Ficha 1 - estgv - Instituto Politécnico de Viseu

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento Matemática
Disciplina Análise Matemática
Curso Engenharia Informática
Ano
1º
Semestre
Ano
Lectivo
1º
Ficha nº 1: Funções trigonométricas inversas. Limites e Continuidade.
1. Calcule:
⎛
⎝
2⎞
3⎠
1.1- tg ⎜ arcsen ⎟ + arctg
⎛
⎝
3
3
1.2- tg ⎜ arcsen
12 ⎞
⎟
13 ⎠
1.3- sen (π + arccos x ) .
2. Dada a função g ( x ) = 3arcsen(2 x − 1) .
⎛1⎞
⎝3⎠
2.1- Calcule g (0 ) e g ⎜ ⎟ .
2.2- Determine o domínio e contradomínio de g .
2.3- Caracterize a função inversa de g .
2.4. Calcule os zeros de g.
3. Calcule o domínio e o contradomínio das funções:
⎛ 3x ⎞
⎟
⎝ 2⎠
⎛ 2 ⎞
⎟
⎝ x −1⎠
3.1- f ( x ) = −3 + arcsen⎜
⎛1− x2
3.3- f ( x ) = π + arccos⎜⎜
⎝ 2
3.2- f ( x ) = arccos⎜
⎞
⎟⎟
⎠
(
(
⎛ 1 ⎞
⎟
⎝ x +5⎠
3.5. f ( x ) = arctg ⎜
3.6. f ( x ) = arctg 2 x − x 2
4. Caracterize a aplicação inversa de cada uma das funções:
4.1- f ( x ) =
)
3.4- f ( x ) = arcsen x 2 − 1
⎛1⎞
⎝ x⎠
1
arcsen(3x − 2)
2
4.2- g ( x ) = arcsen⎜ ⎟
1
)
2008/2009
Disciplina Análise Matemática
1º
Ano
Semestre
Ano
Lectivo
1º
⎛ x − 1⎞
⎟
⎝ 3 ⎠
4.4- i ( x ) = 5 − 3 arccos⎜
4.3- h( x ) = 1 + cos(2 x )
⎛ x −1⎞
⎟
⎝ 3 ⎠
4.5. j ( x ) = 1 − tg ⎜
5. ­ Dada a função f ( x ) =
π
3
+ 2arcsen 2 x − 1 .
5.1. Calcule o domínio e o contradomínio da função.
5.2. Verifique que f não tem zeros.
6. Determine, caso exista, os seguintes limites:
⎛
⎛ 3x 2 − 2
⎛ 2 ⎞⎞
⎝
⎠⎠
⎝
( )
⎞
⎛ arccos x 2
+ ln x + 1 ⎟⎟
⎠
⎝ x −1
6.3. lim+ ⎜⎜
x → −1
⎛ x2 −1
⎧2 + arccos( x )
⎪
h( x ) = ⎨ x + 5
⎪⎩ 3
0≤ x<1
se
1≤ x ≤4
se
7.1- Mostre que h é contínua em todo o seu domínio.
7.2. Defina a inversa da restrição de h ao intervalo [0,1[.
8. Para cada uma das seguintes funções estude a continuidade no ponto indicado.
⎧arccos(2 x − 1) se x ≤ 1
⎪
8.1. f ( x) = ⎨ ln x
se x > 1
⎪⎩ 2
x ≥ −2
se
)⎞
⎛
1 ⎞⎞
6.4. lim ⎜⎜
+ arcsen⎜ x + ⎟ ⎟⎟
x → −1 x + 1
2 ⎠⎠
⎝
⎝
7. Considere a função real de variável real, definida por:
⎧x
se
⎪
8.2. f ( x ) = ⎨ 2
⎪− 3 x + 2
⎩
(
6.2. lim ⎜⎜ 2
+ arctg x − x 2 ⎟⎟
x → +∞
1
x
−
⎠
⎝
6.1. lim+ ⎜⎜ x + 3 + arctg ⎜
⎟⎟
x →3
x−3 ⎟
,
,
x < −2
2
x = 1.
x = −2 .
2008/2009
Disciplina Análise Matemática
Ano
1º
Semestre
1º
Ano
Lectivo
9. ­Estude a continuidade das funções seguintes:
9.1. ­ f ( x ) =
x 2 + 2x − 3
.
x −1
1
⎧
se
x>0
⎪⎪1 + ln x
9.2. f ( x) = ⎨
⎪1 + 1 se
x≤0
⎪⎩
ex
⎧ln x
⎩x + 1
9.3. f ( x) = ⎨
se
se
.
x<e
.
x≥e
⎧e x −1
⎪
se x > 0
.
9.4. f ( x ) = ⎨ x
2
⎪⎩ x + 1 se x ≤ 0
10. Sendo a e b números reais, considere a família de funções reais de variável real.
⎧ax − b
⎪
f ( x ) = ⎨− 2 x
⎪bx 2 − a
⎩
se x ≤ −1
se − 1 < x < 2
se
x≥2
Determine a e b de modo que:
10.1. f seja contínua em IR.
10.2. f seja contínua em IR \ {− 1} .
11. Determine o valor do parâmetro k de modo a que a função f definida por
⎧⎪e x
f (x ) = ⎨
⎪⎩ln( x + k )
se x ≤ 0
seja contínua em IR.
se x > 0
3
2008/2009