FUV – Derivadas - Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Inversas

FUV – Derivadas
Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Inversas
Rodrigo Hausen
v. 2015-2-27
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Relembrando
Definição. Dada função real f , a derivada de f é a função f ′
definida por
f (x + ∆x ) − f (x )
f ′ (x ) = lim
∆x →0
∆x
ou, equivalentemente,
f ′ (x ) = lim
∆f
,
∆x →0 ∆x
onde ∆f = f (x + ∆x ) − f (x )
d
df
ou
f
dx
dx
(é um símbolo só, não é um quociente entre dois números!)
Obs.: A função f ′ também é denotada
v. 2015-2-27
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Derivadas básicas
f (x ) = c constante, então f ′ (x ) = 0.
f (x ) = x , então f ′ (x ) = 1.
Se n constante real e f (x ) = x n , então f ′ (x ) = nx n−1
(regra da potência, ou “regra do tombo”)
sen′ (x ) = cos x
cos′ (x ) = − sen x
v. 2015-2-27
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Regras algébricas
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores:
se h(x ) = f (x ) − g(x ) então h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
CUIDADO com a regra do produto
se h(x ) = f (x )g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x )g(x ) + f (x )g ′ (x ).
CUIDADO com a regra do quociente
f (x )
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
se h(x ) =
, então h′ (x ) =
g(x )
[g(x )]2
v. 2015-2-27
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Regras algébricas
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores:
se h(x ) = f (x ) − g(x ) então h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
CUIDADO com a regra do produto
se h(x ) = f (x )g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x )g(x ) + f (x )g ′ (x ).
CUIDADO com a regra do quociente
f (x )
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
se h(x ) =
, então h′ (x ) =
g(x )
[g(x )]2
Como derivar h(x ) =
v. 2015-2-27
√
x 2 − 1?
4/13
Regras algébricas
se h(x ) = c ⋅ f (x ), então h′ (x ) = c ⋅ f ′ (x )
se h(x ) = f (x ) + g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x )
das regras anteriores:
se h(x ) = f (x ) − g(x ) então h′ (x ) = f ′ (x ) − g ′ (x )
CUIDADO com a regra do produto
se h(x ) = f (x )g(x ), então h′ (x ) = f ′ (x )g(x ) + f (x )g ′ (x ).
CUIDADO com a regra do quociente
f (x )
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
se h(x ) =
, então h′ (x ) =
g(x )
[g(x )]2
Como derivar h(x ) =
v. 2015-2-27
√
x 2 − 1? Só com as regras acima, não dá.
4/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
v. 2015-2-27
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
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dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
v. 2015-2-27
dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dF
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dF
(x ) =
dx
dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dF
(x ) =
dx
dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
(x ) = lim
∆x →0 ∆x
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dF
(x ) =
dx
dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
∆y
∆u
= lim
⋅ lim
∆x →0 ∆u ∆x →0 ∆x
dF
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
∆y
∆u
como u contínua,
)
= lim
⋅ lim
=(
∆u → 0 se ∆x → 0
∆x →0 ∆u ∆x →0 ∆x
dF
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
∆y
∆u
como u contínua,
)
= lim
⋅ lim
=(
∆u → 0 se ∆x → 0
∆x →0 ∆u ∆x →0 ∆x
∆y
∆u
= lim
⋅ lim
∆u→0 ∆u ∆x →0 ∆x
dF
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
∆y
∆u
como u contínua,
)
= lim
⋅ lim
=(
∆u → 0 se ∆x → 0
∆x →0 ∆u ∆x →0 ∆x
∆y
∆u
= lim
⋅ lim
∆u→0 ∆u ∆x →0 ∆x
dy
du
=
(u) ⋅ (x )
du
dx
dF
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
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dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
∆y
∆u
como u contínua,
)
= lim
⋅ lim
=(
∆u → 0 se ∆x → 0
∆x →0 ∆u ∆x →0 ∆x
∆y
∆u
= lim
⋅ lim
∆u→0 ∆u ∆x →0 ∆x
dy
du
=
(u) ⋅ (x ) = f ′ (u) ⋅ g ′ (x )
du
dx
dF
(x ) =
dx
5/13
Derivando funções compostas
√
Derivar F (x ) = x 2 − 1:
√
Introduzimos as variáveis y = f (u) = u e u = g(x ) = x 2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ =
F ′ (x ) =
dy
du
dF
e f′ =
e g′ =
?
dx
du
dx
dy
∆y
∆y ∆u
(x ) = lim
⋅
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u ∆x
dx
∆y
∆u
como u contínua,
)
= lim
⋅ lim
=(
∆u → 0 se ∆x → 0
∆x →0 ∆u ∆x →0 ∆x
∆y
∆u
= lim
⋅ lim
∆u→0 ∆u ∆x →0 ∆x
dy
du
=
(u) ⋅ (x ) = f ′ (u) ⋅ g ′ (x ) = f ′ (g(x )) ⋅ g ′ (x )
du
dx
dF
(x ) =
dx
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
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Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
v. 2015-2-27
6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
Considere F (x ) = y , onde
√
y = f (u) = u
v. 2015-2-27
e
u = g(x ) = x 2 − 1
6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
Considere F (x ) = y , onde
√
y = f (u) = u
e
u = g(x ) = x 2 − 1
1
1
Como f ′ (u) = u −1/2 = √
2
2 u
v. 2015-2-27
6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
Considere F (x ) = y , onde
√
y = f (u) = u
1
1
Como f ′ (u) = u −1/2 = √
2
2 u
v. 2015-2-27
u = g(x ) = x 2 − 1
e
e
g ′ (x ) = 2x ,
6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
Considere F (x ) = y , onde
√
y = f (u) = u
1
1
Como f ′ (u) = u −1/2 = √
2
2 u
u = g(x ) = x 2 − 1
e
e
g ′ (x ) = 2x ,
então F ′ (x ) = f ′ (u) ⋅ g ′ (x )
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6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
Considere F (x ) = y , onde
√
y = f (u) = u
1
1
Como f ′ (u) = u −1/2 = √
2
2 u
u = g(x ) = x 2 − 1
e
e
g ′ (x ) = 2x ,
1
então F ′ (x ) = f ′ (u) ⋅ g ′ (x ) = √
⋅ 2x
2 x2 − 1
v. 2015-2-27
6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,
vamos aplicá-la.
√
Exemplo 1. F (x ) = x 2 − 1. Calcule F ′ (x ).
Considere F (x ) = y , onde
√
y = f (u) = u
1
1
Como f ′ (u) = u −1/2 = √
2
2 u
u = g(x ) = x 2 − 1
e
e
g ′ (x ) = 2x ,
1
x
então F ′ (x ) = f ′ (u) ⋅ g ′ (x ) = √
⋅ 2x = √
2
2 x −1
x2 − 1
v. 2015-2-27
6/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:
calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
Função
externa
Função
interna
F (x ) = f (g(x ))
v. 2015-2-27
7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:
calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
Função
externa
Função
interna
F (x ) = f (g(x ))
F (x ) =
v. 2015-2-27
7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:
calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
Função
externa
Função
interna
F (x ) = f (g(x ))
Derivada da
função externa
F (x ) = f (
v. 2015-2-27
)
7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:
calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
Função
externa
Função
interna
F (x ) = f (g(x ))
Derivada da
função externa
F (x ) = f (g(x ) )
Avaliada na
função interna
v. 2015-2-27
7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:
Se F (x ) = f (g(x )), então F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:
calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
Função
externa
Função
interna
F (x ) = f (g(x ))
Derivada da
função externa
Derivada da
função interna
F (x ) = f (g(x ) ) ⋅g (x )
Avaliada na
função interna
v. 2015-2-27
7/13
Aplicando a regra da cadeia
Exemplo 2. Calcule as derivadas de:
(a) F (x ) = sen(x 2 )
e
(b) F (x ) = sen2 (x ).
Obs.: sen2 (x ) = [sen(x )]2
v. 2015-2-27
8/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra do
Quociente:
h(x ) =
f (x )
g(x )
então
h′ (x ) =
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
[g(x )]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso que
nem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
v. 2015-2-27
9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra do
Quociente:
h(x ) =
f (x )
g(x )
então
h′ (x ) =
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
[g(x )]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso que
nem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x ) = f (x )G(x ), onde G(x ) = [g(x )]−1
v. 2015-2-27
9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra do
Quociente:
h(x ) =
f (x )
g(x )
então
h′ (x ) =
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
[g(x )]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso que
nem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x ) = f (x )G(x ), onde G(x ) = [g(x )]−1
g ′ (x )
G ′ (x ) = (−1)[g(x )]−2 ⋅ g ′ (x ) = −
(R. da Potência e Cadeia)
[g(x )]2
v. 2015-2-27
9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra do
Quociente:
h(x ) =
f (x )
g(x )
então
h′ (x ) =
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
[g(x )]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso que
nem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x ) = f (x )G(x ), onde G(x ) = [g(x )]−1
g ′ (x )
G ′ (x ) = (−1)[g(x )]−2 ⋅ g ′ (x ) = −
(R. da Potência e Cadeia)
[g(x )]2
h′ (x ) = f ′ (x )G(x ) + f (x )G ′ (x ) (Regra do Produto),
v. 2015-2-27
9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra do
Quociente:
h(x ) =
f (x )
g(x )
então
h′ (x ) =
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
[g(x )]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso que
nem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x ) = f (x )G(x ), onde G(x ) = [g(x )]−1
g ′ (x )
G ′ (x ) = (−1)[g(x )]−2 ⋅ g ′ (x ) = −
(R. da Potência e Cadeia)
[g(x )]2
h′ (x ) = f ′ (x )G(x ) + f (x )G ′ (x ) (Regra do Produto),
f ′ (x ) f (x )g ′ (x )
h′ (x ) =
−
g(x )
[g(x )]2
v. 2015-2-27
9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra do
Quociente:
h(x ) =
f (x )
g(x )
então
h′ (x ) =
f ′ (x )g(x ) − f (x )g ′ (x )
[g(x )]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso que
nem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x ) = f (x )G(x ), onde G(x ) = [g(x )]−1
g ′ (x )
G ′ (x ) = (−1)[g(x )]−2 ⋅ g ′ (x ) = −
(R. da Potência e Cadeia)
[g(x )]2
h′ (x ) = f ′ (x )G(x ) + f (x )G ′ (x ) (Regra do Produto),
f ′ (x ) f (x )g ′ (x )
f ′ (x )g(x ) f (x )g ′ (x )
h′ (x ) =
−
=
−
g(x )
[g(x )]2
[g(x )]2
[g(x )]2
v. 2015-2-27
9/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) =
1
√
x.
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note que
f −1 (f (x )) = f (f −1 (x )) = x ,
1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note que
f −1 (f (x )) = f (f −1 (x )) = x ,
ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x ) = x é a função identidade.
1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
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Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note que
f −1 (f (x )) = f (f −1 (x )) = x ,
ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x ) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
1
(f ○ f −1 )′ (y ) = I ′ (y )
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note que
f −1 (f (x )) = f (f −1 (x )) = x ,
ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x ) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
1
(f ○ f −1 )′ (y ) = I ′ (y ) = 1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
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Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note que
f −1 (f (x )) = f (f −1 (x )) = x ,
ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x ) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′ (f −1 (y )) ⋅ (f −1 )′ (y ) = (f ○ f −1 )′ (y ) = I ′ (y ) = 1
1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
v. 2015-2-27
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Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1 , então existe
função inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x ) se, e só se,
x = f −1 (y ).
√
Exemplos: f (x ) = x 2 , para x ≥ 0, tem inversa f −1 (x ) = x .
g(x ) = sen(x ), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversa
g −1 (y ) = arcsen(y ), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note que
f −1 (f (x )) = f (f −1 (x )) = x ,
ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x ) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′ (f −1 (y )) ⋅ (f −1 )′ (y ) = (f ○ f −1 )′ (y ) = I ′ (y ) = 1
1
Ou seja, (f −1 )′ (y ) = ′
f (x )
1
Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 )
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =
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√
x , x > 0.
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Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
v. 2015-2-27
11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
v. 2015-2-27
11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
v. 2015-2-27
(derivando)
11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
(derivando)
g (f (x )) ⋅ f (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
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′
11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
(derivando)
g (f (x )) ⋅ f (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
′
f ′ (x ) =
1
g ′ (f (x ))
Derivando g, temos g ′ (y ) = 2y .
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11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
(derivando)
g (f (x )) ⋅ f (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
′
f ′ (x ) =
1
g ′ (f (x ))
Derivando g, temos g ′ (y ) = 2y . Substituindo y = f (x ), temos
√
g ′ (f (x )) = 2 x
v. 2015-2-27
11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
(derivando)
g (f (x )) ⋅ f (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
′
f ′ (x ) =
1
g ′ (f (x ))
Derivando g, temos g ′ (y ) = 2y . Substituindo y = f (x ), temos
√
g ′ (f (x )) = 2 x , logo
f ′ (x ) =
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1
g ′ (f (x ))
=
11/13
Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
(derivando)
g (f (x )) ⋅ f (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
′
f ′ (x ) =
1
g ′ (f (x ))
Derivando g, temos g ′ (y ) = 2y . Substituindo y = f (x ), temos
√
g ′ (f (x )) = 2 x , logo
f ′ (x ) =
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1
g ′ (f (x ))
=
1
√
2 x
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Derivadas de funções inversas
√
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y = x , x > 0.
√
Seja f (x ) = y = x . Sua inversa é g(y ) = x = y 2 , y > 0.
(g ○ f )(x ) = x
(g ○ f )′ (x ) = 1
(derivando)
g (f (x )) ⋅ f (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
′
f ′ (x ) =
1
g ′ (f (x ))
Derivando g, temos g ′ (y ) = 2y . Substituindo y = f (x ), temos
√
g ′ (f (x )) = 2 x , logo
f ′ (x ) =
1
g ′ (f (x ))
=
1
√
2 x
O resultado ao derivar y = x 1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
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12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
(sen ○ arcsen)(x ) = x
v. 2015-2-27
12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
(sen ○ arcsen)(x ) = x
(sen ○ arcsen)′ (x ) = 1
v. 2015-2-27
(derivando)
12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
(sen ○ arcsen)(x ) = x
(sen ○ arcsen)′ (x ) = 1
(derivando)
sen (arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
(regra da cadeia)
′
v. 2015-2-27
′
12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
(sen ○ arcsen)(x ) = x
(sen ○ arcsen)′ (x ) = 1
(derivando)
sen (arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
(regra da cadeia)
cos(arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
(derivada de sen)
′
′
′
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
(sen ○ arcsen)(x ) = x
(sen ○ arcsen)′ (x ) = 1
(derivando)
sen (arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
(regra da cadeia)
cos(arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
√
( 1 − x 2 ) ⋅ arcsen′ (x ) = 1
(derivada de sen)
′
′
′
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(identidade trigonométrica)
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x ) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x )) = x
(sen ○ arcsen)(x ) = x
(sen ○ arcsen)′ (x ) = 1
(derivando)
sen (arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
(regra da cadeia)
cos(arcsen(x )) ⋅ arcsen (x ) = 1
√
( 1 − x 2 ) ⋅ arcsen′ (x ) = 1
(derivada de sen)
′
′
′
Logo, arcsen′ (x ) = √
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1
1 − x2
(identidade trigonométrica)
.
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Conclusão
A Regra da Cadeia é fácil de usar (basta praticar!), extremamente
útil e possui inúmeras aplicações.
Demos uma ideia geral da demonstração da Regra da Cadeia.
O final da seção 3.5 do Stewart mostra como contornar o problema
do ∆u = 0 na Regra da Cadeia. Ela é importante! Leia-a com
atenção para entendê-la!
Para casa:
Ler Stewart seção 3.5 e fazer os exercícios desta seção. Ignore
as partes e comentários sobre funções exponenciais e
logarítmicas (aprenderemos nas próximas aulas)
Lista 3: após os exercícios recomendados na aula passada,
faça 14(a–g, j–l).
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