2011 - Politécnicos

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Fı́sica III - 4320301
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Escola Politécnica - 2011
GABARITO DA PS
&
30 de junho de 2011
%
Questão 1 No modelo de Rutherford o átomo é considerado como uma esfera de raio R com toda a
carga positiva dos prótons, Ze, concentrada no centro da esfera (Z é o número de prótons
e e a carga elementar). A carga negativa dos elétrons, −Ze, é uniformemente distribuı́da
no volume desta esfera.
(a) (1,0 ponto) Calcule a distribuição ρ das cargas negativas dos elétrons no volume da
esfera. A partir desta, usando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico dentro
da esfera a uma distância r < R do centro devido apenas aos elétrons.
(b) (0,5 ponto) Calcule o vetor campo elétrico total dentro da esfera a uma distância
r < R do centro devido aos prótons e aos elétrons.
(c) (1,0 ponto) Usando o campo elétrico determindado no item (b) calcule o potencial
dentro da esfera impondo que ele se anula na superfı́cie da esfera (r = R).
1
Solução da questão 1
(a) A distribuição volumétrica de carga dos elétrons é
ρ=−
Ze
.
4πR3 /3
A lei de Gauss, com superfı́cie S esférica de raio r < R fornece
Z
3
~ = − Ze r rb .
~ · dA
~ = Q =⇒ E(r)4πr 2 = 4πr ρ =⇒ E
E
ǫ0
3ǫ0
4πǫ0 R3
S
(b) O campo total dentro do átomo é
~ t = Ze 1 rb − Ze r rb =⇒ E
~ t = Ze
E
4πǫ0 r 2
4πǫ0 R3
4πǫ0
1
r
−
r 2 R3
rb .
(c) O potencial, colocando V (R) = 0, é
V (r) = −
Zr
R
Et (r)dr = −
Zr
R
Ze
dr
4πǫ0
Ze
=⇒ V (r) =
4πǫ0
2
1
r
− 3
2
r
R
Ze
=
4πǫ0
r2
3
1
+
−
3
r 2R
2R
!
.
1
r2
+
r 2R3
!r
R
Questão 2 Considere um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância d. O
espaço entre as placas é preenchido com um material de constante dielétrica κ e resistividade ρ.
(a) (0,5 ponto) Desprezando o efeito das bordas, deduza a expressão que fornece a
capacitância deste capacitor.
Dado: o campo entre as placas de um capacitor de placas paralelas no vácuo é
E0 = Q/(ǫ0 A), onde Q é a carga na placa positiva.
(b) (1,0 ponto) Como o material entre as placas do capacitor não é um isolante perfeito,
estabelece-se uma corrente entre elas. Calcule o módulo da densidade de corrente
em função de ǫ0 , ρ, κ, A e Q.
(c) (1,0 ponto) Escreva a equação diferencial para Q(t). Resolva a equação diferencial
com a condição inicial de que a carga na placa positiva no instante t = 0 é Q0 .
3
Solução da questão 2
(a) A capacitância é
C=
Q
Q
=
=
|V |
Ed
Q
Q
d
κǫ0 A
=⇒ C =
κ ǫ0 A
.
d
(b) A lei de Ohm fornece
1
Q
J= E=
.
ρ
ρκǫ0 A
(c) Lembrando que I = −dQ/dt obtemos




I = −dQ/dt
dQ
1
Q  =⇒ dt = − ρκǫ Q .

0
I = JA =

ρκǫ0
Integrando a equação diferencial e colocando Q(0) = Q0 obtemos
ZQ
Q0
!
t
1
1 Z
dQ
=−
t .
dt =⇒ Q(t) = Q0 exp −
Q
ρκǫ0
ρκǫ0
0
4
Questão 3 1. (1,0 ponto) Um condutor cilı́ndrico infinito de raio a é percorrido por uma corrente
I uniformemente distribuı́da na sua seção reta. Calcule o campo magnético gerado
nos pontos fora do condutor.
2. (1,5 ponto) Na figura abaixo o circuito formado por um gerador G e dois trilhos é
fechado por uma barra de comprimento L que pode deslizar entre os trilhos. Os
trilhos são condutores cilı́ndricos longos de raio a. O gerador G serve para manter
a corrente através do circuito constante e igual a I.
I
y
barra
G
I
I
z
L+2a
L+a
a
x 0
(a) (0,5 ponto) Calcule o vetor campo magnético devido aos dois condutores num
ponto da barra de coordenada y (a ≤ y ≤ L + a).
(b) (1,0 ponto) Calcule o vetor força que age sobre a barra.
5
Solução da questão 3
1. A lei de Ampère fornece
I
µ0 I
~
~ · d~ℓ = µ0 I =⇒ B(r)
ebθ ,
=
B
2πr
C
onde r é a distância até o eixo do cilindro.
2. Usaremos o campo magnético calculado no item 1.
(a) Os campos magnéticos gerados pelos dois trilhos apontam na direção −z. Portanto, para um ponto da barra com coordenada y o campo magnético total
é
µ0 I
~ t = − µ0 I ebz −
~ t = − µ0 I
B
ebz =⇒ B
2πy
2π(L + 2a − y)
2π
1
1
+
y L + 2a − y
!
ebz .
(b) A força sobre a barra é
F~ = I
Z
2
~ = µ0 I
d~ℓ×B
2π
L+a
Z
a
1
1
+
y L + 2a − y
6
!
L+a
µ0 I 2
ln
ebx =⇒ F~ =
π
a
ebx .
Questão 4 Um anel condutor de raio R é colocado em torno de uma bobina toroidal com N espiras
e seção reta circular de raio a, conforme a figura.
I
I
bobina
anel
anel
R
B
B
a
bobina
O campo dentro da bobina toroidal é aproximadamente constante e vale B = CNI, onde
C é uma constante e I é a corrente no fio da bobina.
(a) (0,5 ponto) Calcule a auto-indutância da bobina toroidal.
(b) (1,0 ponto) Calcule a indutância mútua entre o anel e a bobina toroidal.
(c) (1,0 ponto) Se a corrente na bobina toroidal varia no tempo como I(t) = I0 cos(ωt),
qual é o valor do vetor campo elétrico induzido dentro do anel?
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Solução da questão 4
(a) O fluxo através da bobina é
Φ = NBπa2 = CN 2 πa2 I.
A auto-indutância é
L=
Φ
= CN 2 πa2 .
I
(b) Para calcular a indutância mútua M, basta calcular o fluxo do campo magnético
da bobina através do anel
2
2
Φ21 = Bπa = CNIπa





Φ21 = MI
=⇒ M = CNπa2 .
(c) O campo elétrico dentro do anel pode ser calculado com a lei de Faraday
I
2
~ · d~ℓ = − dΦ =⇒ E(r)2πR = − d(Bπa ) = −CNπa2 dI = CNπa2 ωI0 sen(ωt)
E
dt
dt
dt
C
2
~ = CNωI0 sen(ωt) a ebθ .
=⇒ E
2R
8
Formulário
qq ′ (~r − ~r′ )
F~ =
,
4πǫ0 |~r − ~r′ |3
~
F~ = q E,
~
~τ = p~ × E,
p = qd,
q
V =
,
4πǫ0 |~r − ~r′ |
X
~
U = −~p · E,
VB − VA = −
U=
1
1
1
=
+
+ ... ,
Ceq
C1 C2
U=
σ
E= ,
ǫ
1
4πǫ0
i
I
ǫ
u = E 2,
2
1
4πǫ0
~ + q~v × B,
~
F~ = q E
Z
ΦB =
~
U = −~µ · B,
~ 0 = µ0 H,
~
B
~ · d~ℓ = − d
E
dt
Z
~ · dA,
~
B
B2
,
u=
2µ0
X
i<j
qi qj
,
rij
Z
V =
dℓ
,
A
V = RI,
~ · dA,
~
B
~ =
dB
I
B2
u=
,
2µ
9
u=
ǫ0 2
E ,
2
E =−
E=
E0
,
κ
J~ = n|q|~vd ,
P = V I = I 2R =
~
dF~ = Id~ℓ × B,
F
µ 0 I1 I2
=
,
ℓ
2πr
Φtotal = Nφespira = LI,
LI 2
U=
,
2
Ceq = C1 + C2 + ... ,
V = E −Ir,
~ = χm H,
~
M
Z
~ = −∇V,
~
E
dQ
= n|q|vd A,
dt
~ · dA
~ = 0,
B
µ0 I d~ℓ × r̂
,
4π r 2
~ m = µ0 M
~,
B
1 Z dq
,
4πǫ0
r
ǫ
= κ,
ǫ0
I=
1
4πǫ0
dq
r̂,
r2
I
~ · dA
~ = qint ,
E
ǫ0
~ =
E
~ · dA,
~
E
C = Q/V,
~ · dA
~ = qint−liv ,
ǫ0 κE
dR = ρ
I
~ · d~ℓ,
E
Q2
CV 2
QV
=
=
,
2C
2
2
ρ(T ) = ρ0 [1+α(T −T0 )],
~
~τ = ~µ × B,
ZB
ΦE =
A
qi
,
ri
V =
q(~r − ~r′ )
,
4πǫ0 |~r − ~r′ |3
~ =
E
I
V2
,
R
~
µ
~ = I A,
~ · d~ℓ = µ0 Iint ,
B
dΦm
,
dt
Φtotal
= N2 φespira = M21 I1 ,
21
µ = κm µ0 = (1 + χm )µ0 .