1 Distribuição de Bernoulli

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 6
Professor: Carlos Sérgio
Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas (Notas
de aula)
1
Distribuição de Bernoulli
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso
ou fracasso nessa tentativa.
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1, ou
seja, q = 1 − p.
Seja X : número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o
valor 0 que corresponde ao fracasso, com probabilidade q , ou o valor 1, que corresponde
ao sucesso, com probabilidade p.
P (X = 0) = q e P (X = 1) = p
Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de BERNOULLI, e sua função
de probabilidade é dada por:
P (X = x) = px · q 1−x
A esperança da distribuição de Bernoulli é E(X) = p e sua variância é
V (X) = pq
Exemplo: Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. Uma bola é
retirada da urna e a variável aleatória X anota o número de bolas brancas obtidas. Calcule
a média e a variância de X e determinar P (X).
Solução:
X=0→q=
25
40
=
5
8
X=1→p=
15
40
=
3
8
P (X = x) = ( 38 )x ( 58 )1−x
E(X) = p =
3
8
V (X) = pq =
3
8
·
5
8
=
15
64
1
2
Distribuição Binomial
Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada
tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com
probabilidade p, p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para
cada tentativa.
Seja X : número de sucessos em n tentativas.
Determinaremos a função de probabilidades da variável X , isto é, P (X = k).
Logo,
n k n−k
P (X = k) =
p q
k
A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação
X ∼ B(n, p)
Exemplo: Será extraida uma amostra de 5 indivíduos de uma grande população, onde
60% são do sexo feminino. Qual a probabilidade de:
a) exatamente 3 dos indivíduos escolhidos ser do sexo feminino?
b) pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino?
c) ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino ?
Solução: Se X é a v.a. que representa o número de indivíduos que são do sexo
feminino, temos que X segue uma distribuição binomial, cuja probabilidade de "sucesso"
(ser do sexo feminino) em cada tentativa é 0,60. Portanto,
a)
5
(0, 6)3 (0, 4)2 = 0, 3456
P (X = 3) =
3
b) A probabilidade que pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino é dada por
5
1 − P (X = 0) = 1 −
(0, 6)0 (0, 4)5 = 1 − 0, 0102 = 0, 9898
0
c) A probabilidade que ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino é dada por P(X
= 3) +
P(X = 4) + P(X = 5), ou seja:
5
5
5
3
2
4
1
(0, 6) (0, 4) +
(0, 6) (0, 4) +
(0, 6)5 (0, 4)0 = 0, 6826
3
4
5
2
2.1
Média e Variância de uma v.a. com Distribuição
Binomial
Se X ∼ B(n.p) → P (X = k) =
n
k
k n−k
p q
então
E(X) = n · p e V (X) = n · p · q
Exemplo: Em 100 lances de uma moeda honesta, determeine a média e a variância
do número de caras.
p=
1
2
eq=
1
2
logo,
E(X) = np = 100 ·
1
2
= 50
V (X) = npq = 100 · 21 ·
3
1
2
= 25
Distribuição de Poisson
Seja X uma v.a. com distribuição discreta, e suponha que X assuma valores inteiros
não negativos. É dito que X possui uma distribuição de Poisson com média λ onde (λ > 0)
se a função de probabilidade de X é dada por:
P (X = k) =
e−λ λk
k!
k = 0, 1, 2, 3, . . .
em que X o número de sucessos no intervalo
Observação:O símbolo e representa uma constante que é aproximadamente igual a
2,7183. O seu nome é uma homenagem ao matemático suiço I. Euler, e constitui a base
do chamado logaritmo natural.
A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de:
1. carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia;
2. erros tipográficos por página, em um material impresso;
3. defeitos por unidade (m2 , m3 , m, etc.) por peça fabricada;
4. mortes por ataque de coração por ano, numa cidade. É aplicada também em problemas de filas de espera em geral, e outros.
A esperança E(X) = λ e a variância V (X) = λ.
A v.a. de P oisson tem um amplo range de aplicações em uma grande variedade de
áreas, porque se emprega como uma aproximação para uma v.a. binomial com parâmetros
3
(n, p) quando n é grande e p é pequeno. Supondo que X é uma v.a. binomial com
parâmetros (n; p) então λ = np.
Exemplo 1: Se a probabilidade de um indivíduio sofrer uma reação nociva, resultante
de ter tomado um certo soro é 0,001, determinar a probabilidade de que, entre 2000 indivíduos:
a) exatamente três sofrerem a reação;
Solução
Seja X a v.a. que representa o número de pessoas que sofrem a reação nociva após
injerir o soro. Então,
P (X = k) =
e−λ λk
k!
k = 0, 1, 2, 3, . . .
onde λ = 2000 · 0, 001 = 2. Logo,
P (X = 3) =
e−2 23
= 0, 18
3!
b) mais do que dois sofrerem a reação.
P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)]
=1−[
e−2 20 e−2 21 e−2 22
+
+
] = 0, 323
0!
1!
2!
Exemplo 2: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) num minuto não haja nenhum chamado
X : número de chamadas por minuto λ = 5
P (X = 0) =
e−5 50
= 0, 006738
0!
b) em 2 minutos haja 2 chamados
dois minutos λ = 10
P (X = 2) =
e−10 102
= 0, 002270
2!
4
Exercícios
1. Retira-se uma bola de uma urna contendo 30 bolas brancas e 20 verdes. Qual a
probabilidade dessa bola ser verde?
2. Seja X ∼ Bernoulli(p) Mostre que E(X) = p e V (X) = pq , q = 1 − p
3. A probabilidade de que certo tipo de componente sobreviverá a um teste de choque
é de 3/4. Determine a probabilidade de que exatamente dois dos próximos quatro
componentes testados sobrevivam. (R = 27/128)
4. Uma grande rede varesjista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 3%. O
inspetor da rede seleciona 20 ítens de um carregamento. Qual é a probabilidade de
que haja pelo menos um ítem defeituoso entre esses 20? (R = 0,4562)
5. De acordo com a publicação Chemical Energineerring Progress (nov. 1990) aproximadamente 30% de todas as falhas nas tubulações das indústrias são causadas por
erro do operador. Qual é a probabilidade de que não mais que quatro de 20 falhas
sejam causadas por erro do operador? (R = 0,2375)
6. Se a probabilidade de uma lâmpada fluorescente ter vida útil de pelo menos 800
horas é de 0,9, determine a probabilidade de que, entre 20 lâmpadas,
a) exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas. (R = 0,2852)
b) pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas. (R = 0,9887)
c) pelo menos duas não terão vida útil de pelo menos 800 horas. (R = 0,6083)
7. Uma loja tem um lote de 10 fechaduras, das quais 5 têm defeitos. Se uma pessoa
comprar 3 fechaduras, qual a probabilidade de encontrar no máximo uma defeituosa?
8. Em 10 lançamentos de uma moeda honesta, qual é a probabilidade de observarmos
a) exatamente 5 caras?
b) entre 3 e 7 caras?
c) mais do que 7 caras?
9. Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em
caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma
caixa contendo:
a) nenhuma peça defeituosa;
b) uma peça defeituosa.
5
10. Uma cia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1 por cento da população está
incluída em certo tipo de acidente por ano. Se seus 10000 segurados são escolhidos,
ao acaso, na população, qual é a probabilidade de que não mais do que 5 de seus
clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano?
11. Supondo que o número de carros que chegam numa fila do guichê de um pedágio
tem distribuição de Poisson a uma taxa de três por minuto, calcule a probabilidade
de que cheguem cinco carros nos próximos dois minutos.
12. Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda:
a) Nenhum cliente em 4 minutos
b) No máximo dois clientes em 2 minutos
13. Uma empresa geralmente compra grandes lotes de certo tipo de equipamento eletrônico.
O método utilizado rejeita o lote se dois ou mais ítens com defeitos forem encontrados
em uma amostra aleatória de 100 unidades.
a) Qual a probabilidade de rejeição de um lote se há 1% de ítens defeiuosas?
b) Qual a probabilidade de aceitação de um lote se há 5% de ítens defeiuosas?
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