
Gabarite: (T27.17)
0 µ0 v 2 .
5.34. (T27.22) BOBINAS DE HELMHOLTZ
5.34
219
(T27.22) Bobinas de Helmholtz
Um par de bobinas idênticas, cada com raio de 30 cm, está separado por uma distância igual aos
seus raios. Denominadas bobinas de Helmholtz, elas são coaxiais e conduzem corrente iguais em
sentidos tais que seus campos axiais estão na mesma direção e sentido. Uma caracterı́stica das
bobinas de Helmholtz é que o campo magnético resultante na região entra as bobinas é bastante
uniforme. Considere que a corrente em cada uma seja 15 A e que há 250 voltas para cada bobina.
Usando uma planilha eletrônica, calcule e faça um gráfico do campo magnético como função de
z, a distância ao centro das bobinas ao longo do eixo comum, para −30 cm < z < +30 cm. Em
que intervalo de z o campo varia menos que 20%?
Gabarite: (T27.22)
220
5.35
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTATICA
(T27.51) Toróide
Um toróide firmemente enrolado com 1000 voltas tem raio interno de 1.0 cm, raio externo de
2.0 cm e conduz uma corrente de 1.5 A. O toróide está centrado na origem com os centros das
voltas individuais no plano z = 0. No plano z = 0:
a. Qual é a intensidade do campo magnético a uma distância de 1.1 cm da origem?
b. Qual é a intensidade do campo magnético a uma distância de 1.5 cm da origem?
Gabarite: (T27.51)
a. B(1.1 cm)=27.3 mT.
b. B(1.5 cm)=20.0 mT
5.36. (T27.89) CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA
5.36
221
(T27.89) Campo magnético da Terra
O campo magnético da Terra é aproximadamente 0.6 G nos polos magnéticos e aponta verticalmente para baixo no polo magnético no hemisfério morte. Se o campo magnético fosse devido a
uma corrente elétrica circulando em um anel com raio igual ao núcleo de ferro interno da Terra
(aproximadamente 1300 km),
a. qual seria a magnitude da corrente necessária?
b. Que sentido teria a corrente − o mesmo do movimento de rotação da Terra ou o oposto?
Explique sua resposta.
Gabarite: (T27.89)
a. 15.5 GA.
b. Como o campo magnético da Terra aponta para baixo no pólo norte, a aplicação da regra da
mão direita indica que a corrente é no sentido horário quando vista de cima do polo norte.
222
5.37
CAPÍTULO 5. MAGNETOSTATICA
(T28.27) Fluxo magnético
Um longo solenóide tem n voltas por unidade de comprimento, raio R1 e conduz uma corrente
I. Ima bobina circular de raio R2 e com N voltas é coaxial ao solenóide e está equidistante de
suas extremidades.
a. Determine o fluxo magnético através da bobina se R2 < R1 .
b. Determine o fluxo magnético através da bobina se R2 < R1 .
Gabarite: (T28.27)
a. φm = µ0 nIN πR12 .
b. φm = µ0 nIN πR22 .
6.24. (T28.43) FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA POR MOVIMENTO
6.24
247
(T28.43) Força eletromotriz induzida por movimento
Na figura um bastão condutor de massa m e resistência desprezı́vel está livra para deslizar sem
atrito ao longo de dois trilhos paralelos que têm resistências desprezı́veis, estão separados por
uma distância ` e conectados por uma resistência R. Os trilhos estão presos a um longo plano
inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal. Há um campo magnético apontando para cima,
como mostrado.
a. Mostre que há uma força retardadora dirigida para cima no plano inclinado dada por F =
(B 2 `2 v cos2 θ)/R.
b. Mostre que a rapidez terminal do bastão é vt = mgR sin θ(B 2 `2 cos2 θ).
Figura 6.11:
248
6.25
CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(T28.49) Indução
Um fio isolado com resistência de 18.0 Ω/m e comprimento de 9.0 m será usado para construir
um resistor. Primeiramente o fio é dobrado na metade e, então, o fio duplo é enrolado em um
formato cilı́ndrico (vide figura para criar um hélice de 25 cm de comprimento e com diâmetro
de 2.0 cm. Determine a resistência e a indutância deste reste resistor de fio enrolado.
Figura 6.12:
Gabarite: (T28.49)
L = 0, R = 162 Ω.
6.26. (T28.66) CIRCUITO R-L
6.26
249
(T28.66) Circuito R-L
Dado o circuito mostrado na figura, o indutor tem resistência interna desprezı́vel e a chave S
esteve aberta por um longo tempo. A chave é, então, fechada.
a. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor
imediatamente após a chave ter sido fechada.
b. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor um
longo tempo depois de a chave ter sido fechada.
c. Depois de estra fechada por um longo tempo, a chave é agora aberta. Determine a corrente
na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor imediatamente após a chave
ter sido aberta.
d. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor depois
de a chave ter permanecido aberta por um longo tempo.
Figura 6.13:
Gabarite: (T28.66)
250
6.27
CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(T28.71) Gerador ac
A figura mostra um desenho esquemático de um gerador ac. O gerador básico consiste em um
anel retangular de dimensões a e b e tem N voltas conectadas a anéis de deslizamento. O anel
giro (movido por um motor de gasolina) a uma rapidez angular ω em campo magnético uniforme
~
B.
a. Mostre que a diferença de potencial induzida entre os dois anéis de deslizamento é dada por
EN babω sin ωt.
b. Se a = 2.0 cm, b = 4.0 cm, N = 250, e B = 0.2 T, a que frequência angular ω deve a bobina
girar para gerar uma fem cujo valor máximo é 100 V?
Gabarite: (T28.71)
b. 2.5 krad/s.
251
6.28. (T29.51) FILTRO PASSA-BAIXAS
6.28
(T29.51) Filtro passa-baixas
O circuito mostrado na figura é um exemplo de filtros passa-baixas. (Considere que a saı́da esteja
conectada a uma carga que conduza uma corrente insignificante.)
a. Se a tensão de entrada é dada por Vent =pV ent, pico cos ωt, mostra que a tensão de saı́da é
Vsaida = VL cos(ωt − φ), onde VL = Vent,pico / 1 + (ωRC)−2 .
b. Discuta a tendência da saı́da nos casos limites ω → 0 e ω → ∞.
R
Ventrada
C
Figura 6.14:
Gabarite: (T29.51)
→0
→∞
b. VL −→ Vent,pico e VL −→ 0.
Vsaida
252
6.29
CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(T29.55) Filtro de corte
O circuito mostrado na figura é um filtro de corte. (Considere que a saı́da esteja conectada a
uma carga que conduza uma corrente insignificante.)
a. √
Mostre que o filtro de corte rejeita sinais em uma banda de frequências centrada em ω =
1/ LC.
Como a largura de banda de frequência rejeitada depende de R?
R
Ventrada
L
C
Figura 6.15:
Gabarite: (T29.55)
b. ∆ω = R
L.
Vsaida
6.30. (T29.63) POTÊNCIA EFETIVA
6.30
253
(T29.63) Potência efetiva
2 Z 2 fornece o resultado correto para um circuito contendo
Mostre que a expressão Pmed = RErms
apenas um gerador ac ideal e (a) um resistor R, (b) um capacitor Ce (c) um indutor L. Na
dada expressão, Pmed é a potência média fornecida pelo gerador, Erms é valor quadrático médio
da fem do gerador.
254
6.31
CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(T29.69) Circuito R-L-C
No circuito mostrado na figura o gerador ideal produz uma tensão rms de 115 V quando operado
a 60 Hz. Qual é a tensão rms entre os pontos
a. A e B,
b. B e C,
c. C e D,
d. A e C, e
e. B e D?
A
137mH
B
115V
60Hz
50W
D
25mF
Figura 6.16:
Gabarite: (T29.69)
a. 80 V,
b. 78 V,
c. 170 V,
d. 110 V,
e. 180 V.
C
6.32. (T30.41) PRESSÃO RADIATIVA
6.32
255
(T30.41) Pressão radiativa
Estime a força na Terra devido à pressão de radiação exercida pelo Sol na Terra e compare esta
força à força gravitacional do Sol na Terra. (Na órbita da Terra, a intensidade da luz solar é
1.37 kW/m2 .
b. Repita a parte (a) para Marte, que está a uma distância média de 2.28 · 108 km do Sol e tem
um raio de 3.4 · 103 km.
c. Qual dos planetas tem maior razão entre a pressão de radiação e a atração gravitacional?
Gabarite: (T30.41)
a. Frad,T erra = 5.83 · 108 N, Fg,T erra = 1.65 · 10−14 Frad,T erra ,
b. Frad,M arte = 7.18 · 107 N, Fg,M arte = 4.27 · 10−14 Frad,M arte ,
c. Marte.
256
6.33
CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(T30.45) Equação de onda
Mostre que qualquer função da forma y(x, t) = f (x−vt) ou y(x, t) = g(x+vt) satisfaz a equação
de onda.
Gabarite: (T30.45)
257
6.34. (T30.51) VETOR DE POYNTING
6.34
(T30.51) Vetor de Poynting
Os campos elétricos de duas ondas harmônicas eletromagnéticas de frequências angulares ω1
~ 1 = E10 cos(k1 x − ω1 t)êy e por E
~ 2 = E20 cos(k2 x − ω2 t + δ)êy . Para a
e ω2 são dados por E
resultante desta duas dondas, determine
a. o vetor de Poynting instantâneo e
b. a média temporal do vetor de Poynting.
c. Repita as partes (a) e (b) se o sentido de propagação da segunda onda for invertido, ou seja
~ 2 = E20 cos(k2 x + ω2 t + δ)êy .
E
Gabarite: (T30.51)
~ t) = 1 [E 2 cos2 (k1 x − ω1 t) + 2E10 E20 cos(k1 x − ω1 t) cos(k2 x − ω2 t + δ) + E 2 cos2 (k2 x −
a. S(x,
10
20
µ0 c
ω2 t + δ)]êx ,
~med = 1 [E 2 + E 2 ]êx ,
b. S
10
20
2µ0 c
1
2
2
~
~med = 1 [E 2 + E 2 ]êx .
c. S(x, t) =
[E cos (k1 x − ω1 t) − E 2 cos2 (k2 x + ω2 t + δ)]êx e S
µ0 c
10
20
2µ0 c
10
20
258
6.35
CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(T30.59) Pressão radiativa
Uma fonte pontual e intensa de luz irradia 1.0 MW isotropicamente (uniformemente em todas
as direções). A fonte está localizada a 1.0 m acima de um plano infinito e perfeitamente refletor.
Determine a força que a pressão de radiação exerce no plano.
Gabarite: (T30.59)
3.34 mN.