trigonometria_inicio

No caso de um arco de uma vota completa sua medida, em radiano, é dada por:
1. ARCOS E ÂNGULOS
Na geometria plana, um arco de circunferência é
um subconjunto da circunferência e um ângulo é um
subconjunto do plano. Abaixo temos a circunferência 
de raio R e os pontos A, B, P e P’ pertencentes a esta
circunferência.
2R
= 2 rad
R
Com isso podemos fazer o seguinte quadro de associações a seguir:
B
P
R
O
R
A
Unidade
grau
0°
radiano
0
Amplitude
180°
270°
3π
π
2
90°
π
2
P’
360°
2π
2. CICLO TRIGONOMÉTRICO
Nessa circunferência podemos destacar os arcos
APB e AP'B e o ângulo central AÔB.
Da geometria plana temos que o comprimento de
uma circunferência de raio R é dado por 2πR , onde o
π é um número irracional  = 3,1415...
Caso rolássemos uma circunferência de raio R sobre uma reta t de um ponto A, como mostra a figura,
até retornarmos ao ponto A teremos completado exatamente uma volta e teremos percorrido um arco de
uma volta.
O ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada, circunferência
na qual se escolheu convenientemente um sentido de
orientação, centrada na origem do sistema de coordenadas cartesianas e de raio unitário, ou seja, raio igual a
1 unidade de comprimento (R = 1). Para tal circunferência adotou-se uma origem no ponto A(1,0) e sua
orientação, a partir desse ponto A, é convencionada positiva no sentido anti-horário e negativa no sentido horário. Veja figura:
y
B
R
A
A
t
2R
A’
Observamos então que para circunferências de raios distintos temos arcos completos distintos e o mesmo
acontece para um arco qualquer. Mediante a isto passou-se a utilizar o raio da circunferência como unidade
de ângulo ou arco, surgindo então a unidade radiano
(rad) sendo o arco de 1 rad o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Nesse caso,
um ângulo central e o arco por ele compreendido teriam a mesma medida.
O
R=1
A = (1, 0) x
B’
Nesse ciclo tem-se que os arcos compreendidos
entre A e B são arcos do 1° quadrante, entre B e A’ são
arcos do 2° quadrante, entre A’ e B’ são arcos do 3°
quadrante e entre B’ e A são arcos do 4° quadrante.
y
B
B
R
O
A
R
O
2° Quad.
A’
De forma geral, para se determinar um arco AB
em radianos () basta dividir o comprimento do arco
(  ) pela medida do raio da circunferência, que agora é
nossa unidade de medida, que o contém (R).
B
α=
90°
120°
135°
150°
-270°
60°
45°
30°
0°
330°
210°
R
A
x
4° Quad.
B’
180°
R
A
O
3° Quad.
med(AB) = 1 rad
O
1° Quad.
R
225°
240°
270°
315°
300°
-300°
-315°
-330°
-240°
-225°
-210°
-180°
-150°
-135°
-120°
0°
-30°
-90°
-45°
-60°
Observação
 Como atividade, construa as figuras acima com
os respectivos arcos em radiano.
R
1
3. ARCOS CÔNGRUOS
sen
São arcos que possuem a mesma origem e a mesma extremidade e diferem um do outro em um número
inteiro de volta. Como por exemplo:
180°- x
tgx
sen x
sen(180°- x )
x
a) 435 e 75° pois temos que
435° = 75° + 1 360°  475°  75°
cos(180°- x)
cos
cosx
tg(180°- x)
b) 9 e  pois temos que
9π = π + 4  (2π)  9π  π .
sen(180  x)  senx
c) 950°,  950° e  230° pois temos que
950  230  (2  360)
ou
950  130  (2  360)
cos(180°  x) =  cosx
tg(180°  x) = ctgx
Dessa forma, se tomarmos um arco  qualquer seu
arco côngruo será dado por  0 + k  2 ou
 0 + k  360° , em que k  e 0 é sua primeira determinação positiva ou negativa.
 Redução do 3° para o 1° quadrante
sen
tgx
tg(180°+ x )
4. SENO E COSSENO E TANGENTE DE UM
ARCO
Tomemos no ciclo trigonométrico o arco orientado AP de origem em A, de medida igual a  radianos
e uma reta tangente t ao ciclo pelo ponto A. Define-se:

Seno do arco  ou simplesmente sen é a medida algébrica do segmento OP”, projeção ortogonal
do raio unitário OP sobre o eixo vertical y.

Cosseno do arco  ou simplesmente cos é a
medida algébrica do segmento OP’, projeção ortogonal do raio unitário OP sobre o eixo horizontal x.

Tangente do arco  ou simplesmente tg é medida algébrica do segmento AT, obtido do prolongamento do segmento OP sobre a reta tangente t.
senx
x
cos(180°+ x)
cos
cosx
sen(180°+ x)
180°+ x
sen(180  x)  senx
cos(180°+ x) =  cosx
tg(180°+ x) = tgx
t
y
sen
P”
T
 Redução do 4° para o 1° quadrante
P
tg
sen
sen
O cos
P’
A
x
tgx
cos
senx
x
sen(360°- x )
cos
cos x
cos(360°- x)
tg(360°- x)
360°- x
5. REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE
 Redução do 2° para o 1° quadrante
sen(360  x)  senx
cos(360°  x) = cosx
tg(360°  x) =  tgx
2
EXERCÍCIOS
1) Ana e Maria estão se divertindo em uma roda gigante, que gira em sentido anti-horário e possui oito lugares equidistantes. Inicialmente encontramse na posição indicada na figura, estando Maria na
parte inferior e Ana à meia altura entre as partes
inferior e superior da roda. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir:
(2) A maior distância horizontal será obtida quando
 = 90°.
(3) Se tivermos 15 atletas e 5 deles arremessarem sob
um ângulo de 20°, 3 sob um ângulo de 80° e os
demais sob um ângulo de 30°, então a prova terá
apenas 3 vencedores.
(4) Se o menor ângulo de inclinação entre os arremessos feitos pelos atletas, nessa olimpíada, foi
de 50°, então o campeão foi aquele que fez esse
arremesso
3) Para todo x real, podemos afirmar que
Ana
Maria
(1) A roda deve girar 90º para que Ana alcance o topo.
(2) Maria estará diretamente acima de Ana, na vertical,
após a roda ter girado 225º a partir do momento inicial.
(3) Se a distância entre os pontos de sustentação das
cadeiras de Ana e Maria for igual a 4 2 m , então
a circunferência que contém esses pontos e tem
centro coincidente com o da roda gigante possui diâmetro maior que 9 m.
(A) cos x = –cos ( + x)
(B) cos x = cos ( – x)

(C) cos x  sen(  x)
2
(D) cos x = –cos (2 – x)
(E) cos x = sen (2 + x)
4) A figura representa, em um sistema ortogonal de
coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na
origem do sistema, e os pontos
A(1,2), B, C,
D, E e F, correspondentes às interseções das retas
e do eixo Ox com a circunferência.
2) Nos jogos Olímpicos, encontramos uma prova denominada Arremesso de Dardos. De acordo com a
cinemática vetorial, a distância horizontal percorrida por um objeto depende do ângulo de inclinação do lançamento com o plano horizontal.
Nestas condições, determine
A. As coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a
área do hexágono ABCDEF.
B. O valor do cosseno do ângulo AÔB.
Sendo a expressão para o cálculo de tal distância
V0 = velocidade inical
V  sen 2θ

x=
, onde θ  ângulo de lançamento .
g
g  aceleração gravitacional

2
0
Se todos os atletas, nas Olimpíadas aplicarem uma
mesma velocidade inicial ao arremessarem seus dardos, podemos afirmar que:
(1) Se dois atletas arremessarem seus dardos, um
com ângulo de inclinação de 30° e o outro com
ângulo de 60°, então as distâncias percorridas na
horizontal pelos seus respectivos dardos serão
iguais.
5) O dispositivo de segurança (segredo) de um cofre
tem o formato da figura ao lado, onde as posições
A, B, …, L estão igualmente espaçadas e a posição
inicial da seta, quando está fechada, é a indicada.
E
D
C
B
F
G
A
L
H
I
J
K
3
Para abrir esse cofre são necessárias cinco operações, girando o dispositivo de modo que a seta seja
colocada dos seguintes ângulos:
2
I.
no sentido anti-horário;
3
3
II.
no sentido horário;
2
5
III.
no sentido anti-horário;
2
3
IV.
no sentido horário;
4

V.
no sentido anti-horário.
3
GABARITO
1) C; C; E
2) C; E; E; C
3) D
4)
A. B = (– 1,2); C = (  5, 0); D = (– 1, – 2)
E = (1, – 2); F = ( 5, 0)
Área (S) = 4 5 + 4
3
B.
5
5) C
6) D
Pode-se, então, afirmar que o cofre será aberto
quando a seta estiver indicando:
(A) o ponto médio entre G e H.
(B) algum ponto entre J e K.
(C) o ponto médio entre C e D.
(D) a posição I.
(E) a posição A.
6) Na figura, está representado um círculo trigonométrico em que os pontos P1 a P5 indicam extremidades de arcos. Esses pontos, unidos, correspondem
aos vértices de um pentágono regular inscrito no

círculo. Se o ponto P1 corresponde a um arco
6
de radianos, então o ponto P4 corresponderá à extremidade de um arco cuja medida, em radianos, é
igual a
(A)
13 
30
(B)
17 
30
(C)
29 
53 
41
(D)
(E)
30
30
30
4