Aula 10 _ Aprofundamento em Trigonometria

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MATEMÁTICA II
Aula 10
Aprofundamento em Trigonometria
Professor Luciano Nóbrega
2º Bimestre
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNÇÃO ARCO–SENO
Seja a função f(x) = sen x definida em um domínio [–π/2 ; π/2].
Assim, ela admite inversa. Sua função inversa
é denominada função arco–seno. f(x) = arc sen x
y = sen x
arc sen y = x
y = arc sen x
Isola “x”
Troca “x” por “y”
EXEMPLO:
Calcule o valor de:
a) x = arc sen ½
b) y = arc sen –√3/2
c) z = cos (arc sen –1/2)
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNÇÃO ARCO–COSSENO
Seja a função f(x) = cos x definida em um domínio [0 ; π].
Assim, ela admite inversa. Sua função inversa é
denominada função arco–cosseno. f(x) = arc cos x
y = cos x
arc cos y = x
y = arc cos x
Isola “x”
Troca “x” por “y”
EXEMPLO:
Calcule o valor de:
a) x = arc cos ½
b) y = arc cos –√3/2
c) z = cos (arc cos –1/2)
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNÇÃO ARCO–TANGENTE
Seja a função f(x) = tg x definida em um domínio [–π/2 ; π/2].
Assim, ela admite inversa. Sua função inversa é denominada
função arco–cosseno. f(x) = arc tg x
y = tg x
arc tg y = x
y = arc tg x
Isola “x”
Troca “x” por “y”
EXEMPLO:
Calcule o valor de:
a) x = arc tg (–1)
b) y = tg (arc sen 3/5 + arc cos 4/5)
c) z = cos (arc tg –√3/3)
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TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO
Sabemos que:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
Somando as duas fórmulas, obtemos:
sen (a + b) + sen (a – b) = 2 . sen a . cos b
Subtraíndo, obtemos:
sen (a + b) – sen (a – b) = 2 . sen b . cos a
Fazendo a + b = x e a – b = y, obtemos um sistema que
tem como solução a = (x + y)/2 e
b = (x – y)/2
Substituindo nas fórmulas acima, obtemos:
sen x + sen y = 2 . sen [(x + y)/2] . cos [(x – y)/2]
sen x – sen y = 2 . sen [(x – y)/2] . cos [(x + y)/2]
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TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO
Analogamente, sabemos que:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Somando as duas fórmulas, obtemos:
cos (a + b) + cos (a – b) = 2 . cos a . cos b
Subtraíndo, obtemos:
cos (a + b) – cos (a – b) = –2 . sen a . sen b
Substituindo: a + b = x ; a – b = y ; a = (x + y)/2 ; b = (x – y)/2
obtemos:
cos x + cos y = 2 . cos [(x + y)/2] . cos [(x – y)/2]
cos x – cos y = –2 . sen [(x + y)/2] . sen [(x – y)/2]
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
1 – Fatore as expressões:
a) sen 60º + sen 30º
b) cos 5x + cos 3x
c) sen 2a – sen a
sen x + sen y = 2 . sen [(x + y)/2] . cos [(x – y)/2]
sen x – sen y = 2 . sen [(x – y)/2] . cos [(x + y)/2]
cos x + cos y = 2 . cos [(x + y)/2] . cos [(x – y)/2]
cos x – cos y = –2 . sen [(x + y)/2] . sen [(x – y)/2]
3 – (COMPERVE/UFRN) Qual o valor da
expressão cos 40º.cos 80º. cos 160º ?
A) 1/8 B) –1/8 C) 7/8 D) 5/8
2 – Demonstre que
tg 2x = sen 3x + sen x
cos 3x + sen x
sen 3x + sen x
2 . sen [(3x+x)/2] . cos [(3x–x)/2]
2 . cos [(3x+x)/2] . cos [(3x–x)/2]
cos 3x + sen x
2 . sen 2x . cos x
tg 2x
2 . cos 2x . cos x
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VALORES TRIGONOMÉTRICOS DE 3 EM 3 GRAUS
Inicialmente, vamos determinar uma expressão para cos 72º.
Para isso, considere a figura:
Seja um triângulo isósceles ACB, com AB = AC = 1
e BD uma bissetriz.
Observe que:
A
AD = BD = BC = x
∆ACB ~ ∆BDC
36º
Resolvendo a equação, obtemos:
No triângulo retângulo ∆AEC em destaque:
D
B
36º
36º
72º
C
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VALORES TRIGONOMÉTRICOS DE 3 EM 3 GRAUS
Sabendo que
Utilizando
Obtemos cos 36º.
Calculando cos (36º – 30º), obtemos cos 6º.
Sabendo o valor de cos 6º e utilizando, de novo, a
fórmula do arco metade, obtemos cos 3º.
Com a Relação Fundamental
Daí, segue que:
da Trigonometria, obtemos os
cos 9º = cos (3º + 6º)
valores correspondentes de seno.
cos 12º = cos (9º + 3º)
cos 18º = cos (15º + 3º)
... E assim, sucessivamente!
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
4 – Complete as tabelas:
Ângulo
Seno
Cosseno
Tangente
Ângulo
0º
51º
3º
54º
6º
57º
9º
60º
12º
63º
15º
66º
18º
69º
21º
72º
24º
75º
27º
78º
30º
81º
33º
84º
36º
87º
39º
90º
42º
93º
45º
96º
48º
99º
Seno
Cosseno
Tangente
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