PDF995, Job 6

Instituto Politécnico de Bragança
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Análise Matemática I – 2003/04
Ficha Prática nº 2 – Parte III.
Função Exponencial. Função Logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas.
1)
2)
A representação gráfica da função definida por f ( x) =
A)
B)
B)
D)
Considere as funções f e g, de domínio ℜ , definidas por f ( x) = 2 x
Qual o conjunto solução da inequação f ( x) > g ( x) ?
3)
1
, é:
1 + ex
A) Conjunto vazio
B) ℜ −
C) ℜ +
D) ℜ
Calcule:
(
A) log 1 log 2 2 8
2
C) log
)
B) log 1
2
16
2
D) ln e
1
8
log 1 9
3
e
g ( x) = 3 x .
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4)
5)
6)
7)
O gráfico da função f ( x) = e2 x , intersecta a recta y = 6 em:
A) Dois pontos: (-2;6) e (3,6).
B) Um ponto: (ln3;6).
C) Um ponto: ( ln 6 ; 6).
D) Nenhum ponto.
Seja g uma função definida por g ( x) = ln
A) ]2; +∞[
B) ℜ \ {2}
C) ℜ \ {1; 2}
D) ]−∞;1[ ∪ ]2; +∞[
O valor da expressão e 2+ln (x +1) é igual a:
A) e 2 + x + 1 .
B) e 2 (x + 1)
C) e 2 + x
D) e 2 + ln( x + 1)
A expressão e ln (x ) + 2 − log 2 x é identicamente igual a:
2
( )
8)
x −1
. Então o domínio de g é:
x−2
A) x 2 + log 2 x −2 .
B) x 2 + log 2
4
x
C) x 2 + log 2 (4 − x )
D) x 2 + log 2
x
4
Determine os valores reais de x que verificam cada uma das seguintes condições:
a)
ln(3 − x)
<1
ln( x)
b) e 2 x − 12e −2 x = 1
2
(
)
3 x +1
c) 2 x = 81
3
d) ln x 2 − 1 − ln x = ln 2
e) 2 ln x − ln( x 2 + x − 2) = 0
f) log 5 ( x) + log 2 (8) = 0
g) xe − 2e < 0
ex −1
h) 2
>0
x +1
x
x
i) log 1 x − 3 − log 1 ( x − 1) > 0
3
3
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9)
Dada a função real de variável real h( x) = 2 − 2e 3 x .
a) Resolva a seguinte equação: (h( x) ) = 4.
2
b) Caracterize h −1 ( x)
10 )
(
)
Considere a função real de variável real f ( x) = 1 − log 1 e 2 − x 2 .
e
Determine:
a) O seu domínio.
b) f (0) .
e2
c) O conjunto A = x ∈ ℜ : 1 − f ( x) ≥ log 1
.
4
e
11 )
Determine:
a) sen −
π
b) cos
6
d) cos (12π )
g) cos ec
h) sec
2
2
p) sen
π
6
1
4
− arccos −
s) tg 2 arccos
1
3
4
5
π
3
4π
3
3π
2
i) cos ec ( −330
1
3
n) sec arctg −
q) cos
f) sec
219π
4
k) arctg
m) cos ec arccos −
c) tg −
8π
6
e) cot g
3π
4
j) arcsen −
5π
4
)
l) arccos ( −1)
3
2
− arcsen
o) sen 2 arccos
3
5
1
1
t) tg arccos + arcsen
3
2
(
10
5
( ))
r) arctg − 2 cos π 6
u) arcsen ( −1) + 2 sen 2
1
1
arccos
2
4
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12 )
Considere a expressão f ( x) = a + bsen 2 ( x) . Sempre que se atribui um valor real a e um valor
real b, obtemos um a função de domínio ℜ .
a) Nesta alínea, considere a = 2 e b = −5 .
Sabe-se que tgθ =
1
. Calcule f (θ ) .
2
b) Para um certo valor de a e um certo valor b, a função f tem o seu gráfico parcialmente
representado na figura junta.
Conforme esta figura sugere, tem-se:
•
O contradomínio de f é [− 3,1]
•
0 e π são maximizantes
•
−
π
2
e
π
2
são minimizantes
Determine a e b.
13 )
Seja f uma função definida por f ( x) = ln(2 sen( x) − 1) . Então, o domínio de f em [ 0; 2π ]
é:
A)
C)
π 5π
6
;
6
π 5π
6
;
B)
6
∪
7π 11π
;
6 6
C)
π 5π
6
;
6
∪
7π 11π
;
6 6
π 5π
6
;
6
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14 )
Dadas as funções arcsen(x), arccos(x), arctg(x) e sec(x), associe cada uma delas ao
respectivo gráfico.
15 )
A)
B)
C)
D)
Resolva cada uma das seguintes equações.
a) sen 2 x +
π
6
d) cos ( 2 x ) = −
=−
1
2
2
2
g) 2tg 2 ( x ) + 9tg ( x ) + 3 = 0
j) 2arctg
16 )
x
π
+4 =−
2
2
Sabendo que tgα = −
π
b) tg ( 4 x ) = cot g ( x)
c) arccos ( 4 x ) =
e) 2 sen ( 5 x ) = 3
f) sen ( 2 x ) + sen ( x ) = 0
6
h) 15cos 4 ( x ) − 14 cos 2 ( x ) + 3 = 0 i) tg ( arccos ( x ) ) =
k)
π
3
− arccos x −
1
=0
2
l) tg arctg
2x −1
x
1
3
=3
3 3
π
α
∧ π ≤ α ≤ 2π , calcule sen + α + sen .
4 2
3
2
19
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17 )
Resolva as seguintes inequações.
a) sen(2 x) < sen( x) , em [ 0; 2π [ .
b) sen( x) >
c) arccos
18 )
x + 1 2π
<
.
2
3
Qual é a inversa e o domínio da função f definida por f ( x) = arcsen( x − 1) − 4 ?
A)
C)
19 )
3
, em [ 0; 2π [ .
2
f
−1
( x) = arcsen( x + 4) − 1
D f = [0 , 2]
f
−1
( x) = sen( x + 1) + 4
D f = ]1,4[
D)
−1
( x) = sen( x + 4) + 1
D f = ]0 , 2[
f
−1
( x) = sen( x + 4) + 1
D f = [0 , 2]
O domínio da função definida por f ( x ) = 2arcsen 2 x − 1 é:
A) −
π π
B) [− 1,1]
, .
2 2
C) [0 ,1]
20 )
B)
f
D) [− π ,π ]
Dadas as funções reais de variável real
f ( x) = 2 cos( x) , g ( x) = cos( x) sen( x)
a) Determine os valores de x no intervalo ]−π , π [ que verificam a condição f ( x ) > 3
b) Resolva a equação f ( x ) + g ( x ) = 0
21 )
Considere a função real de variável real f ( x) =
1
cos 3 x −
π
.
4
a) Determine o seu domínio e contradomínio.
b) Escolha um domínio (de maior amplitude possível) onde f seja injectiva, e calcule,
nesse domínio, a respectiva função inversa.
c) Verifique que f
π
2
− f (π ) = 0
20
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22 )
Considere a função f ( x) =
π
− 3arcsen(2 x) .
4
a) Calcule o domínio e contradomínio da função.
b) Determine a função inversa.
c) Calcule os zeros da função.
d) Determine x ∈ R : f ( x) =
23 )
π
4
1− x2
Dada a função h( x) = 2π − 3 arccos
2
a) Mostre que h é par.
b) Determine o seu contradomínio.
c) Caracterize a inversa da restrição de h ao subconjunto não negativo de Dh
d) Defina em extensão: A = x ∈ Dh : h( x) ≤
24 )
π
2
.
Considere a função real de variável real f ( x) = π − 2arctg (2 x + 1) .
a) Determine o domínio e contradomínio de f.
b) Prove que ∀x ∈ [− 1, 0], f ( x) ≠ 0.
c) Defina a função inversa.
25 )
Considere a função f ( x ) = tg ( x ) + sen ( x ) .
a) Determine o seu domínio.
b) Justifique que a função é ímpar.
26 )
Considere as funções f e g, reais de variável real, f ( x) =
1
− sen( x) e
2
g ( x) = 2 arccos( x − 1) , definidas nas respectivas restrições principais.
a) Determinar x tal que f ( x) + f (2 x) = 1 .
b) Escreva a expressão designatória da aplicação ( f
designado por ( f
g)
g )( x) e determine o número
1
.
3
c) Caracterize a função inversa de g.
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27 )
Considere as rectas r e s, definidas por:
r : 2 3y + 2x = 3
s : y + 3 x = −2 3
a) Determine o ângulo que a recta r faz com o eixo das abcissas.
b) Determine o ângulo que a recta s faz com o eixo das ordenadas.
c) Determine o ângulo entre as duas rectas.
Sugestão para mais exercícios:
Sebenta de exercícios: exercícios 26 a 38 do capítulo 1.
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