Resposta a uma tensão senoidal Uma vez definida os principais

Resposta a uma tensão senoidal
Uma vez definida os principais parâmetros de uma função senoidal, e conhecendo a relação
diferencial e integral de funções trigonométricas, podemos relacionar tensões e correntes alternadas
sobre elementos passivos de circuitos.
d
A cos(ω t +φ)=−ω A sen (ω t+ φ)
dt
d
A sen(ω t +φ )=ω A cos (ω t+ φ)
dt
Resistor
Geralmente o valor da resistência não se altera com a variação da tensão ou corrente. Assim, se
v (t )=V m sen (ω t) :
i(t)=
v ( t) V m sen(ωt ) V m
=
=
sen (ω t)=I m sen (ω t)
R
R
R
onde Im = Vm / R. Em resumo, ao aplicar uma tensão senoidal em um resistor, a corrente será
também uma senoide, de mesma frequência e fase, alterando somente sua amplitude.
Indutor
Conforme foi visto anteriormente, a tensão em um indutor é proporcional à indutância e também à
variação da corrente que o atravessa:
v L =L
d
i
dt L
Se considerarmos a corrente no indutor como i(t)=I m sen (ω t) :
v L =L
d
i =L[ω I m cos (ω t)]=Lω I m cos( ω t)
dt L
v L =V m sen (ω t+ 90º )
onde Vm = ωLIm. O mesmo raciocínio pode ser feito assumindo-se uma fase inicial para a corrente:
i(t)=I m sen(ω t + φ)
v L =ω L I m sen (ω t+ φ+ 90 º)
Observando as equações acima, e o gráfico das duas grandezas, pode-se notar que a corrente está
atrasada com relação à tensão em 90º (ou π/2 radianos).
Relembrando a relação causa/efeito observado em grandezas físicas conservativas, observada na Lei
de Ohm:
oposição=
causa tensão
=
efeito corrente
podemos fazer tal análise com a tensão e a corrente no indutor:
oposição=
Vm ω LIm
=
=ω L
Im
Im
Dada a semelhança com a Lei de Ohm, que relaciona as mesmas grandezas físicas, a quantidade ωL
é medida em Ohms, e é chamada de reatância indutiva, que será simbolizada por XL, portanto:
X L=ω L [Ω ]
Apesar da reatância representar a oposição do elemento à passagem de corrente, quando uma tensão
é aplicada, o indutor não dissipa energia em forma de calor, como o resistor, ele acumula energia em
seu campo magnético.
A partir da equação da reatância indutiva, percebe-se que ela é diretamente proporcional à
frequência angular ω = 2πf. Em outras palavras, para tensões e correntes com altas frequências, o
indutor terá uma alta reatância, se aproximando de um circuito aberto. Para baixas frequências, a
reatância é baixa, se aproximando a um curto-circuito.
Tensões e correntes contínuas podem ser consideradas funções senoidais com valor médio diferente
de zero e cuja frequência é nula. Assim, podemos dizer que o indutor é um curto-circuito para
correntes constantes (corrente contínua).
Capacitor
A relação entre tensão e corrente em um capacitor é o dual dessa relação em um indutor. A corrente
em um capacitor é proporcional à capacitância e à variação da tensão:
i C =C
d
v
dt C
Dada uma tensão senoidal v (t )=V m sen (ω t) :
i C =C
d
v =C[ω V m cos (ω t)]=C ω V m cos(ω t)
dt C
i C =I m sen(ω t+90 º )
onde Im = ωCVm. Novamente, esse desenvolvimento pode ser feito com uma fase inicial na tensão:
v (t)=V m sen (ω t +φ)
v L =ω L I m sen (ω t+ φ+ 90 º)
Observando novamente as equações acima, a corrente no capacitor está adiantada com relação à
tensão em 90º, ao contrário do indutor que tem a corrente atrasada com relação à tensão.
Fazendo a mesma análise de causa/efeito:
oposição=
Vm
Vm
1
=
=
Im V m ωC ω C
onde a quantidade 1/ωC também é medida em Ohms, e é chamada de reatância capacitiva, que será
simbolizada por XC, portanto:
X C=
1
ωC
[Ω ]
A reatância capacitiva também representa a oposição do elemento à passagem de corrente, quando
uma tensão é aplicada, e assim como o indutor, não dissipa energia em forma de calor, ele acumula
energia em seu campo elétrico.
Ao contrário do indutor, o capacitor tem uma reatância inversamente proporcional à frequência
angular. Dessa forma, seu comportamento também será o oposto: para altas frequências o capacitor
se aproxima de um curto-circuito, enquanto que para frequências muito baixas, se aproxima de um
circuito aberto.
Resumo
Considerando as grandezas tensão e corrente, a relação entre elas nos principais elementos passivos
de circuitos elétricos é:
Resistor
V R =R I R
Indutor
e
I R=
VR
R
v L =L
Capacitor
d
1
i e i L = ∫ v L dt
dt L
L
vC =
1
d
i dt e i C =C v C
C∫ C
dt
É importante notar que nenhum dos 3 elementos de circuito analisados altera a frequência da tensão
ou corrente. Esse é o principal motivo de serem chamado de elementos passivos.
Exemplo: A corrente em um indutor de 0,1 H é i = 10 sen(377t) A. Esboce o gráfico da tensão nesse
indutor.
X L=ω L=377⋅0,1=37,7 Ω
v (t)=X L i(t)=37,7⋅10 sen (377 t)
v (t)=377 sen(377 t +90 º )
Potência média
Em um circuito de corrente alternada, tanto a tensão quanto a corrente são variantes no tempo.
Consequentemente, a potência elétrica consumida pelo circuito será também variante no tempo.
Supondo as tensões e correntes:
v (t )=V m sen (ω t+ φ v )
i(t)=I m sen (ω t+ φ i)
a potência elétrica será dada por:
p(t)=v (t )⋅i( t)=V m sen(ω t +φ v )⋅I m sen( ωt +φ i )
a partir das identidades trigonométricas:
cos (a−b)=cos a cos b+sen a sen b
cos (a+b)=cos a cos b−sen a sen b
somando as duas equações:
sen a sen b=
cos(a−b)−cos (a+b)
2
logo:
sen (ω t +φ v )sen(ω t +φ i )=
cos(ωt +φ v −ω t+ φi )−cos (ω t+ φ v +ω t+ φi )
2
sen (ω t +φ v ) sen(ω t +φ i )=
cos( φ v + φi )−cos (2 ω t+ φ v + φ i)
2
V m Im
V I
cos (φ v +φ i )− m m cos(2 ω t+ φ v +φ i)
2
2
⏟
⏟
p(t)=
valor fixo
valor variável
A potência elétrica de tensões e correntes senoidais, portanto, é uma cossenóide de valor médio
V mIm
cos (φ v +φ i ) . Esse termo é chamado de potência média (ou potência real, útil ou ativa), que
2
é a potência fornecida à carga e dissipada por ela.
Chamando de θ a diferença de fase entre a tensão e a corrente, podemos escrever a expressão da
potência média como:
pmédia =
V m Im
cos(φ v + φ i)
√ 2 √2
pmédia =V rms I rms cos (θ) [ W ]
Como o cosseno é uma função par, a potência média será a mesma para correntes adiantadas ou
atrasadas com relação a tensão.
Em um circuito puramente resistivo, a corrente e a tensão estão em fase, portanto θ = 0º. Logo:
pR =V rms I rms cos (0)=V rms I rms
Para circuitos puramente reativos (indutivos ou capacitivos), a diferença de fase será 90º, portanto:
p X =V rms I rms cos (±90 º)=0
ou seja, a potência média dissipada por um indutor e capacitor é zero.
Fator de potência
Na expressão da potência média, a definição de potência elétrica é acrescentada do fator cos θ, que
relaciona as fases da tensão e da corrente. Esse fator é chamado de fator de potência. Independente
da natureza da carga (resistiva, indutiva ou capacitiva), o fator de potência será sempre
adimensional com valores entre 0 e 1.
FP=cos (θ)
Como dito anteriormente, o cosseno é uma função par, portanto correntes atrasadas e adiantadas
acarretarão no mesmo fator de potência. Por isso é comum, quando o FP é menor que 1, usar o
termo fator de potência atrasado para circuitos indutivos e fator de potência adiantado para
circuitos capacitivos.
Exemplo: Um motor é alimentado com uma tensão v(t) = 120 sen(377t + 80º). A tensão que flui
nesse motor é i(t) = 5 sen(377t + 30º). Calcule o fator de potência e determine se o motor é um
circuito indutivo, capacitivo ou puramente resistivo.