distribuições discretas de probabilidade

CAPÍTULO 6
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
6.1 Introdução
Existem muitas relações, tais como a exponencial, a quadrática, a linear, a parabólica, que
são usadas para descrever a funcionalidade entre as variáveis determinísticas. No caso das variáveis
aleatórias, certas distribuições de probabilidade são usadas com mais freqüência para descrever a
grande maioria dos fenômenos físicos.
As distribuições de probabilidade, para variáveis aleatórias discretas, mais comumente
usadas em engenharia e que desenvolvem um papel importante na metodologia estatística são:
Binomial, Poisson, Geométrica, Pascal e Hipergeométrica.
6.2 Distribuição Binomial
A distribuição binomial é aplicada freqüentemente para descrever controle estatístico de
qualidade de uma população. Tem-se interesse principalmente em duas categorias: item defeituoso
ou insatisfatório versus item bom ou satisfatório e sucesso e falha que tenham ocorrido em uma
amostra de tamanho fixo.
A distribuição binomial é aplicada a eventos provenientes de uma série de experimentos
aleatórios, que constituem o chamado Processo de Bernoulli.
6.2.1 Processo de Bernoulli
Esse processo é análogo àquele de jogar uma moeda. As seguintes suposições se aplicam:
a) Cada experimento é dito ser uma tentativa. Existe uma série de tentativas, cada uma
tendo dois resultados: sucesso ou falha;
b) A probabilidade de sucesso é igual a algum valor constante para todas as tentativas;
c) Os resultados sucessivos são estatisticamente independentes. A probabilidade de sucesso
na próxima tentativa não pode variar, não importando quantos sucessos ou falhas tenham
sido obtidos.
O processo de Bernoulli é comumente utilizado em aplicações de engenharia envolvendo
controle de qualidade. Cada novo item criado no processo de produção pode ser considerado como
uma tentativa resultando em uma unidade com ou sem defeito. Esse processo não se limita a
objetos; podendo ser usado em pesquisas eleitorais e de preferências dos consumidores por
determinados produtos.
6.2.2 Probabilidades Binomiais
A distribuição binomial está relacionada ao número de sucessos encontrados em um número
específico de tentativas de um processo de Bernoulli. Ela é caracterizada por dois parâmetros:  (0
  1), a probabilidade de sucesso, e n o número de tentativas (número positivo).
No exemplo das meninas, dado anteriormente, construiu-se uma árvore de probabilidade,
onde 3 tentativas (nascimentos) foram feitas com o objetivo do casal ter uma menina. Imagine agora
a enorme árvore (aproximadamente 6 metros de altura) que se teria que construir se fossem feitas 10
1
tentativas ! De modo a evitar isto, a equação abaixo é usada para descrever a probabilidade de uma
variável aleatória X, que denota o número de sucessos em n tentativas do processo de Bernoulli,
utilizando k itens.
n
(1)
P( X  k )  b(k ; n,  )  p( x)    k (1   ) n k para k=0,1,2,...,n
k 
P( X  k )  0 para caso contrário
(2)
sendo
n
n!
  
(3)
 k  k!(n  k )!
Exemplo 1: Calcular as probabilidades de um casal ter meninas em três nascimentos.
Solução:
a) k=0; =0.48; n=3
P( X  0) 
3 * 2 *1
* 0.48 0 * (1  0.48) 30  0.14
1 * (3  0)!
(4)
3 * 2 *1
* 0.48 * (1  0.48) 31  0.39
1 * (3  1)!
(5)
3 * 2 *1
* 0.48 2 * (1  0.48) 32  0.36
2 *1 * (3  2)!
(6)
3 * 2 *1
* 0.483 * (1  0.48) 33  0.11
3 * 2 *1 * (3  3)!
(7)
b) k=1; =0.48; n=3
P( X  1) 
c) k=2; =0.48; n=3
P( X  2) 
d) k=3; =0.48; n=3
P( X  3) 
A Figura 6.1 apresenta 3 distribuições binomiais, onde se observa que à medida que o
número de tentativas cresce, as probabilidades vão diminuindo e ficando menos concentradas, tendo
a distribuição um formato de sino, independente do parâmetro , a probabilidade de sucesso.
A Figura 6.2 mostra como a distribuição binomial é influenciada pela probabilidade de
sucesso, . Percebe-se que os pares p(x)=0.05;0.95, 0.20;0.80 e 0.40;0.60 (cuja soma é igual a 1)
fornecem distribuições de probabilidade que são imagens no espelho.
6.2.3. Valor Esperado e Variância
O valor esperado e a variância da variável aleatória X, quantos sucessos obtidos em um
certo número de tentativas, são dados, respectivamente, por:
E ( X )  n
Var ( X )  n (1   )
(8)
(9)
2
P(X=k)
P(X=k)
n=5
=0.30
n=10
=0.30
k
(a)
k
(b)
P(X=k)
n=20
=0.30
k
Figura 6.1 – Distribuições Binomiais
Figura 6.2 Influência da Probabilidade de Sucesso na Distribuição Binomial.
3
6.2.4. Probabilidade Cumulativa
O cálculo das probabilidades binomiais é árduo para valores altos de tentativas (n). Assim,
existe uma tabela com os valores das probabilidades binomiais cumulativas, que por sua vez são
obtidas através da soma das probabilidades individuais, aplicáveis a todos os níveis da variável
aleatória que estão em ou abaixo de um ponto especificado. Em resumo, a probabilidade binomial
cumulativa (representada pela letra maiúscula B) é definida pela equação abaixo.
k
P( X  k )  B(k ; n,  )   P( X  j )
(10)
j 0
Para o Exemplo 1, fica-se com a Tabela 6.1.
No caso de se querer a probabilidade cumulativa para 2 meninas ou menos, tem-se o
seguinte:
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  0.89
Tabela 6.1 – Probabilidades Binomiais Cumulativas
Número de Meninas
Probabilidade Individual
k
P(X=k)
0
1
2
3
(11)
Probabilidade
Cumulativa
P(Xk)
0.14
0.53
0.89
1.00
0.14
0.39
0.36
0.11
Esses resultados podem ser colocados em forma gráfica, como apresentados nas Figuras 6.3
e 6.4 abaixo:
P(k)
k
Figura 6.3 – Distribuição Individual de Probabilidade
A Figura 6.4 tem formato de uma escada em que a diferença entre os patamares representa a
probabilidade para um determinado valor de k.
As tabelas existentes da probabilidade binomial são dadas em anexo.
Exemplo 2: Como exemplo, considere uma amostra com 100 pessoas que são escolhidas
aleatoriamente. Elas devem escolher entre dois tipos de carro: clássico ou esporte. Assuma que 40%
da população escolheu o tipo clássico de carro e considere esta probabilidade como sendo igual a de
sucesso, . Pela tabela em anexo, vê-se que a probabilidade de que 35% ou menos da população
escolha o modelo clássico é:
P( X  35)  0,1795
(12)
Para o caso de no mínimo 50% da população preferir o modelo clássico, tem-se:
P( X  50)  1  P( X  49)  1  0,9729
(13)
4
A probabilidade que entre 40% e 50%, inclusive, prefira o modelo clássico é:
P(40  X  50)  P( X  50)  P( X  39)  0,9832  0,4621  0,5211
(14)
A probabilidade de que exatos 38% respondam a favor do modelo clássico é dada por:
P( X  38)  P( X  38)  P( X  37)  0,3822  0,3068  0,0754
(15)
Para probabilidades de sucesso maiores que 50%, a tabela de probabilidade binomial
cumulativa deve ser usada como imagem no espelho da probabilidade que realmente se quer
calcular.
P(Xk)
1.00
0.89
0.11
0.36
0.53
0.39
0.14
k
0
1
2
3
Figura 6.4 – Distribuição Cumulativa de Probabilidades.
Exemplo 3: Qual é a probabilidade de se conseguir pelo menos 15 caras, se uma moeda assimétrica,
com probabilidade de sucesso igual a 60%, for arremessada 20 vezes ? Neste caso, define-se
sucesso o evento oposto; isto é, a obtenção de coroa, que tem obviamente a probabilidade de
sucesso igual a 40%. Calcula-se então a probabilidade de se obter no máximo 5 coroas que será
igual à probabilidade de se ter pelo menos 15 caras.
P(no mínimo 15 caras)  P( X  5 coroas)  0,1256
(16)
6.3 Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma das mais usadas para variáveis aleatórias discretas. Sua
aplicação mais comum é na descrição de dados sobre, por exemplo, número diário de telefonemas a
uma central telefônica, número de carros que passam por um cruzamento (ou uma cabine de
pedágio) durante um certo período de tempo e em análises de confiança em uma linha de produção
(saber probabilidades de falhas). Os eventos devem ocorrer em um certo intervalo de tempo ou
espaço.
6.3.1. Processo de Poisson
Imagine que se está interessado em saber o número de lâmpadas queimadas em uma rua,
durante 12 dias do mês de agosto. Cada lâmpada queimada é considerada um evento. Obtém-se o
seguinte resultado, tendo-se uma taxa média de  = 1 (uma lâmpada queimada diariamente).
5
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
tempo
Todo o processo de Poisson tem as seguintes propriedades:
a) O número de eventos ocorrendo em um segmento de tempo ou espaço é independente do
número de eventos ocorridos no segmento anterior; o processo de Poisson não tem
memória;
b) A taxa média do processo, , deve permanecer constante durante o período de tempo e
espaço considerados;
c) Quanto menor o segmento de tempo e espaço, menor a probabilidade de ocorrer mais de
um evento naquele segmento. A probabilidade de ocorrência de 2 ou mais eventos se
aproxima de zero, quando o tamanho do segmento se aproxima de zero.
6.3.2. Probabilidades de Poisson
A distribuição de Poisson é dada por:
(t ) x e  t
para x=0,1,2,...
(17)
p( x;  , t )  P( X  x) 
x!
em que os parâmteros  e t são a taxa média do processo e o intervalo de tempo/espaço,
respectivamente.
Exemplo 4: Considere o horário de pico do uso da ponte Rio-Niterói (saída para feriadão, por
exemplo). Suponha que 600 carros por hora passem pelo pedágio. Está-se interessado no número de
carros que chegam, variável X, durante um período de 12 segundos. Assim, tem-se  = 600 e t =
1/300 h. As unidades de  e t devem ser as mesmas. As probabilidades de X são dadas abaixo:
2 0 e 2
P( X  0)  p(0 : 600,1 / 300) 
 0.1353
0!
21 e 2
(18)
P( X  1)  p(1 : 600,1 / 300) 
 0.2707
1!
2 2 e 2
P( X  2)  p(2 : 600,1 / 300) 
 0.2707
2!
2 3 e 2
P( X  3)  p(3 : 600,1 / 300) 
 0.0361
3!

P( X  10)  p (10 : 600,1 / 300) 
210 e  2
 0.0000382
10!
Observa-se que à medida que X aumenta, as probabilidades de Poisson tendem rapidamente
a zero. Os resultados anteriores mudam completamente se os valores dos parâmetros  e t forem
alterados.
Embora 2 ou mais carros possam chegar à ponte em um intervalo de tempo muito curto, a
probabilidade deles chegarem ao mesmo tempo é considerada zero. Mesmo havendo alguns
exemplos práticos em que os carros cheguem ao mesmo tempo, a distribuição de Poisson é um
modelo teórico que satisfaz plenamente.
6
6.3.3 Função Distribuição de Poisson
A função distribuição de Poisson ou probabilidade cumulativa de Poisson é dada por:
x
P( x;  , t )  P( X  x)   p( j;  , t )
(19)
j 0
As probabilidades cumulativas de Poisson são dadas nas tabelas em anexo.
Exemplo 5: Calcule o número de ruídos encontrados em um vídeo, que tem  = 0,1 por pé, em um
segmento de fita igual a 200 ft de comprimento.
Solução: t = 0,1*200=20. Pela Tabela 6.2, tem-se que a probabilidade de se encontrar menos de
15 vezes este defeito é igual a:
P(14;0.1,200)  P( X  15)  0.1049
(20)
A probabilidade de que mais de 20 defeitos sejam encontrados é dada por:
P( X  20)  1  P(20)  1  0.5591  0.4409
(21)
A probabilidade de se encontrar exatamente 20 defeitos é igual a:
P( X  20)  P(20)  P(19)  0.5591  0.4703  0.0888
(22)
6.3.4 Valor Esperado e Variância
O valor esperado e a variância de uma distribuição de Poisson são iguais a:
E ( X )  t
Var ( X )  t
(23)
(24)
Assim, vê-se que o valor esperado de carros passando pelo pedágio deve dobrar se
dobramos o tempo de observação, o mesmo acontecendo com a variância.
6.3.5 Aproximação da Distribuição de Binomial pela Distribuição de Poisson
As distribuições de Poisson e binomial estão relacionadas entre si, através da seguinte
consideração: divida o intervalo de tempo em muitos segmentos de comprimento t e suponha que
cada um seja uma tentativa, tendo dois possíveis resultados: ocorrência ou não de um evento
relevante. Mostra-se que:
 t

lim b x; , t   p( x;  , t )
t 0
 t

;
(25)
ou seja, a distribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson. Esta aproximação é usada
quando os cálculos com uma distribuição é mais difícil que com a outra. Por exemplo, quando a
probabilidade de sucesso  é pequena e n é um número grande, as duas distribuições podem ser
aproximadas, fazendo t=n. Assim:
(n ) x e  n
b( x; n,  ) 
para x=0,1,2,...,n
(26)
x!
7
A Tabela 6.2 apresenta uma comparação entre as duas distribuições, para n=100 e =0.01;
ou seja, t=100*0.01=1
Tabela 6.2 – Comparação entre as Distribuições Binomial e de Poisson
Número de Sucessos
Binomial Exata
Aproximada por Poisson
b(x;100,0.01)
x
0
0.3660
0.3679
1
0.3698
0.3679
2
0.1848
0.1839
3
0.0610
0.0613
4
0.0150
0.0153
5
0.0029
0.0031
6.4. Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica é uma das mais importantes distribuições de probabilidade
para variáveis discretas usadas em amostragem estatística. Ela fornece probabilidades para o
número de observações amostrais de uma categoria particular que pode ser obtida. A diferença
básica entre esta distribuição e a binomial é que esta última requer independência entre as
tentativas, o que torna impraticável sua utilização na avaliação de investigações amostrais de
populações pequenas, a menos que a amostragem seja feita com reposição. Por exemplo, em
controle de qualidade de equipamentos eletrônicos, testes são feitos com a destruição da amostra,
não podendo pois haver reposição.
A distribuição hipergeométrica pode ser melhor entendida através do seguinte exemplo:
Exemplo 6: Considere um carregamento de 25 transformadores, dos quais uma amostra de 4 deles
será testada do ponto de vista ambiental. Cada transformador do carregamento será considerado
satisfatório (S) ou defeituoso (D). A Figura 6.4 apresenta a árvore de probabilidade, supondo que
20% dos transformadores são defeituosos (o que representa 5 transformadores do total).
Naturalmente, este fato é desconhecido do setor de testes, que deve aceitar ou rejeitar o
carregamento com base no número de itens defeituosos encontrados na amostra.
Solução: Utilizando-se as informações da árvore, percebe-se que existem 4 possibilidades de se
obter um item defeituoso; são elas: S1S2S3D4, S1S2D3S4, S1D2S3S4 e D1S2S3S4. Assim, a
probabilidade de existir pelo menos um item defeituoso é dada por:
34200
P( X  1)  4 *
 0.45
(27)
303600
8
Figura 6.4 – Árvore de Probabilidade para o Exemplo 6.
6.4.1 Probabilidades Hipergeométricas
De modo a evitar a construção da enorme árvore de probabilidade, utiliza-se a Equação (28):
C N C n(1k ) N
para k=0,1,...n ou N
(28)
P( X  k )  h(k ; n,  , N )  k
C nN
em que
C ab 
b!
a! (b  a)!
 b  a 1 b
C ab  
C a 1
a


ou
(29)
,
(30)
N representa o tamanho da população a ser amostrada, n é o tamanho da amostra e  é a proporção
de sucessos na população.
Então, no caso dos transformadores, tem-se: N=25, n=4 e =0.2. A probabilidade de se ter
transformador defeituoso é:
 5!   20! 



5
20
0! 5!   4! 16! 
C0 C 4

(31)
P( X  0)  h(0;4,0.2,25) 

 0.3830
C 425
 25! 


 4! 21! 
9
P( X  1)  h(1;4,0.2,25) 
5
1
20
3
25
4
C C
C
P( X  2)  h(2;4,0.2,25) 
P( X  3)  h(3;4,0.2,25) 
P( X  4)  h(4;4,0.2,25) 
5
2
C C
C 425
5
3
20
1
25
4
5
4
20
0
C C
C
C C
C 425
 5!   20! 



1! 4!   3! 17! 


 0.4506
 25! 


 4! 21! 
20
2
(32)
 5!   20! 



2! 3!   2! 18! 


 0.1502
 25! 


 4! 21! 
(33)
 5!   20! 



3! 2!   1! 19! 


 0.01581
 25! 


 4! 21! 
(34)
 5!   20! 



4! 1!   0! 20! 


 0.00040
 25! 


 4! 21! 
(35)
Uma outra forma de calcular essas probabilidades seria:

n  k 1
 N  k  1 
 P( X  k  1)
P( X  k )  

k

 (1   ) N  n  k 
(36)
A função distribuição de probabilidade hipergeométrica cumulativa é dada por:
k
F (k )  P( X  k )   h( j; n,  , N )
(37)
j 0
Considerando o exemplo anterior, tem-se que:
F (3)  P( X  3)  0.383  0.45059  0.15020  0.01581  0.99960
(38)
6.4.2 Valor Esperado e Variância
O valor esperado e a variância são dados por:
E ( X )  n
(39)
 N n
Var ( X )  n (1   )

 N 1 
(40)
A diferença entre a Equação (40) e aquela que calcula a variância para a distribuição
binomial está no termo (N-n)/(N-1). Esta quantidade é chamada de fator de correção para uma
população finita. Note que quando o tamanho da amostra, n, for próximo do tamanho da população,
N, este termo é consideravelmente menor que um, indicando que a variância da distribuição
10
hipergeométrica é bem menor que a da distribuição binomial. O significado prático deste fator de
correção ficará mais evidente, quando a distribuição hipergeométrica for aproximada pela
distribuição normal.
6.4.3. Aproximação da Distribuição Hipergeométrica para a Distribuição Binomial
Devido ao fato da distribuição binomial ser mais fácil de ser calculada e dispor de tabelas,
pode-se usar esta distribuição como uma aproximação para a distribuição hipergeométrica, mesmo
quando não há reposição dos itens. A aproximação é tanto melhor quanto maior for o tamanho de N
em relação a n. A Tabela 6.4 apresenta uma comparação entre os valores calculados para as duas
distribuições, no caso do exemplo dos transformadores, com n=4 e =0.40. Esses parâmetros não
alteram muito a aproximação.
Tabela 6.4 – Comparação entre as Distribuições Binomial e Hipergeométrica
Número Possível
Probabilidade
Probabilidade Hipergeométrica
de Defeitos
Binomial
h(k;n, ,N)
k
b(k;n;)
N=25
N=100
0
0.4096
0.38300
0.40333
1
0.4096
0.45059
0.41905
2
0.1536
.01581
0.02326
3
0.0016
0.00040
0.00124
6.5. Distribuição Geométrica
A distribuição geométrica é a menos usada dentre as distribuições. Ela está relacionada ao
número de tentativas de um processo de Bernoulli, antes do primeiro sucesso ser obtido. Em
problemas de confiabilidade, este fato passa a ser algo importante, que deve ser considerado. Por
exemplo: a célula de potência de um satélite pode durar indefinidamente até que haja uma colisão
com um micro meteoro. Cada dia é considerado como uma tentativa no processo de Bernoulli.
A expressão matemática para esta distribuição é dada abaixo:
p(k )  P( X  k )   (1   ) k 1
para k=1,2,3,...
,
(41)
sendo X o número de tentativas no processo de Bernoulli até que o primeiro suceeso seja atingido e
 a probabilidade de sucesso.
Exemplo 7: Cada dia, há uma probabilidade de =0.01 que um satélite seja danificado em uma
colisão. A probabilidade de sobrevivência diária é consequentemente igual a 1-=0.99. Calcule a
probabilidade de que o satélite seja danificado exatamente no vigésimo e centésimo dias de
operação.
Solução:
P( X  20)  p(20)  0.01* (0.99)19  0.0083
P( X  100)  p(100)  0.01* (0.99) 99  0.0037
(42)
(43)
A função de distribuição de probabilidade geométrica expressa a probabilidade cumulativa
de que o primeiro sucesso ocorra em ou antes da k-ésima tentativa.
k
F (k )  P( X  k )   p( x)  1  (1   ) k
(44)
x 1
11
6.5.1. Valor Esperado e Variância
O valor esperado e a variância são dados por:
E( X ) 
1
(45)

Var ( X ) 
1
2
(46)
12