Exame 1

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Topologia
1o Exame - 16 de Janeiro de 2015 - 11h30m
Curso: LMAC
(8,0 val.)
Problema 1 Seja B a colecção de subconjuntos de R formada pelos intervalos da forma
n, n 1 , n Z, e pelos conjuntos da forma n com n Z.
s
r P
t u
(a) Mostre que B
YtH, Ru não é uma topologia.
P
(b) Seja T a topologia gerada por B. Mostre que B é uma base de T .
(c) Mostre que os elementos de B são conjuntos fechados na topologia T . Será T conexo?
(d) Decida se T é ou não separável.
(e) Qual a topologia induzida por T em Z
€ R?
p
(f ) Seja Tu a topologia usual em R. Mostre que a função identidade Id : R, T
é contínua nos pontos n Z.
P
(g) Decida justificando se o conjunto
produto R, T
R, T .
p
qp
q
q Ñ pR, Tu q
tpx, y q P R2 : x y 0u é ou não aberto na topologia
(h) Mostre que T é regular. Sugestão: use a caracterização de regular em termos de vizinhanças e o resultado da alínea (c).
(i) Decida se T é ou não metrizável. Sugestão: T é Hausdorff ?
(j) Mostre que R não é compacto na topologia T .
ô P Z e seja p : R Ñ R{ o quociente.
{
(l) Calcule, se existirem, os limites da sucessão x n 1{n na topologia T .
(m) Considere a colecção S formada pelos intervalos da forma rn, n 1s, com n P Z. Com(k) Considere a relação de equivalência
x y
x y
Mostre que o conjunto p 0 é aberto em R .
tu
pare a topologia gerada por S com T .
(2,5 val.)
r sr0, 1s:
Problema 2 Considere a seguinte distância em 0, 1
"
1
d x1 , y 1 , x2 , y 2
x1
p
qp
q | x |
2
y2
y1 y2
y1
(pode assumir que se trata duma distância)
(a) Descreva a bola de raio
1
2
centrada na origem.
r sr0, 1s não é totalmente limitado.
(c) Decida se a sucessão x n p1{n, 1{n q é ou não de Cauchy.
(b) Mostre que, com esta distância, 0, 1
(d) Decida se R2 com a métrica d é ou não completo.
(2,5 val.)
P
€ R2 o gráfico da função enx :
G n tpx, y q P R2 : y enx u .
Problema 3 Para cada n N seja G n
Damos a R2 a topologia usual.
G n é um subconjunto aberto de R2.
(b) Mostre que R2 G n não é conexo.
(c) Mostre que a projecção R2 Ñ R induz um homeomorfismo entre G n e R.
(a) Mostre que R2
Sugestão:
construa a inversa explicitamente.
”
(d) Mostre que X
n G n é conexo.
(1,5 val.)
Problema 4 Sejam X , Y espaços topológicos e sejam f : X
nuas.
ÑY
eg: Y
Ñ X funções contí-
(a) Assumindo que Y é simplesmente conexo, calcule o homomorfismo induzido
g f : π1 X , x 0
π1 X , g f x 0
x0 X
p q
(2,0 val.)
p
qÑ
p p qq p P q
(b) Seja Y R. Mostre que a função g f é homotópica à função constante igual a g p0q.
Problema 5 Seja S 1 _ S 1 a figura oito (a união de dois círculos em R2 com um ponto em
comum). Calcule os grupos fundamentais dos seguintes espaços:
p _ S 1q P2 S 3.
(b) S 1 Ytpx, y q P R2 : x, y ¡ 0u.
(a) S 1
(c) Uma esfera menos um ponto.
(2,5 val.)
Ñ
p q
Problema 6 Seja p : R S 1 o revestimento p t
nhos α, β : 0, 1
R definidos por
r sÑ
p q cospπt q
α t
e o caminho γ
p α em S
1
e
p q
. Considere os cami-
p q
cos 2πt , sen 2πt
p q senpπt q
β t
.
P
(a) Determine o levantamento de γ com início em 0 R.
(b) Justifique que γ define um elemento em π1 S 1 , 1, 0 e calcule esse elemento.
p q
(c) Mostre que o caminho β pode ser escrito na forma β
β1 .
β1 β1 para um certo caminho
(d) Use a alínea (c) para calcular o elemento definido por p β em π1 S 1 , 1, 0 .
(1,0 val.)
p q
Problema 7 Seja X uma variedade de dimensão 2 compacta e conexa. Sabendo que a homologia de X é H1 X
Z
Z 2 , identifique X e calcule o seu grupo fundamental.
p q p { q