34 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ 2.4. Função exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas. Função exponencial: x A uma função f : IR → IR definida por f ( x ) = a , onde a ∈ IR , a > 0 e a ≠ 1 , dá-se o nome de função exponencial de base a. Exemplos: 1 3 x 3 2 x 1 2 x • f (x ) = 2 x ; g (x ) = • f ( x ) = e x – esta função é particularmente importante pelas suas aplicações em h( x ) = ; ; i(x ) = 2 − x = diversas áreas do conhecimento, nomeadamente na área da Economia. Obs.: • O número “ e ” é irracional ( e = 2,71828182845 ), e é conhecido por constante de Euler • x lim 1 + n → +∞ n n = ex Características destas funções: Se a > 1 • Domínio: D f = IR • Contradomínio: Im( f ) = IR • Zeros: não tem zeros. • f (0 ) = 1 (⇔ f (x ) = a x + ) a0 = 1 • O gráfico de f passa no ponto (0,1) • Injectiva • Estritamente crescente, em particular se x > 0 ax >1 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ 35 Se 0 < a < 1 • Domínio: D f = IR • Contradomínio: Im( f ) = IR • Zeros: não tem zeros. • f (x ) = a x + f ( 0) = 1 • O gráfico de f passa no ponto (0,1) • Injectiva • Estritamente decrescente. (Note-se que agora a x > 1 quando x < 0 ) Função logaritmo: A função inversa da função exponencial é a função f : IR + → IR que se define por f ( x) = log a (x ) onde a ∈ IR , a > 0 e a ≠ 1 , à qual se dá o nome de função logaritmo de base a. Obs.: • log a ( x ) representa o número y pelo qual se eleva a de modo a obter x , isto é, log a (x ) = y ⇔ ay = x Desta equivalência resulta também que x=a loga ( x ) e • log a ( x ) é a função inversa da função a x . • Notação: ( ) log a a y = y log a (x ) logaritmo de base a log( x ) logaritmo de base 10 ln (x ) logaritmo de base e , estes logaritmos chamam-se neperianos, em homenagem ao matemático inglês Neper. 36 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Características destas funções: Se a > 1 + • Domínio: D f = {x ∈ R : x > 0} = R f ( x ) = log a ( x ) • Contradomínio: Im( f ) = IR • Zeros: x = 1 (⇔ log a (1) = 0 ) • O gráfico passa no ponto (1,0) • Injectiva e sobrejectiva (bijectiva) • Estritamente crescente, em particular, se x < 1 log a ( x ) < 0 Exemplos: • f ( x) = log 2 (x ) • g ( x) = log 10 ( x ) • h( x ) = ln( x ) Se 0 < a < 1 + • Domínio: D f = {x ∈ R : x > 0} = R • Contradomínio: Im( f ) = IR • Zeros: x = 1 (⇔ log a (1) = 0 ) f ( x ) = log a ( x ) • O gráfico passa no ponto (1,0) • Injectiva e sobrejectiva (bijectiva) • Estritamente crescente, em particular, se x < 1 Exemplos: • f ( x ) = log 0,5 ( x ) • g ( x) = log1/ e ( x ) log a ( x ) < 0 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ 37 Propriedades dos logaritmos: • log a ( xy ) = log a ( x ) + log a ( y ) • log a • log a x • log a (a ) = 1 • log a (1) = 0 • log a ( x ) = x = log a (x ) − log a ( y ) y ( p ) = p log a (x) ln ( x ) ln (a ) (fórmula de mudança de base) Em particular, log 1 ( x ) = e ln ( x ) ln ( x ) = = − ln (x ) 1 ln (1) − ln (e ) ln e Exercícios: 1. O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma contínua, pode ser calculado através da função C(n) = C0 etn , em que C0 representa a quantidade depositada e t a taxa de juro anual (na forma decimal). Supondo C0 = 10000 euros e t = 5%, determine: a. A quantidade acumulada ao fim de um, de dois e de quatro anos e meio. b. Aproximadamente ao fim de quanto tempo duplica o capital? 2. O lucro L (em euros) obtido na venda de uma peça depende do número x de unidades produzidas mensalmente. Esta relação é dada por L( x) = log 10 + x . 4 a. Se a fábrica tiver a capacidade de produzir entre 500 e 800 unidades por mês, entre que valores variará o lucro obtido em cada peça? Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ 38 b. Qual deverá ser o número de unidades produzidas num mês para que o lucro unitário seja 3 ? 3. Seja f ( x) = ln(4 − x 2 ) . a. Indique o domínio e contradomínio. b. Classifique-a quanto à injectividade, monotonia e paridade. c. Considere a função f definida em [0, 2 [. Caracterize a sua inversa (isto é, indique o domínio e expressão analítica que define f −1 ) Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Funções Trigonométricas (directas) Considere-se um triângulo [ ABC ] rectângulo em A . C cateto oposto a b hipotenusa α B c A cateto adjacente Seja α = ABˆ C , a = BC , b = AC , c = AB Define-se: senα = b cateto oposto = a hipotenusa tgα = cos α = sen(α ) b = cos(α ) c c cateto adjacente = a hipotenusa cotg α = cos(α ) c 1 = = tg (α ) sen(α ) b Obs.: Alguns valores de referências destas funções: θ radianos 0 π senθ 0 1 cosθ 1 3 tgθ 0 3 cotg θ - 6 2 2 3 3 π 4 2 2 1 1 2 2 π 3 3 1 π 2 π 1 0 2 0 -1 3 - 0 0 - 3 2 3 39 40 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Função sen: Seja α π/2 um ângulo representado no P = (cos α , sen α ) círculo trigonométrico (círculo de raio 1). sen α α −π = π Sen(α ) corresponde ao valor 0 = 2π da ordenada do ponto que resulta da intersecção entre a circunferência e o segmento que determina o ângulo com o −π/2 = 3π/2 eixo dos xx’s (medido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), de acordo com a figura ao lado. Assim, dado um ângulo α temos as π/2 seguintes relações: (i) (ii) + sen(α ) = sen(π − α ) e P = (cos α , sen α ) sen α = sen (π−α) sen( −α ) = − sen(α ) Notar que a função seno toma valores positivos nos 1º e 2º quadrantes e valores negativos no 3º e 4º quadrantes. + π −α −π = π As relações anteriores permitem-nos α − − determinar o seno de qualquer ângulo α conhecendo apenas o valor do seno no 1º Quadrante. Exemplo: 5π ∈ 3º quadrante mas 4 sen 5π (i ) 5π π (ii ) π 2 = sen π − = sen − = − sen =− 4 4 4 4 2 0 = 2π −π/2 = 3π/2 41 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Como função real de variável real, temos f : IR → IR x sen( x) À função f dá-se o nome de função seno. (Obs: x é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráfico é y 1 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π x −1 Características desta função: • Domínio: IR; • Contradomínio: Im( f ) = [− 1,1] ; • Injectividade: não injectiva; • Zeros: x = kπ , k ∈ Z ; • Paridade: ∀x • Periodicidade: ∀x • Limitada: ∀x • Máximos: em x = • Mínimos: em x = sen( − x) = − sen( x ) sen( x + 2π ) = sen( x) − 1 ≤ sen( x) ≤ 1 ; π 2 + 2kπ , k ∈ Z ; 3π + 2kπ , k ∈ Z ; 2 (seno é uma função ímpar); ( 2π é o período positivo mínimo); 42 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Função arcsen: Consideremos a função f : IR → [− 1,1] x sen( x ) Esta função não é injectiva y 1 −3π/2 −2π −π −π/2 π/2 π 3π/2 x 2π −1 Por exemplo, há infinitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( sen( x ) = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z ). Pelo que f não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a função seno seja injectiva (chamada restrição principal): g: − π π , 2 2 x → [− 1,1] sen( x) cujo gráfico é: y 1 −2π −3π/2 −π −π/2 π π/2 3π/2 2π x −1 Assim definida, g é uma função injectiva e portanto faz sentido falar na sua inversa, g −1 . Então g −1 tem por domínio [− 1,1] , imagem − π π , 2 2 e a cada x ∈ [− 1,1] faz corresponder o ângulo (ou arco) cujo seno é x , que se representa por arcsen( x ) . Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ g −1 : [− 1,1] → − π π , 2 2 arcsen( x) x cujo gráfico é y π/2 −1 1 x −π/2 Características desta função: • Domínio: [− 1,1] ; • Imagem: − • Injectividade: injectiva; • Zeros: x = 0 ; • Paridade: ∀x • Monotonia: estritamente crescente; • Limitada: ∀x • Máximo em x = 1 ; • Mínimo em x = −1 ; π π ; , 2 2 arcsen(− x) = −arcsen( x ) − π 2 ≤ arcsen ( x) ≤ π 2 ( arcsen é uma função ímpar); ; Obs.: • O arcsen(x) é o valor real y tal que sen( y ) = x , onde x ∈ [− 1,1] , ou seja: arcsen( x) = y ⇔ sen( y ) = x • sen(arcsen( x )) = x onde − 1 ≤ x ≤ 1 ; • arcsen(sen( x )) = x onde − π 2 ≤x≤ π 2 . 43 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Exemplos: 1 2 sen arcsen • arcsen sen • arcsen sen • sen(arcsen(3)) = ? π 2 1 2 = • = 2π 3 π 2 3 π π π 2π = pois ; ∉ − , 2 3 3 2 2 = arcsen (note que 3 ∉ … Exercício 1: Considere a função f definida em IR por: f ( x) = cos π 4 + 2arcsen x 2 Determine o domínio e contradomínio de f . Caracterize a inversa. Resolução: D f = x ∈ IR : −1 ≤ x ≤ 1 = {x ∈ IR : −2 ≤ x ≤ 2}= [− 2,2] 2 Determinemos o contradomínio de f : −2≤ x ≤ 2 ⇔ ⇔ x ≤1 2 x ≤ arcsen(1) 2 (notar que a função arcsen é crescente ) arcsen(−1) ≤ arcsen π ⇔ − ⇔ − π ≤ 2arcsen ⇔ cos ⇔ Logo, Im( f ) = −1 ≤ 2 ≤ arcsen π 4 x π ≤ 2 2 x ≤π 2 − π ≤ cos π 4 + 2arcsen x π ≤ cos +π 2 4 2 π x 2 − π ≤ cos + 2arcsen ≤ +π 2 4 2 2 2 2 −π, +π 2 2 44 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ 45 f é uma função injectiva porque é composta de transformações injectivas (exercício) Comecemos por determinar a expressão analítica da inversa: cos π + 2arcsen 4 x =y 2 x π = y − cos 2 4 ⇔ 2arcsen ⇔ arcsen ⇔ sen arcsen ⇔ y x 2 = sen − 2 2 4 ⇔ x = 2sen y x 2 = − 2 2 4 x 2 = sen y 2 − 2 4 y 2 − 2 4 Portanto f −1 : 2 2 −π, +π 2 2 [− 2,2] → x 2 sen x 2 − 2 4 Exercício 2: Dada a função: f ( x) = π 3 + 2arcsen 2 x − 1 . Calcule D f e CD f . Verifique que f não tem zeros. Resolução: D f = {x ∈ IR : 2 x − 1 ≤ 1} = {x ∈ IR : −1 ≤ 2 x − 1 ≤ 1} = {x ∈ IR : 0 ≤ 2 x ≤ 2} = {x ∈ IR : 0 ≤ x ≤ 1} = [0,1] Determinemos a imagem de f : 0 ≤ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2x − 1 ≤ 1 ⇔ π 3 + 2arcsen(0) ≤ π 3 + 2arcsen( 2 x − 1 ) ≤ π 3 + 2arcsen(1) Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Logo, Im( f ) = π 4π 3 , 3 Vejamos agora que f não tem zeros: f ( x) = 0 ⇔ π 3 + 2arcsen 2 x − 1 = 0 π ⇔ arcsen 2 x − 1 = − ⇔ sen(arcsen 2 x − 1 ) = sen − ⇔ 2x − 1 = − 6 π 6 1 2 f não tem zeros, pois a função módulo é sempre não negativa (isto é, ≥ 0 ). Exercício 3: Considere a função real de variável real definida por: f ( x ) = arcsen a) Verifique que D f = ]− ∞,−2] ∪ [0,+∞[ . b) Determine a imagem de f c) Caracterize a função inversa de f , f −1 . 1 x +1 46 47 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Função cos: Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico (circulo de raio 1). cos(α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta da intersecção entre a circunferência e o segmento que determina o ângulo com o eixo dos xx's , conforme se pode ver na figura ao lado. Recorrendo ao círculo trigonométrico, é fácil verificar as seguintes igualdade para um determinado ângulo α : π−α cos( −α ) = cos(α ) α cos(π − α ) = − cos(α ) π+α α cos(π + α ) = − cos(α ) Assim, usando as igualdades anteriores, é sempre possível determinar o valor do co-seno de um ângulo α conhecendo apenas os valores da função co-seno no 1º quadrante. Exemplo: 4π ∈ 3º quadrante mas 3 cos 4π 4π 1 π π = − cos π − = − cos − = − cos =− 3 3 3 3 2 48 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Como função real de variável real, temos f : IR x → IR cos( x) À função f dá-se o nome de função co-seno. (obs: x é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráfico é y 1 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π x −1 Características desta função: • Domínio: IR; • Contradomínio: Im( f ) = [− 1,1] ; • Injectividade: não injectiva; • Zeros: x = • Paridade: ∀x • Periodicidade: ∀x cos( x + 2π ) = cos( x) • Limitada: ∀x • Máximos: em x = 2kπ , k ∈ Ζ ; • Mínimos: em x = π + 2kπ , k ∈ Ζ . π 2 + kπ , k ∈ Ζ ; cos(− x) = cos(x) −1 ≤ cos( x) ≤ 1 ; (co-seno é uma função par); ( 2π é o período positivo mínimo); 49 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Função arccos Consideremos a função f : IR → [− 1,1] x cos( x ) Esta função não é injectiva y 1 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π x −1 Por exemplo, há infinitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( cos( x ) = 0 ⇔ x= π 2 + kπ , k ∈ Z ). Pelo que f não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a função co-seno seja injectiva (chamada restrição principal): g: [0, π ] → x [− 1,1] cos( x) cujo gráfico é: y 1 −π/2 π/2 π x −1 Assim definida, g é uma função injectiva e portanto faz sentido falar na sua inversa, g −1 . Então g −1 tem por domínio [− 1,1] , imagem [0, π ] e a cada x ∈ [− 1,1] faz corresponder o ângulo (ou arco) cujo co-seno é x , que se representa por arccos( x ) . Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ g −1 : [− 1,1] [0, π ] → x arccos( x) cujo gráfico é y π −1 1 x Características desta função: • Domínio: [− 1,1] ; • Imagem: [0, π ] ; • Injectividade: injectiva; • Zeros: x = 1 ; • Paridade: nem é par nem é ímpar; • Monotonia: estritamente decrescente; • Limitada: ∀x ∈ [− 1,1] • Máximo em x = −1 ; • Mínimo em x = 0 ; 0 ≤ arccos ( x) ≤ π ; Obs.: • O arccos( x) é o valor real y tal que cos( y ) = x , onde x ∈ [− 1,1] , ou seja: arccos( x) = y ⇔ cos( y ) = x • cos(arccos( x )) = x onde − 1 ≤ x ≤ 1 ; • arccos(cos( x )) = x onde 0 ≤ x ≤ π . 50 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Exemplos: 1 3 1 3 = • cos arccos • arccos cos • arccos cos • cos(arccos(− 2)) = ? π 6 = 7π 6 π 6 = arccos − 3 5π 7π = pois ∉ [0, π ]; 2 6 6 (note que − 2 ∉ … Exercício 1: Considere a função f definida por: f ( x) = π 3 arccos 2 x − 1 Determine o domínio e contradomínio de f . Caracterize a inversa, caso exista. Resolução: D f = {x ∈ IR : 2 x − 1 ≤ 1} = {x ∈ IR : −1 ≤ 2 x − 1 ≤ 1} = {x ∈ IR : 0 ≤ 2 x ≤ 2} = {x ∈ IR : 0 ≤ x ≤ 1} = [0,1] Determinemos o contradomínio de f : 0 ≤ x ≤1 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇔ − 1 ≤ 2x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2x − 1 ≤ 1 ⇔ arccos(0) ≥ arccos 2 x − 1 ≥ arccos(1) (notar que a função arccos é decrescente) ⇔ 0 ≤ arccos 2 x − 1 ≤ ⇔ 0≤ Logo, Im( f ) = 0, π 3 π2 6 π 2 arccos 2 x − 1 ≤ π2 6 51 52 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ A função f não admite inversa, pois não é injectiva: 1 3 , ∈ Df 4 4 1 3 ≠ 4 4 mas f 1 π = 4 3 2 = f 3 4 Exercício 2: arccos(2 x + 1) . 2 Dada a função: f ( x) = 1 − (a) Calcule D f e CD f . (b) Caracterize a inversa, caso exista. (c) {x ∈ IR : f ( x ) = 0} Resolução: (a) D f = {x ∈ IR : −1 ≤ 2 x + 1 ≤ 1} = {x ∈ IR : −2 ≤ 2 x ≤ 0} = {x ∈ IR : −1 ≤ x ≤ 0} = [− 1,0] Determinemos a imagem de f : − 1 ≤ x ≤ 0 ⇔ − 1 ≤ 2x + 1 ≤ 1 ⇔ arccos(−1) ≥ arccos(2 x + 1) ≥ arccos(1) ⇔ 0 ≤ arccos(2 x + 1) ≤ π arccos(2 x + 1) π ⇔ 0≥− ≥− 2 2 π arccos(2 x + 1) ⇔ 1− ≤1− ≤1 2 2 Logo, Im( f ) = 1 − π 2 ,1 (b) f é uma função injectiva porque é composta de funções injectivas. 1− arccos(2 x + 1) arccos(2 x + 1) =y ⇔ = 1− y 2 2 ⇔ arccos(2 x + 1) = 2(1 − y ) ⇔ 2 x + 1 = cos(2 − 2 y ) ⇔ Portanto f −1 : 1− π 2 x ,1 x= → − 1 + cos(2 − 2 y ) 2 [− 1,0] − 1 + cos (2 − 2 x ) 2 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ (c) Estudemos os zeros de f arccos(2 x + 1) =0 2 arccos(2 x + 1) =1 2 arccos(2 x + 1) = 2 2 x + 1 = cos(2) − 1 + cos(2 ) x= 2 f ( x) = 0 ⇔ 1 − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f tem um zero em x = − 1 + cos(2 ) . 2 53 54 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Função tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. (1,tg α) tg (α ) corresponde ao valor da ordenada do ponto que resulta de projectar o lado extremidade do ângulo α no eixo paralelo ao α (1,0) eixo das ordenadas e que passa pelo ponto de coordenadas (1,0 ) . (ver figura ao lado) Recorrendo ao círculo trigonométrico é fácil verificar as seguintes igualdades para um determinado ângulo α : α −α tg (−α ) = −tg (α ) tg (π − α ) = tg (− α ) Estas igualdades permitem calcular a tangente de um ângulo α conhecendo apenas os seus valores no 1º quadrante. Exemplo: 2π ∈ 2º quadrante 3 tg 2π π π π = tg π − = tg − = −tg = 3 3 3 3 3 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Como função real de variável real, temos f : IR \ π 2 + kπ , k ∈ Ζ x → IR tg ( x) À função f dá-se o nome de função tangente. (obs: x é a medida de um ângulo em radianos) O seu gráfico é Características desta função: π + kπ , k ∈ Ζ ; • Domínio: IR \ • Contradomínio: IR; • Injectividade: não injectiva; • Zeros: x = kπ , k ∈ Z ; • Paridade: ∀x tg (− x) = −tg ( x) (tangente é uma função ímpar); • Periodicidade: ∀x tg ( x + π ) = tg ( x) ( π é o período positivo mínimo); • Limitada: não limitada; • Máximos: não tem; • Mínimos: não tem. 2 55 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ 56 Função arcotangente Consideremos a função f : IR \ π 2 + kπ , k ∈ Ζ → x IR tg ( x) Esta função não é injectiva. Por exemplo, há infinitos pontos do domínio que têm por imagem zero ( tg (x ) = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z ). Pelo que f não admite inversa. Contudo, podemos considerar uma restrição do domínio onde a função tangente seja injectiva (chamada restrição principal): g: − π π , 2 2 x → IR tg ( x) cujo gráfico é: Assim definida, g é uma função injectiva e portanto faz sentido falar na sua inversa, g −1 . Então g −1 tem por domínio IR , imagem − π π , 2 2 e a cada x ∈ IR faz corresponder o ângulo (ou arco) cuja tangente é x , que se representa por arctg ( x ) . 57 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ g −1 : IR → x − π π , 2 2 arctg ( x) cujo gráfico é y π/2 π/4 −1 x 1 −π/4 −π/2 Características desta função: • Domínio: IR ; • Contradomínio: − • Injectividade: injectiva; • Zeros em x = 0 ; • Paridade: ∀x arctg (− x) = − arctg ( x ) • Monotonia: estritamente crescente; • Limitada: ∀x • Máximos: não tem; • Mínimos: não tem; − π π ; , 2 2 π 2 < arctg ( x) < π 2 ( arctg é uma função ímpar); ; Obs.: • O arctg (x) é o valor real y tal que tg ( y ) = x , onde x ∈ IR , ou seja: arctg ( x) = y ⇔ tg ( y ) = x • tg (arctg (x )) = x onde x ∈ IR ; • arctg (tg (x )) = x onde − π 2 ≤x≤ π 2 . 58 Capítulo II: Funções Reais de Variável Real___________________________ Exemplos: • tg arctg • arctg tg • arctg tg 1 7 = π = 6 7π 6 1 7 π 6 = arctg tg π + π = arctg tg 6 π 6 = π 6 pois 7π π π . ∉ − , 6 2 2 Exercício: Considere a função definida por f ( x) = arctg 1 . 1 − 2x Determine o domínio e contradomínio de f. Caracterize a inversa, caso exista. Resolução: D f = x ∈ IR : 1 1 ∈ IR = {x ∈ IR : 1 − 2 x ≠ 0} = IR \ 1− 2x 2 π π Im( f ) = − , 2 2 \ {arctg (0)} = − π π \ {0} pois , 2 2 1 nunca se anula! 1− 2x Nota: f é injectiva: f ( x) = f ( y ) ⇔ arctg ⇔ 1 1 = arctg 1 − 2x 1− 2y 1 1 = 1 − 2x 1 − 2 y porque arctg é uma função injectiva (recordar!) ⇔ ⇔ x=y Determinemos a expressão analítica da inversa: arctg 1 1 =y ⇔ = tg ( y ) 1 − 2x 1 − 2x ⇔ 1 − 2 x = cot g ( y ) Portanto f −1 : − π π , 2 2 x \ {0} → 1 2 1 − cot g ( x) 2 IR \ ⇔ ⇔ x= 1 − cot g ( y ) 2