3 xln x )x(f - - = ( ) ( ) ( )2

Exercício 1: Localizar todos os zeros da função. Usar
intervalos de amplitude 1. Determinar o maior zero positivo
de com o método de Newton - Raphson com e = 10-3 ou 4
iterações no máximo.
f ( x )  3  x  ln x 
2
2
Primeira parte: Localização do zero
3  x  ln x   0
2
2
3  x 2  ln x 
2
g( x )  3  x 2
h( x )  ln x 
2
h( x )  ln x 
2
g( x )  3  x 2
Os zeros estão em (0 , 1) e (1 , 2)
Segunda parte: Determinar o zero em com o MNR.
a ,b   1 , 2
2 ln x
x
 1  ln x 
f ( x )  2  2

2
 x 
 f ( a ) f ( a )  8  0



 f ( b ) f ( b )  3,414  0

f ( x )  2 x 
x0  2
Cálculos:
 f  xn 1   3  xn21  ln xn 1 2

2 ln xn 1




f
x


2
x

n 1
n 1

xn 1

f  xn 1 
xn  xn 1 
f  xn 1 
N
f(xN-1)
f '(xN-1)
xN
| xN-xN-1|
0
-
-
2,000
-
1
-1,480
-4,693
1,685
0,315
2
-0,111
-3,892
1,656
0,029
3
0,003
-3,816
1,657
0,001
N
xN
| xN-xN-1|
0
2,000
-
1
1,685
0,315
2
1,656
0,029
3
1,657
0,001
Zero para e = 10-3: 1,657
Exercício 2: Determinar o maior zero da função, com o
método da iteração linear com e = 10-3 ou 4 iterações no
máximo.
f ( x )  3  x  ln x 
2
2
Primeira parte: Escolha da função iteração, para determinação do zero
em (1 , 2).
3  x 2  ln x   0
2
x  3  ln x 
2
2
x  3  ln x 
2
( x )  3  ln x 
2
( x )  3  ln x 
2
( x ) 
 ln x 1 / x 
1  0  1  1
3  ln x 
2
x0  1
e
xn  3  ln xn 1 
2
N
0
1
2
3
4
xN
1,000
1,732
1,643
1,659
1,656
| xN-xN-1|
0,732
0,089
0,016
0,003
Zero para 4 iterações: 1,656
Exercício 3: Uma gamela de comprimento L tem seção transversal
semicircular com raio r (veja a figura abaixo). Quando a gamela está cheia
com água até uma distância h do topo, o volume V de água é:

h
V  L 0 ,5r 2  r 2 arcsen   h r 2  h 2
r



1/ 2



Suponha que L = 10 pés, r = 1 pé e V = 12,4 pés cúbicos. Determine a
profundidade da água na gamela com precisão de 0,01 pé. Use o método da
bisseção.
Resolução: Substituindo-se os dados na equação:

12 ,4  10 0 ,5 arcsenh   h 1  h 2



1,24  0 ,5  arcsenh   h 1  h 2

0 ,5  arcsenh   h 1  h 2

1/ 2

1/ 2




1/ 2
 1,24  0
Assim, o exercício equivale a determinar, no intervalo (0 , 1), o zero da
função:

f h   0 ,5  arcsenh   h 1  h 2
Com o método da bisseção e e = 10-2.

1/ 2
 1,24
i
1
2
3
4
5
6
7
8
ai
0
0
0
0,13
0,13
0,16
0,16
0,16
bi
1
0,5
0,25
0,25
0,19
0,19
0,18
0,17
hi
0,5
0,25
0,13
0,19
0,16
0,18
0,17
0,17
|f(hi)|
0,63
0,16
0,07
0,05
0,01
0,03
0,01
0,01
bi - ai
1
0,5
0,25
0,12
0,06
0,03
0,02
0,01
f(ai)f(hi)
+
+
-
Tem-se, então: h = 0,17 pé. E a profundidade: r – h = 1 – h = 0,83 pé.