Aula de 01/03/2013

Sexta Feira
Cálculo Diferencial
01/03/2013
Funções Reais
Funções Trigonométricas
Código: EXA237 A
Turmas: ELE212AN, MEC212AN
Prof. HANS-ULRICH
PILCHOWSKI
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são em número de seis, ou seja, seno, co-seno, tangente, secante,
co-secante e cotangente. Essas funções são abreviadas por: sen, cos, tan, sec, csc e cot ,
respectivamente.
As medidas de ângulos podem ser dadas em graus ou radianos.
r
O
s
α
α (radianos ) =
1 rd ≡ 57, 3
s
r
r
s = r ⇒ 1 rd = 57, 30
0
Se s = r , o ângulo compreendido por s é de 1 radiano
2 π r
Num círculo completo s = αr = 2 π r → α =
= 2 π ou 360 0 são equivalentes a
r
2π rd e 180 0 = π = 3,1416K .
30o
Graus
Radianos π
6
45o
60º
90º
π
π
π
4
3
2
120º
2π
3
135º
150º
3π
4
5π
6
180º 270º
3π
π
360º
2π
2
O grau é uma unidade sexagesimal, isto é, seus múltiplos e sub-múltiplos variam de 60 em 60,
isto é, 10 = 60′ (minutos de arco) e 1′ = 60′′ (segundos de arco).
Exemplo:
Transformar 35,758 0 em grau, minutos e segundos.
Solução:
35,758 0 = 35 0 + 0,758 × 60 = 35 0 + 45,48′ = 35 0 + 45′ + 0,48′ × 60 = 35 0 + 45′ + 28,8′′
35,758 0 = 35 0 + 45′ + 28,8′′ .
Exemplo: Efetuar a transformação inversa, ou seja, 35 0 + 45′ + 28,8′′ para a forma decimal.
Solução:
35o 45′ 28,8′′ = 35o + 45/60 + 28,8/(60×60) = 35,758o
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Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
01.03.2013
Funções trigonométricas
História da Trigonometria
A trigonometria provavelmente começou quando se quis saber a altura de árvores e
montanhas, sem que fosse necessário subir nas mesmas para medir. Construiu-se um
triângulo com o lado maior (hipotenusa) coincidindo com o raio de um círculo de raio=1, e
com isso, montou-se uma tabela de valores x e y (que seriam ≤1) para cada ângulo. Para
valores de x e y maiores do que um ( 1 ) , o ângulo seria o mesmo e os lados seriam
proporcionais e isso permitiria calcular esses valores.
Q
O x
y
y
θ
θ
O
P
x
y = sen (θ ) , x = cos (θ ) e tan (θ ) = sen (θ ) cos (θ ) = y x
O nome sen (θ ) foi dado para a medida y , e para a medida x foi dado cos (θ ) . A relação
entre as duas grandezas y e x é chamada de tan (θ ) .
Assim a altura da árvore pode ser calculada, considerando que y = x tan (θ ) , onde x e y são
medidos no círculo de raio r = 1 , para cada ângulo θ .
Exemplo: se a distância da árvore fosse 30m e o ângulo de visada fosse de 30 0 , então
sen 30 o
0,500
h = y = x ⋅ tan 30 o = x ⋅
= 30m ⋅
= 17,4m , onde o valor 0,50 para
o
0,866
cos 30
( )
( )
( )
( )
( )
y = sen 30 o = 0,500K e o valor 0,86 para x = cos 30 o = 0,866K que foram medidos (com
uma régua) no círculo de raio unitário, para o ângulo de 30o.
Atualmente, os valores sen (θ ) , cos (θ ) e tan (θ ) não são mais medidos, pois, podem ser
calculados com precisão por funções desenvolvidas pelos matemáticos.
Definição das funções trigonométricas
Usa-se o círculo trigonométrico (de raio unitário) para representar as funções, e o ângulo aqui
é representado por “ θ ”.
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
Y
cot (θ )
x = cos (θ ) ⇒ sec (θ ) = 1 x
( x, y )
y = sen (α )
θ
tan (θ )
y = sen (θ ) ⇒ csc (θ ) = 1 y
X
x = cos (α )
x y = tan (θ ) ⇒ cot (θ ) = x y
Por semelhança de triângulos: x 2 + y 2 = 1 ⇒ cos 2 (θ ) + sen 2 (θ ) = 1
S
Y
R
Q
α
C
O
X
OQ = sec (α )
SR = cot (α )
CQ = tan (α )
OR = csc (α )
Por semelhança de triângulos:
CQ tan (α ) sen (α )
,
=
=
OC
1
cos (α )
SR cot (α ) cos(α )
,
=
=
SO
1
sen (α )
OR csc(α )
OP
1
,
=
=
=
SO
1
sen (α ) sen (α )
OQ sec(α )
OP
1
=
=
=
OC
1
cos(α ) cos(α )
2
2
OQ = OC + CQ
2
2
OR = OS + SR
3
2
2
⇒ sec 2 (α ) = 1 + tan 2 (α )
⇒ csc 2 (α ) = 1 + cot 2 (α )
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Funções trigonométricas
Tabela de valores de sen ( x ) , cos ( x ) e tan ( x ) em graus e radianos
RADIANOS
0
π
π
π
π
6
4
3
2
π
GRAUS
0
30º
45º
60º
90º
180º
seno
0
1
2
0
1
3
2
1
2
1
Co-seno
2
2
2
2
0
-1
tangente
0
1
3
∞
0
3
2
3
3
Domínio das funções trigonométricas
Analisar o domínio das funções y = sen (θ ) e y = cos (θ ) .
O domínio das funções y = sen (θ ) e y = cos (θ ) é o conjunto dos reais, ℜ .
Para a função y = sen (θ ) tem-se:
π
0
3π
− 2π
−π
Para a função
y = −cos (θ ) tem-se: − π
-1
2
2
− 2π
−
3π
2
−π
−
π 0
2
π
2
3π
2
2π
Θ
3π
2
2π
Θ
y = cos (θ )
Y
1
-1
y = sen (θ )
Y
1
π
2
π
Os dois gráficos mostram que − ∞ < θ < +∞ , ou seja, o domínio das funções y = sen (θ ) e
y = cos (θ ) é ℜ (conjunto dos reais).
Exemplo: Determinar o domínio, a imagem da função y = 2 cos (θ ) e fazer o gráfico desta no
intervalo [ 0, π ] .
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a)
Notas de aula
Cálculo Diferencial
Como o cos (θ ) existe para qualquer θ , tem-se que o domínio é dado por:
D: {θ ∈ ℜ / (− ∞, + ∞ ) } .
b)
Como o cos (θ ) varia entre − 1 e 1 , e todos os valores de cos (θ ) estão multiplicados
por 2 . Por tanto, y = 2 cos (θ ) varia entre − 2 e 2 , e tem-se que a Imagem é dada por:
I: {y ∈ ℜ / [− 2, + 2] }.
Para fazer o gráfico, primeiramente é montada uma tabela com os principais valores de θ e
y , ou seja,
y
θ
2
1,732
0
π 6
cos (θ )
1
0,866
7π 6
y
cos (θ )
−1
−2
− 0,866 − 1,732
π 4
0,707
1,414
5π 4
− 0,707 − 1,414
π 3
0,5
1
4π 3
− 0,5
−1
π 2
2π 3
0
− 0,5
0
0
0,5
0
−1
3π 2
5π 3
3π 4
− 0,707
− 1,414
7π 4
0,707
1,414
5π 6
− 0,866
−1
− 1,732 11π 6
2π
−2
0,866
1
1,732
2
θ
0
π
1
Assim para a função y = 2 cos (θ ) tem-se, o seguinte gráfico:
Y
y = 2 cos (θ ) y = 2 cos ( x )
2
0
π
2
−2
5
π
3π
2
2π
Θ
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01.03.2013
Funções trigonométricas
Exercício: Encontrar o domínio, imagem e traçar o gráfico da função y = cos ( x ) .
y = cos ( x )
x
x
y = cos ( x )
π2
0
2π 3
1
5π 6
0
π9
2 2
12
π
−1
π6
0
7π 6
0
π3
−1
4π 3
1
0
π 18
1
3 2
π 12
Resposta: D = {x ∈ℜ/ (−∞< x < +∞)}; I = {y ∈ℜ/ (−1≤ y ≤1)}
Y
1
0
X
−1
0
π π π 2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π
2π
6 3 2 3 6
6 3 2 3 6
Exercício: Encontrar o domínio, imagem e traçar o gráfico da função y = 1 − sen ( x ) ,
6
x
0
sen(x)
y = 1 − sen( x)
y = 1 − sen( x)
sen(x)
y = 1 − sen( x)
y = 1 − sen( x)
1
0,5
x
7π 6
0
π6
12
1
12
-1 2
1+1 2
1,5
5π 4
- 2 2
(2 + 2 ) 2
(2 + 3 ) 2
1,21
π4
2 2
1.37
π3
3 2
2
2
π2
1
2π 3
3 2
3π 4
2 2
5π 6
12
π
0
(2 − 2 ) 2
(2 − 3 ) 2
0.29
4π 3
0.13
3π 2
- 3 2
-1
0
0
5π 3
- 3 2
0.13
7π 4
0.29
11π 6
- 2 2
-1 2
12
0,5
2π
0
1
1
(2 − 3 ) 2
(2 − 2 ) 2
(2 + 3 ) 2
(2 + 2 ) 2
1.37
1,21
1+1 2
1,5
1
1
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Notas de aula
Cálculo Diferencial
Resposta: D = {x ∈ℜ/ (−∞< x < +∞)}; I = {y ∈ℜ/ (0 ≤ y ≤ 2 )}
Y
2
1
0
π
π 3π 2π 5π 3π 7π 4π
2
2
2
2
X
Exercício: Encontrar o domínio, imagem e traçar o gráfico da função y = tan ( 3 x ) .
x
0
3x
0
y = tan ( 3x )
π 18
π6
3 3
π 12
π4
1
π9
π3
π6
π2
π3
π4
π
3π 2
2π 3
2π
y = tan ( 3 x )
x
5π 6
3x
5π 2
π
3π
7π 6
7π 2
3
4π 3
4π
∞
0
3π 2
9π 2
5π 3
5π
m∞
0
m∞
0
11π 6
11π 2
m∞
0
m∞
0
m∞
0

(2k −1)π

Resposta: D = x ∈ℜ/  x ≠ ±
 ; I = {y ∈ℜ/ (−∞≤ y ≤ +∞)}
6 


Y
1
0
−1
X
0
7
π π π 2π 5π
7π 4π 3π 5π 11π
2π
π
6 3 4 3 6
6 3 2 3 2